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一、选择题
1. 小超把他和 4 位同学的年龄作为一组数据，计算出平均数是 15，方差是 0.5，则 10 年后这 5 位同学的年龄的平均数和方差分别是(
A.25 和 10.5
B.15 和 5
C.25 和 0.5
D.15 和 0.5
1. 小超把他和 4 位同学的年龄作为一组数据，计算出平均数是 15，方差是 0.5，则 10 年后这 5 位同学的年龄的平均数和方差分别是(
C
)。A.25 和 10.5
B.15 和 5
C.25 和 0.5
D.15 和 0.5
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要分别分析10年后年龄的平均数和方差的变化：
1. 对于平均数：当一组数据中的每个数据都加上相同的数时，平均数会相应增加这个数。原来5位同学的年龄平均数是15，10年后每人年龄都增加10，所以平均数也会增加10。
2. 对于方差：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，当一组数据中的每个数据都加上相同的数时，数据之间的相对差距没有改变，因此方差保持不变。
基于这两个性质，我们可以直接推导10年后的平均数和方差。
【解析】
设原来5位同学的年龄分别为$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$，根据题意：
原来的平均数$\bar{x} = \frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} = 15$，方差$s^2 = \frac{1}{5}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+(x_4-\bar{x})^2+(x_5-\bar{x})^2] = 0.5$。
1. 计算10年后的平均数：
10年后5位同学的年龄为$x_1+10, x_2+10, x_3+10, x_4+10, x_5+10$，
新的平均数$\bar{x}' = \frac{(x_1+10)+(x_2+10)+(x_3+10)+(x_4+10)+(x_5+10)}{5}$
$=\frac{(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)+5×10}{5}$
$=\bar{x} + 10 = 15 + 10 = 25$。
2. 计算10年后的方差：
新的方差$s'^2 = \frac{1}{5}[(x_1+10-\bar{x}')^2+(x_2+10-\bar{x}')^2+(x_3+10-\bar{x}')^2+(x_4+10-\bar{x}')^2+(x_5+10-\bar{x}')^2]$
因为$\bar{x}' = \bar{x}+10$，所以$x_i+10 - \bar{x}' = x_i+10 - (\bar{x}+10) = x_i - \bar{x}$，
因此$s'^2 = \frac{1}{5}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+(x_4-\bar{x})^2+(x_5-\bar{x})^2] = s^2 = 0.5$。
综上，10年后这5位同学年龄的平均数是25，方差是0.5，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的性质、方差的性质
【点评】
本题主要考查平均数和方差的核心性质，重点在于理解方差的本质是反映数据的波动程度，当数据整体平移（每个数据加相同数）时，波动程度不变，方差也不变；而平均数会随数据的平移同步变化。掌握这两个性质就能快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要分别分析10年后年龄的平均数和方差的变化：
1. 对于平均数：当一组数据中的每个数据都加上相同的数时，平均数会相应增加这个数。原来5位同学的年龄平均数是15，10年后每人年龄都增加10，所以平均数也会增加10。
2. 对于方差：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，当一组数据中的每个数据都加上相同的数时，数据之间的相对差距没有改变，因此方差保持不变。
基于这两个性质，我们可以直接推导10年后的平均数和方差。
【解析】
设原来5位同学的年龄分别为$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$，根据题意：
原来的平均数$\bar{x} = \frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} = 15$，方差$s^2 = \frac{1}{5}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+(x_4-\bar{x})^2+(x_5-\bar{x})^2] = 0.5$。
1. 计算10年后的平均数：
10年后5位同学的年龄为$x_1+10, x_2+10, x_3+10, x_4+10, x_5+10$，
新的平均数$\bar{x}' = \frac{(x_1+10)+(x_2+10)+(x_3+10)+(x_4+10)+(x_5+10)}{5}$
$=\frac{(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)+5×10}{5}$
$=\bar{x} + 10 = 15 + 10 = 25$。
2. 计算10年后的方差：
新的方差$s'^2 = \frac{1}{5}[(x_1+10-\bar{x}')^2+(x_2+10-\bar{x}')^2+(x_3+10-\bar{x}')^2+(x_4+10-\bar{x}')^2+(x_5+10-\bar{x}')^2]$
因为$\bar{x}' = \bar{x}+10$，所以$x_i+10 - \bar{x}' = x_i+10 - (\bar{x}+10) = x_i - \bar{x}$，
因此$s'^2 = \frac{1}{5}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+(x_4-\bar{x})^2+(x_5-\bar{x})^2] = s^2 = 0.5$。
综上，10年后这5位同学年龄的平均数是25，方差是0.5，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的性质、方差的性质
【点评】
本题主要考查平均数和方差的核心性质，重点在于理解方差的本质是反映数据的波动程度，当数据整体平移（每个数据加相同数）时，波动程度不变，方差也不变；而平均数会随数据的平移同步变化。掌握这两个性质就能快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
2. 九年级体育测试，某小组 5 名同学的成绩如表所示，有两个数据被遮盖。
那么被遮盖的两个数据依次是(
A.35，2
B.36，4
C.35，3
D.36，3
那么被遮盖的两个数据依次是(
B
)。A.35，2
B.36，4
C.35，3
D.36，3
答案
2. B
解析
解：设被遮盖的成绩为$x$。
平均成绩为37，可得：$\frac{38 + 34 + x + 37 + 40}{5} = 37$
解得：$x = 36$
方差：$\frac{(38-37)^2 + (34-37)^2 + (36-37)^2 + (37-37)^2 + (40-37)^2}{5}$
$=\frac{1 + 9 + 1 + 0 + 9}{5} = 4$
B
平均成绩为37，可得：$\frac{38 + 34 + x + 37 + 40}{5} = 37$
解得：$x = 36$
方差：$\frac{(38-37)^2 + (34-37)^2 + (36-37)^2 + (37-37)^2 + (40-37)^2}{5}$
$=\frac{1 + 9 + 1 + 0 + 9}{5} = 4$
B
3. 甲、乙两地去年 12 月前 5 天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是(
A.两地气温的平均数相同
B.甲地气温相对比较稳定
C.两地气温的中位数相同
D.乙地气温相对比较稳定
B
)。A.两地气温的平均数相同
B.甲地气温相对比较稳定
C.两地气温的中位数相同
D.乙地气温相对比较稳定
答案
3. B
解析
【分析】
要找出错误的描述，需分别计算甲、乙两地气温的平均数、中位数，并通过方差判断气温的稳定性：
1. 先提取甲、乙两地5天的日平均气温数据；
2. 计算两地的平均数，判断选项A是否正确；
3. 将两地气温数据排序后找出中位数，判断选项C是否正确；
4. 计算两地气温的方差，方差越小说明气温越稳定，以此判断选项B、D的正误。
【解析】
首先提取甲、乙两地5天的日平均气温：
甲地：2℃、8℃、6℃、10℃、4℃；
乙地：6℃、4℃、8℃、4℃、8℃。
1. 计算平均数：
甲地平均数：$\frac{2+8+6+10+4}{5} = \frac{30}{5} = 6℃$
乙地平均数：$\frac{6+4+8+4+8}{5} = \frac{30}{5} = 6℃$
两地平均数相同，选项A正确。
2. 计算中位数：
将甲地气温从小到大排序：2、4、6、8、10，中位数为6℃；
将乙地气温从小到大排序：4、4、6、8、8，中位数为6℃；
两地中位数相同，选项C正确。
3. 计算方差判断稳定性：
甲地方差：$\frac{(2-6)^2+(8-6)^2+(6-6)^2+(10-6)^2+(4-6)^2}{5} = \frac{16+4+0+16+4}{5} = 8$
乙地方差：$\frac{(6-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2}{5} = \frac{0+4+4+4+4}{5} = 3.2$
因为$3.2 ＜ 8$，乙地方差更小，说明乙地气温更稳定，选项D正确，选项B错误。
综上，描述错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算、中位数计算、方差与稳定性
【点评】
本题考查统计量的实际应用，需要熟练掌握平均数、中位数的计算方法，以及方差与数据稳定性的关系，通过计算各统计量逐一验证选项是解题关键。
【难度系数】
0.6
要找出错误的描述，需分别计算甲、乙两地气温的平均数、中位数，并通过方差判断气温的稳定性：
1. 先提取甲、乙两地5天的日平均气温数据；
2. 计算两地的平均数，判断选项A是否正确；
3. 将两地气温数据排序后找出中位数，判断选项C是否正确；
4. 计算两地气温的方差，方差越小说明气温越稳定，以此判断选项B、D的正误。
【解析】
首先提取甲、乙两地5天的日平均气温：
甲地：2℃、8℃、6℃、10℃、4℃；
乙地：6℃、4℃、8℃、4℃、8℃。
1. 计算平均数：
甲地平均数：$\frac{2+8+6+10+4}{5} = \frac{30}{5} = 6℃$
乙地平均数：$\frac{6+4+8+4+8}{5} = \frac{30}{5} = 6℃$
两地平均数相同，选项A正确。
2. 计算中位数：
将甲地气温从小到大排序：2、4、6、8、10，中位数为6℃；
将乙地气温从小到大排序：4、4、6、8、8，中位数为6℃；
两地中位数相同，选项C正确。
3. 计算方差判断稳定性：
甲地方差：$\frac{(2-6)^2+(8-6)^2+(6-6)^2+(10-6)^2+(4-6)^2}{5} = \frac{16+4+0+16+4}{5} = 8$
乙地方差：$\frac{(6-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2}{5} = \frac{0+4+4+4+4}{5} = 3.2$
因为$3.2 ＜ 8$，乙地方差更小，说明乙地气温更稳定，选项D正确，选项B错误。
综上，描述错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算、中位数计算、方差与稳定性
【点评】
本题考查统计量的实际应用，需要熟练掌握平均数、中位数的计算方法，以及方差与数据稳定性的关系，通过计算各统计量逐一验证选项是解题关键。
【难度系数】
0.6
二、填空题
4. 甲、乙两个仪仗队所有队员的身高(单位：cm)如下：
甲队：179，178，177，179，178，178，179，177，177，178；
乙队：179，176，178，177，178，180，178，176，180，178.
身高较整齐的仪仗队是
4. 甲、乙两个仪仗队所有队员的身高(单位：cm)如下：
甲队：179，178，177，179，178，178，179，177，177，178；
乙队：179，176，178，177，178，180，178，176，180，178.
身高较整齐的仪仗队是
甲队
。答案
4. 甲队
解析
【分析】
要判断哪支仪仗队身高更整齐，需通过方差来衡量，方差越小，数据的波动越小，身高就越整齐。解题步骤为：先分别计算甲、乙两队身高的平均数，再根据方差公式计算两队的方差，最后比较方差大小，方差小的队伍身高更整齐。
【解析】
1. 计算甲队身高的平均数：
甲队数据总和为：$177×3 + 178×4 + 179×3 = 3×(177+179) + 4×178 = 1068 + 712 = 1780$
甲队平均数$\bar{x}_甲 = \frac{1780}{10} = 178$（cm）
2. 计算甲队的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{10}×[3×(177-178)^2 + 4×(178-178)^2 + 3×(179-178)^2]$
$=\frac{1}{10}×(3×1 + 4×0 + 3×1) = \frac{6}{10} = 0.6$
3. 计算乙队身高的平均数：
乙队数据总和为：$176×2 + 177×1 + 178×4 + 179×1 + 180×2 = 352 + 177 + 712 + 179 + 360 = 1780$
乙队平均数$\bar{x}_乙 = \frac{1780}{10} = 178$（cm）
4. 计算乙队的方差：
$s^2_乙 = \frac{1}{10}×[2×(176-178)^2 + 1×(177-178)^2 + 4×(178-178)^2 + 1×(179-178)^2 + 2×(180-178)^2]$
$=\frac{1}{10}×(2×4 + 1×1 + 4×0 + 1×1 + 2×4) = \frac{18}{10} = 1.8$
5. 比较方差：
因为$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲队身高的波动更小，身高更整齐。
【答案】
甲队
【知识点】
方差的应用、数据的稳定性
【点评】
本题考查方差的实际意义，方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据越稳定、越整齐。解题时需准确计算平均数和方差，注意计算过程的准确性。
【难度系数】
0.6
要判断哪支仪仗队身高更整齐，需通过方差来衡量，方差越小，数据的波动越小，身高就越整齐。解题步骤为：先分别计算甲、乙两队身高的平均数，再根据方差公式计算两队的方差，最后比较方差大小，方差小的队伍身高更整齐。
【解析】
1. 计算甲队身高的平均数：
甲队数据总和为：$177×3 + 178×4 + 179×3 = 3×(177+179) + 4×178 = 1068 + 712 = 1780$
甲队平均数$\bar{x}_甲 = \frac{1780}{10} = 178$（cm）
2. 计算甲队的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{10}×[3×(177-178)^2 + 4×(178-178)^2 + 3×(179-178)^2]$
$=\frac{1}{10}×(3×1 + 4×0 + 3×1) = \frac{6}{10} = 0.6$
3. 计算乙队身高的平均数：
乙队数据总和为：$176×2 + 177×1 + 178×4 + 179×1 + 180×2 = 352 + 177 + 712 + 179 + 360 = 1780$
乙队平均数$\bar{x}_乙 = \frac{1780}{10} = 178$（cm）
4. 计算乙队的方差：
$s^2_乙 = \frac{1}{10}×[2×(176-178)^2 + 1×(177-178)^2 + 4×(178-178)^2 + 1×(179-178)^2 + 2×(180-178)^2]$
$=\frac{1}{10}×(2×4 + 1×1 + 4×0 + 1×1 + 2×4) = \frac{18}{10} = 1.8$
5. 比较方差：
因为$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲队身高的波动更小，身高更整齐。
【答案】
甲队
【知识点】
方差的应用、数据的稳定性
【点评】
本题考查方差的实际意义，方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据越稳定、越整齐。解题时需准确计算平均数和方差，注意计算过程的准确性。
【难度系数】
0.6
5. 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下，对他们的电脑知识进行了 10 次测验，成绩如表所示：
回答下列问题：
(1) 甲成绩的众数是
(2) 若甲成绩的平均数为$\overline{x}_{甲}$，乙成绩的平均数为$\overline{x}_{乙}$，则$\overline{x}_{甲}$与$\overline{x}_{乙}$的大小关系是
(3) 经计算知：$s^{2}_{甲}=13.2$，$s^{2}_{乙}=26.36$，$s^{2}_{甲}\_\_\_\_\_\_s^{2}_{乙}$，这表明
(4) 若测验分数在 85 分(含 85 分)以上为优秀，则甲的优秀率为
回答下列问题：
(1) 甲成绩的众数是
86
分，乙成绩的中位数是83
分；(2) 若甲成绩的平均数为$\overline{x}_{甲}$，乙成绩的平均数为$\overline{x}_{乙}$，则$\overline{x}_{甲}$与$\overline{x}_{乙}$的大小关系是
$\bar{x}_{甲}＞\bar{x}_{乙}$
；(3) 经计算知：$s^{2}_{甲}=13.2$，$s^{2}_{乙}=26.36$，$s^{2}_{甲}\_\_\_\_\_\_s^{2}_{乙}$，这表明
甲成绩较稳定
(用简明的文字语言表述)；(4) 若测验分数在 85 分(含 85 分)以上为优秀，则甲的优秀率为
50%
，乙的优秀率为40%
。答案
5. (1) 86 83 (2) $\bar{x}_{甲}＞\bar{x}_{乙}$ (3) ＜ 甲成绩较稳定 (4) 50% 40%
解析
【分析】
本题是统计类基础题，需依次解决四个小问题：
1. 对于众数，找出甲成绩中出现次数最多的数即可；求乙成绩的中位数，需先将乙的成绩从小到大排序，再取中间两个数的平均数（因为数据个数是偶数）。
2. 计算甲乙成绩的平均数，分别将两人10次成绩求和后除以10，再比较大小。
3. 直接比较给定的方差数值，根据方差的意义：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，得出结论。
4. 统计甲乙成绩中85分（含85分）以上的人数，分别除以总测验次数10，得到各自的优秀率。
【解析】
(1) 甲的成绩中，86分出现了2次，出现次数最多，所以甲成绩的众数是86分；
将乙的成绩从小到大排序：74,79,79,80,82,84,85,89,89,91，共10个数据，中间两个数是82和84，因此乙成绩的中位数为$\frac{82+84}{2}=83$分。
(2) 计算甲的平均数：
$\overline{x}_{甲}=\frac{76+84+90+86+81+87+86+82+85+83}{10}=\frac{840}{10}=84$（分）
计算乙的平均数：
$\overline{x}_{乙}=\frac{82+84+85+89+79+80+91+89+74+79}{10}=\frac{832}{10}=83.2$（分）
因为$84＞83.2$，所以$\overline{x}_{甲}＞\overline{x}_{乙}$。
(3) 已知$s^{2}_{甲}=13.2$，$s^{2}_{乙}=26.36$，显然$13.2＜26.36$，即$s^{2}_{甲}＜s^{2}_{乙}$；
根据方差的意义，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，所以这表明甲成绩较稳定。
(4) 甲成绩中85分（含85分）以上的有90,86,87,86,85，共5人，优秀率为$\frac{5}{10}×100\%=50\%$；
乙成绩中85分（含85分）以上的有85,89,91,89，共4人，优秀率为$\frac{4}{10}×100\%=40\%$。
【答案】
(1) 86；83
(2) $\overline{x}_{甲}＞\overline{x}_{乙}$
(3) ＜；甲成绩较稳定
(4) 50%；40%
【知识点】
众数与中位数、平均数计算、方差的意义
【点评】
本题考查统计中的核心基础概念，涵盖众数、中位数、平均数、方差的定义与计算，以及优秀率的求解，注重对统计基础知识的理解与实际应用，是统计类题型的典型基础题。
【难度系数】
0.7
本题是统计类基础题，需依次解决四个小问题：
1. 对于众数，找出甲成绩中出现次数最多的数即可；求乙成绩的中位数，需先将乙的成绩从小到大排序，再取中间两个数的平均数（因为数据个数是偶数）。
2. 计算甲乙成绩的平均数，分别将两人10次成绩求和后除以10，再比较大小。
3. 直接比较给定的方差数值，根据方差的意义：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，得出结论。
4. 统计甲乙成绩中85分（含85分）以上的人数，分别除以总测验次数10，得到各自的优秀率。
【解析】
(1) 甲的成绩中，86分出现了2次，出现次数最多，所以甲成绩的众数是86分；
将乙的成绩从小到大排序：74,79,79,80,82,84,85,89,89,91，共10个数据，中间两个数是82和84，因此乙成绩的中位数为$\frac{82+84}{2}=83$分。
(2) 计算甲的平均数：
$\overline{x}_{甲}=\frac{76+84+90+86+81+87+86+82+85+83}{10}=\frac{840}{10}=84$（分）
计算乙的平均数：
$\overline{x}_{乙}=\frac{82+84+85+89+79+80+91+89+74+79}{10}=\frac{832}{10}=83.2$（分）
因为$84＞83.2$，所以$\overline{x}_{甲}＞\overline{x}_{乙}$。
(3) 已知$s^{2}_{甲}=13.2$，$s^{2}_{乙}=26.36$，显然$13.2＜26.36$，即$s^{2}_{甲}＜s^{2}_{乙}$；
根据方差的意义，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，所以这表明甲成绩较稳定。
(4) 甲成绩中85分（含85分）以上的有90,86,87,86,85，共5人，优秀率为$\frac{5}{10}×100\%=50\%$；
乙成绩中85分（含85分）以上的有85,89,91,89，共4人，优秀率为$\frac{4}{10}×100\%=40\%$。
【答案】
(1) 86；83
(2) $\overline{x}_{甲}＞\overline{x}_{乙}$
(3) ＜；甲成绩较稳定
(4) 50%；40%
【知识点】
众数与中位数、平均数计算、方差的意义
【点评】
本题考查统计中的核心基础概念，涵盖众数、中位数、平均数、方差的定义与计算，以及优秀率的求解，注重对统计基础知识的理解与实际应用，是统计类题型的典型基础题。
【难度系数】
0.7
