5. (2026·牡丹江模拟)如图,二次函数$y=ax^2 + 2x + c$的图象与$x$轴相交于点$A(-1,0),B(3,0)$,与$y$轴相交于点$C$.
(1)求抛物线的表达式并直接写出顶点$D$的坐标.
(2)在抛物线上是否存在点$E$,使$S_{△ ECD} = \frac{1}{2}S_{△ BCD}$?若存在,请直接写出点$E$的坐标;若不存在,请说明理由.

5. (1) 将点A(-1,0),B(3,0)代入二次函数表达式y=ax²+2x+c,可得$\begin{cases}a-2+c=0,\\9a+6+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\c=3,\end{cases}$
∴ 该抛物线的表达式为y=-x²+2x+3.
∵ y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4,
∴ 顶点D的坐标为(1,4).
(2) 存在.对于二次函数y=-x²+2x+3,当x=0时,可得y=3,
∴ C(0,3).设直线CD的表达式为y=kx+b(k≠0),将点C(0,3),D(1,4)代入,可得$\begin{cases}4=k+b,\\3=b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=3,\end{cases}$
∴ 直线CD的表达式为y=x+3.
∵ B(3,0),C(0,3),D(1,4),
∴ BC²=(3-0)²+(0-3)²=18,CD²=(0-1)²+(3-4)²=2,BD²=(3-1)²+(0-4)²=20,
∴ BC²+CD²=BD²,
∴ △BCD为直角三角形,且∠BCD=90°.如图,过点B作BN⊥x轴,交直线CD于点N,连接ED,过点E作EF⊥CD于点F,作EM//BN,交直线CD于点M.
则∠EFM=∠BCN=90°,EM⊥x轴,∠EMF=∠BNC,
∴ △EFM∽△BCN.
∴ $\frac{EF}{BC}=\frac{EM}{BN}$.连接EC,
∵ $S_{△ECD}=\frac{1}{2}S_{△BCD}$,且△ECD与△BCD同底(底为CD),
∴ 点E到直线CD的距离等于点B到直线CD的距离的一半,即$EF=\frac{1}{2}BC$,
∴ $\frac{EM}{BN}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$.
∵ B(3,0),BN⊥x轴,
∴ x_N=3,将其代入直线y=x+3,可得y_N=3+3=6,即N(3,6),
∴ BN=6-0=6,
∴ $EM=\frac{1}{2}BN=3$.设点E(x,-x²+2x+3),
∵ EM⊥x轴,
∴ x_M=x,将其代入直线y=x+3,可得y_M=x+3,即M(x,x+3),
∴ EM=|(x+3)-(-x²+2x+3)|=3,整理可得|x²-x|=3,当x²-x=3时,即x²-x-3=0,解得$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$,$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$,
∴ $E_1(\frac{1+\sqrt{13}}{2},\frac{1+\sqrt{13}}{2})$,$E_2(\frac{1-\sqrt{13}}{2},\frac{1-\sqrt{13}}{2})$;
当x²-x=-3时,即x²-x+3=0,
∵ b²-4ac=(-1)²-4×1×3=-11＜0,
∴ 该方程无解.
综上所述,点E的坐标为$(\frac{1+\sqrt{13}}{2},\frac{1+\sqrt{13}}{2})$或$(\frac{1-\sqrt{13}}{2},\frac{1-\sqrt{13}}{2})$.

6. (2026·乐山中考)已知抛物线$C:y=x^2-2x-3$交$x$轴于$A,B$两点(点$A$在点$B$的左侧),顶点为点$P$.
(1)求$A,B$两点的坐标.
(2)直线$l:y=kx+b(k≠0)$与抛物线$C$交于$D,E$两点.
①若$A,B$两点到直线$l$的距离相等,则直线$l$过定点,请求出这个定点,并说明理由.
②若$∠DPE=90°$,试问直线$l$是否过定点?若过定点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

6. (1) 令y=x²-2x-3=0,解得x₁=3,x₂=-1,
∵ 抛物线C:y=x²-2x-3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),
∴ A(-1,0),B(3,0).
(2) ① 定点F(1,0).理由:如图①,设直线l与x轴交于点F,过点A作AG⊥DE,过点B作BH⊥DE,垂足分别为G,H.
∴ ∠AGF=∠BHF=90°.
∵ A,B两点到直线l的距离相等,
∴ AG=BH.
又
∵ ∠AFG=∠BFH,
∴ △AGF≌△BHF(AAS).
∴ AF=BF,即点F为AB中点.
∵ A(-1,0),B(3,0),
∴ AB中点F的坐标为(1,0),即直线l过定点F(1,0).
② 直线l过定点(1,-3),理由如下:
∵ C:y=x²-2x-3的对称轴为直线x=-$\frac{-2}{2}$=1,当x=1时,y=x²-2x-3=-4,
∴ 顶点为P(1,-4).如图②,过点P作直线m//x轴,分别过点D,E作m的垂线段,垂足分别为M,N,
∴ ∠DMP=∠PNE=90°,
∴ ∠MDP+∠MPD=90°.
又
∵ ∠DPE=90°,
∴ ∠DPM+∠EPN=90°.
∴ ∠DPM=∠PEN.
∴ △DPM∽△PEN.
∴ $\frac{DM}{MP}=\frac{PN}{EN}$.设D(x₁,x₁²-2x₁-3),E(x₂,x₂²-2x₂-3),
∴ MP=1-x₁,PN=x₂-1,DM=x₁²-2x₁-3-(-4)=(x₁-1)²,EN=x₂²-2x₂-3-(-4)=(x₂-1)²,
∴ $\frac{(x₁-1)^2}{x₂-1}=\frac{1-x₁}{(x₂-1)^2}$.
整理得x₁+x₂-x₁x₂=2.
∵ 直线l:y=kx+b(k≠0)与抛物线C交于D,E两点.
∴ 联立$\begin{cases}y=kx+b,\\y=x²-2x-3,\end{cases}$可得x²-(2+k)x-3-b=0,
∴ x₁+x₂=2+k,x₁x₂=-3-b.
代入x₁+x₂-x₁x₂=2可得2+k-(-3-b)=2,
∴ b=-3-k.
∴ y=kx+b=kx-3-k=k(x-1)-3,
∴ 当x=1时,y=-3固定不变,
∴ 直线l过定点(1,-3).