一、选择题
1. 下列根式中，与$\sqrt{3}$是同类二次根式的是().
A. $\sqrt{12}$
B. $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
C. $\sqrt{18}$
D. $\sqrt{\dfrac{2}{9}}$

1. A

【分析】
要判断哪个根式与$\sqrt{3}$是同类二次根式，首先需明确同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式。因此解题思路是：先将每个选项中的二次根式化为最简形式，再对比它们的被开方数是否与$\sqrt{3}$的被开方数（即3）一致，一致的即为同类二次根式。
【解析】
对各选项逐一化简：
选项A：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{3}$的被开方数相同；
选项B：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2×3}{3×3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，化简后被开方数为6，与$\sqrt{3}$的被开方数不同；
选项C：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，与$\sqrt{3}$的被开方数不同；
选项D：$\sqrt{\dfrac{2}{9}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，化简后被开方数为2，与$\sqrt{3}$的被开方数不同。
综上，只有选项A中的根式与$\sqrt{3}$是同类二次根式。
【答案】
A
【知识点】
1. 同类二次根式定义
2. 二次根式化简
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，核心是掌握二次根式的化简方法（包括分解因数化简、分母有理化），只有先将根式化为最简形式，才能准确判断被开方数是否相同。解题时需注意化简过程的规范性，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

2. 下列各组中，可化为同类二次根式的是().

A.$2\sqrt{x}$与$\dfrac{\sqrt{2x}}{2}$
B.$2a\sqrt{a}$与$a^{2}\sqrt{\dfrac{1}{a}}$
C.$\sqrt{2m}$与$\sqrt{12m}$
D.$\sqrt{3y^{3}}$与$\sqrt{3y^{4}}$

2. B

A. $2\sqrt{x}$与$\dfrac{\sqrt{2x}}{2}$，被开方数分别为$x$和$2x$，不同，不是同类二次根式。
B. $a^{2}\sqrt{\dfrac{1}{a}} = a^{2} · \dfrac{\sqrt{a}}{a} = a\sqrt{a}$，与$2a\sqrt{a}$被开方数均为$a$，是同类二次根式。
C. $\sqrt{12m} = 2\sqrt{3m}$，与$\sqrt{2m}$被开方数分别为$3m$和$2m$，不同，不是同类二次根式。
D. $\sqrt{3y^{3}} = y\sqrt{3y}$，$\sqrt{3y^{4}} = y^{2}\sqrt{3}$，被开方数分别为$3y$和$3$，不同，不是同类二次根式。
答案：B

3. 若$4\sqrt{\dfrac{2 - m}{6}}$与$\sqrt{\dfrac{2m - 3}{4}}$可以合并，则$m$的值可以是().

A.$\dfrac{28}{13}$
B.$\dfrac{24}{13}$
C.$\dfrac{20}{13}$
D.$\dfrac{16}{13}$

3. C

要使$4\sqrt{\dfrac{2 - m}{6}}$与$\sqrt{\dfrac{2m - 3}{4}}$可以合并，需先将根式化简为最简二次根式，且被开方数相同。
步骤1：化简根式
$4\sqrt{\dfrac{2 - m}{6}} = 4 · \dfrac{\sqrt{6(2 - m)}}{6} = \dfrac{2\sqrt{6(2 - m)}}{3}$，被开方数为$6(2 - m)$。
$\sqrt{\dfrac{2m - 3}{4}} = \dfrac{\sqrt{2m - 3}}{2}$，被开方数为$2m - 3$。
步骤2：令被开方数成倍数关系
最简二次根式可合并，则被开方数必为同类二次根式，即存在非零常数$k$，使得：
$6(2 - m) = k^2(2m - 3)$。
步骤3：代入选项验证
选项C：$m = \dfrac{20}{13}$
代入得：
左边$6(2 - \dfrac{20}{13}) = 6 · \dfrac{6}{13} = \dfrac{36}{13}$，
右边$2m - 3 = 2 · \dfrac{20}{13} - 3 = \dfrac{40}{13} - \dfrac{39}{13} = \dfrac{1}{13}$。
此时$\dfrac{36}{13} = 36 · \dfrac{1}{13}$，即$k^2 = 36$（$k = 6$），满足条件。
结论
$m = \dfrac{20}{13}$。
C

二、填空题
4. 计算：$\sqrt{12}+\sqrt{3}-\sqrt{27}=$.

4. 0

$\sqrt{12}+\sqrt{3}-\sqrt{27}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(2+1-3)\sqrt{3}=0$

5. 当$a =$时，最简二次根式$-2\sqrt{3a - 7}$与$3\sqrt{2a - 3}$是同类二次根式.

5. 4

要使最简二次根式$-2\sqrt{3a - 7}$与$3\sqrt{2a - 3}$是同类二次根式，则被开方数必须相等，即：
$3a - 7 = 2a - 3$
移项可得：
$3a - 2a = -3 + 7$
解得：
$a = 4$
当$a = 4$时，$3a - 7 = 3×4 - 7 = 5$，$2a - 3 = 2×4 - 3 = 5$，均为最简二次根式，符合题意。
故答案为$4$。

6. 满足$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=\sqrt{72}$的整数对$(x,y)$有对.

6. 4

$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$，设$\sqrt{x}=a\sqrt{2}$，$2\sqrt{y}=b\sqrt{2}$，其中$a$，$b$为非负整数，且$a + b=6$。
则$x=2a^2$，$y=2(\frac{b}{2})^2=\frac{b^2}{2}$，$b$需为偶数。
$b$可取0，2，4，6：
$b=0$，$a=6$，$x=2×6^2=72$，$y=0$；
$b=2$，$a=4$，$x=2×4^2=32$，$y=\frac{2^2}{2}=2$；
$b=4$，$a=2$，$x=2×2^2=8$，$y=\frac{4^2}{2}=8$；
$b=6$，$a=0$，$x=0$，$y=\frac{6^2}{2}=18$。
整数对$(x,y)$为$(72,0)$，$(32,2)$，$(8,8)$，$(0,18)$，共4对。
4

三、解答题
7. 计算：
(1) $\sqrt{72}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}-2\sqrt{\dfrac{9}{8}}$；
(2) $\sqrt{48}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\sqrt{0.75}$.

7. (1) $ 4\sqrt{2} $ (2) $ \dfrac{25\sqrt{3}}{6} $

(1) $\sqrt{72}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}-2\sqrt{\dfrac{9}{8}}$
$=6\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-2×\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
$=6\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
$=6\sqrt{2}-(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$
$=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}$
$=4\sqrt{2}$
(2) $\sqrt{48}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\sqrt{0.75}$
$=4\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$=4\sqrt{3}+(-\dfrac{2\sqrt{3}}{6}+\dfrac{3\sqrt{3}}{6})$
$=4\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
$=\dfrac{24\sqrt{3}}{6}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
$=\dfrac{25\sqrt{3}}{6}$