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1. （2025·南昌月考）如图，二次函数$y_1=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于A,B,C三点，且点A与点C关于原点O对称，则下列结论中正确的有（
①$a＜0$；②$k=3$；③$c=3$；④当$1＜x＜3$时，$y_1＞y_2$；⑤点A,B所在直线与点B,C所在直线互相垂直.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
D
）①$a＜0$；②$k=3$；③$c=3$；④当$1＜x＜3$时，$y_1＞y_2$；⑤点A,B所在直线与点B,C所在直线互相垂直.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1. D
解析
【分析】
我们可逐个验证结论：①先根据二次函数的开口方向判断a的符号；②利用A、C关于原点对称的性质，结合图中A的横坐标、C的纵坐标求出A、C的坐标，代入反比例函数解析式求k；③先求B点坐标，再将A、B、C三点代入二次函数解析式求解得到c；④观察1＜x＜3区间内两个函数图象的上下位置，判断y₁和y₂的大小；⑤通过计算线段AB、BC、AC的长度，用勾股定理逆定理判断两条直线是否垂直。
【解析】
1. 验证①：二次函数图象开口向下，
∴$a＜0$，①正确；
2. 验证②：
∵点A与点C关于原点对称，由图可知A的横坐标为-3，C的纵坐标为1，可得$A(-3,-1)$，$C(3,1)$。将$A(-3,-1)$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$-1=\frac{k}{-3}$，解得$k=3$，②正确；
3. 验证③：反比例函数解析式为$y_2=\frac{3}{x}$，B点横坐标为1，代入得$y=\frac{3}{1}=3$，
∴$B(1,3)$。将$A(-3,-1)$、$B(1,3)$、$C(3,1)$代入$y_1=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}9a-3b+c=-1 \\ a+b+c=3 \\ 9a+3b+c=1\end{cases}$
将第一个和第三个方程相加得：$18a+2c=0$，即$9a+c=0$；
将第一个减第三个方程得：$-6b=-2$，解得$b=\frac{1}{3}$；
将$b=\frac{1}{3}$代入第二个方程得：$a+c=\frac{8}{3}$，联立$9a+c=0$解得$a=-\frac{1}{3}$，$c=3$，③正确；
4. 验证④：观察图象，在$1＜x＜3$区间内，二次函数图象在反比例函数图象上方，
∴$y_1＞y_2$，④正确；
5. 验证⑤：由两点间距离公式计算：
$AB^2=(1+3)^2+(3+1)^2=32$，$BC^2=(3-1)^2+(1-3)^2=8$，$AC^2=(3+3)^2+(1+1)^2=40$，
∵$AB^2+BC^2=40=AC^2$，根据勾股定理逆定理，$△ ABC$是直角三角形，$∠ ABC=90°$，
∴$AB⊥ BC$，⑤正确。
综上，5个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；反比例函数的性质；勾股定理逆定理
【点评】
本题是二次函数与反比例函数的综合题，需要结合图象特征、坐标对称性质、解析式求解等知识逐一验证结论，侧重考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.3
我们可逐个验证结论：①先根据二次函数的开口方向判断a的符号；②利用A、C关于原点对称的性质，结合图中A的横坐标、C的纵坐标求出A、C的坐标，代入反比例函数解析式求k；③先求B点坐标，再将A、B、C三点代入二次函数解析式求解得到c；④观察1＜x＜3区间内两个函数图象的上下位置，判断y₁和y₂的大小；⑤通过计算线段AB、BC、AC的长度，用勾股定理逆定理判断两条直线是否垂直。
【解析】
1. 验证①：二次函数图象开口向下，
∴$a＜0$，①正确；
2. 验证②：
∵点A与点C关于原点对称，由图可知A的横坐标为-3，C的纵坐标为1，可得$A(-3,-1)$，$C(3,1)$。将$A(-3,-1)$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$-1=\frac{k}{-3}$，解得$k=3$，②正确；
3. 验证③：反比例函数解析式为$y_2=\frac{3}{x}$，B点横坐标为1，代入得$y=\frac{3}{1}=3$，
∴$B(1,3)$。将$A(-3,-1)$、$B(1,3)$、$C(3,1)$代入$y_1=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}9a-3b+c=-1 \\ a+b+c=3 \\ 9a+3b+c=1\end{cases}$
将第一个和第三个方程相加得：$18a+2c=0$，即$9a+c=0$；
将第一个减第三个方程得：$-6b=-2$，解得$b=\frac{1}{3}$；
将$b=\frac{1}{3}$代入第二个方程得：$a+c=\frac{8}{3}$，联立$9a+c=0$解得$a=-\frac{1}{3}$，$c=3$，③正确；
4. 验证④：观察图象，在$1＜x＜3$区间内，二次函数图象在反比例函数图象上方，
∴$y_1＞y_2$，④正确；
5. 验证⑤：由两点间距离公式计算：
$AB^2=(1+3)^2+(3+1)^2=32$，$BC^2=(3-1)^2+(1-3)^2=8$，$AC^2=(3+3)^2+(1+1)^2=40$，
∵$AB^2+BC^2=40=AC^2$，根据勾股定理逆定理，$△ ABC$是直角三角形，$∠ ABC=90°$，
∴$AB⊥ BC$，⑤正确。
综上，5个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；反比例函数的性质；勾股定理逆定理
【点评】
本题是二次函数与反比例函数的综合题，需要结合图象特征、坐标对称性质、解析式求解等知识逐一验证结论，侧重考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.3
2. (2025·深圳模拟)规定1:一个点$A(x,y)$的纵坐标$y$与横坐标$x$的比“$\frac{y}{x}$”称为点A的“纵横比”.例如:点$A(1,3)$,则它的“纵横比”为$\frac{3}{1}=3$.
规定2:若点$A(x,y)$是函数图象上任意一点,则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”.例如:点$A(x,y)$在函数$y=x^2+x(3≤x≤6)$的图象上,图象上所有点的“纵横比”可以表示为$\frac{y}{x}=\frac{x^2+x}{x}=x+1$,当$3≤x≤6$时,$x+1$的最大值为$6+1=7$,所以函数的$y=x^2+x(3≤x≤6)$“最优纵横比”为7.
根据规定,解答下列问题:
(1)点$B(-1,2)$的“纵横比”为
(2)若当$1≤x≤3$时,一次函数$y=kx+4(k≠0)$的“最优纵横比”为5,则$k$的值为
(3)已知函数$y=ax^2+bx$的顶点在直线$x=1$上,当$1≤x≤4$时,函数的“最优纵横比”为2,求$b$的值;
(4)已知二次函数$y=(x+9)^2-\frac{1}{4}$的图象如图所示,平面中有$A,B$两点,且$A(-6,2),B(-2,6)$,现向右平移该二次函数图象,使得图象与线段$AB$只有一个交点.若平移的距离为$m$,请求出$m$的取值范围,并直接写出交点“纵横比”$n$的对应范围.
备用图
规定2:若点$A(x,y)$是函数图象上任意一点,则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”.例如:点$A(x,y)$在函数$y=x^2+x(3≤x≤6)$的图象上,图象上所有点的“纵横比”可以表示为$\frac{y}{x}=\frac{x^2+x}{x}=x+1$,当$3≤x≤6$时,$x+1$的最大值为$6+1=7$,所以函数的$y=x^2+x(3≤x≤6)$“最优纵横比”为7.
根据规定,解答下列问题:
(1)点$B(-1,2)$的“纵横比”为
-2
;(2)若当$1≤x≤3$时,一次函数$y=kx+4(k≠0)$的“最优纵横比”为5,则$k$的值为
1
;(3)已知函数$y=ax^2+bx$的顶点在直线$x=1$上,当$1≤x≤4$时,函数的“最优纵横比”为2,求$b$的值;
(4)已知二次函数$y=(x+9)^2-\frac{1}{4}$的图象如图所示,平面中有$A,B$两点,且$A(-6,2),B(-2,6)$,现向右平移该二次函数图象,使得图象与线段$AB$只有一个交点.若平移的距离为$m$,请求出$m$的取值范围,并直接写出交点“纵横比”$n$的对应范围.
备用图
答案
2. (1)-2 (2)1
(3)
∵ 二次函数 $y=ax^2+bx$ 的顶点在直线 $x=1$ 上,
∴ $-\frac{b}{2a}=1$,则$b=-2a$,二次函数 $y=ax^2+bx$ 的“纵横比”为 $\frac{y}{x}=\frac{ax^2+bx}{x}=ax+b$. 若 $a＞0$,当 $1≤x≤4$ 时,“纵横比”随着 $x$ 的增大而增大,
∴ 当 $x=4$ 时,二次函数 $y=ax^2+bx$ 取得“最优纵横比”为 $4a+b=4a-2a=2a$.
∵ 二次函数的“最优纵横比”为 2,
∴ $2a=2$,解得 $a=1$,则 $b=-2a=-2$. 若 $a＜0$,当$1≤x≤4$ 时,“纵横比”随着 $x$ 的增大而减小,
∴ 当 $x=1$ 时,二次函数$y=ax^2+bx$ 取得“最优纵横比”为 $a+b=a-2a=-a$.
∵ 二次函数的“最优纵横比”为 2,
∴ $-a=2$,解得 $a=-2$,则 $b=-2a=4$. 综上,当 $1≤x≤$4,二次函数的“最优纵横比”为 2 时,$b$ 的值为-2 或 4.
(4)根据题意得二次函数 $y=(x+9)^2-\frac{1}{4}$ 平移后的表达式为 $y=$$(x+9-m)^2-\frac{1}{4}$,
∵ $A(-6,2),B(-2,6)$,
∴ 将 $A(-6,2)$ 代入 $y=$$(x+9-m)^2-\frac{1}{4}$ 可得 $2=(-6+9-m)^2-\frac{1}{4}$,解得 $m=\frac{3}{2}$ 或 $m=\frac{9}{2}$,将$B(-2,6)$ 代入 $y=(x+9-m)^2-\frac{1}{4}$ 可得 $6=(-2+9-m)^2-\frac{1}{4}$,解得 $m=$$\frac{9}{2}$ 或 $m=\frac{19}{2}$,故当 $m=\frac{9}{2}$ 时,$A(-6,2)$ 和 $B(-2,6)$ 都在 $y=$$(x+9-m)^2-\frac{1}{4}$ 上,如图,
根据图象可得当 $\frac{3}{2}≤m＜\frac{9}{2}$ 或 $\frac{9}{2}＜m≤\frac{19}{2}$ 时,图象与线段 $AB$ 只有一个交点.
∵ $A(-6,2),B(-2,6)$,设直线 $AB$ 的表达式为 $y=k'x+b'$,
∴ $\begin{cases}2=-6k'+b',\\6=-2k'+b',\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k'=1,\\b'=8,\end{cases}$ 故直线 $AB$ 的表达式为 $y=x+8(-6≤$$x≤-2)$,则交点“纵横比”$n=\frac{x+8}{x}=1+\frac{8}{x}$,则“纵横比”随着 $x$ 的增大而减小.
∵ $-6≤x≤-2$,
∴ 当 $x=-6$ 时,$n_{最大值}=1+\frac{8}{-6}=-\frac{1}{3}$,当 $x=-2$时,$n_{最小值}=1+\frac{8}{-2}=-3$,
∴ 交点“纵横比”$n$ 的对应范围是 $-3≤$$n≤-\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题是新定义结合函数性质的综合题，解题思路如下：
(1) 直接根据“纵横比”的定义，用点的纵坐标除以横坐标即可计算；
(2) 先将一次函数的“纵横比”化简为关于x的表达式，结合x的取值范围判断单调性，根据最大值为5求解k即可；
(3) 先利用二次函数对称轴公式得到a与b的关系，再将“纵横比”化简为一次函数形式，分a＞0和a＜0两种情况讨论最大值，结合“最优纵横比”为2求解b即可；
(4) 先写出二次函数平移后的解析式，分别将A、B两点代入求出m的临界值，结合图象判断只有一个交点的m范围；再求出线段AB的解析式，将“纵横比”表示为关于x的函数，结合x的范围求n的取值范围即可。
【解析】
(1) 根据“纵横比”的定义，点$B(-1,2)$的纵横比为$\frac{2}{-1}=-2$。
(2) 一次函数$y=kx+4$的纵横比为$\frac{y}{x}=\frac{kx+4}{x}=k+\frac{4}{x}$，在$1≤x≤3$范围内，$\frac{4}{x}$随x的增大而减小，最大值在x=1处取得，由题知最优纵横比为5，故$k+4=5$，解得$k=1$。
(3)
∵ 二次函数$y=ax^2+bx$的顶点在直线$x=1$上，
∴ 对称轴$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$。
该函数的纵横比为$\frac{y}{x}=\frac{ax^2+bx}{x}=ax+b=ax-2a$（$1≤x≤4$），是关于x的一次函数：
① 若$a＞0$，函数随x增大而增大，x=4时取最大值，即$4a-2a=2a=2$，解得$a=1$，则$b=-2×1=-2$；
② 若$a＜0$，函数随x增大而减小，x=1时取最大值，即$a-2a=-a=2$，解得$a=-2$，则$b=-2×(-2)=4$。
综上，b的值为-2或4。
(4) 向右平移m个单位后的二次函数解析式为$y=(x+9-m)^2-\frac{1}{4}$。
求线段AB的解析式：设$y=k'x+b'$，代入$A(-6,2)$、$B(-2,6)$得$\begin{cases}2=-6k'+b'\\6=-2k'+b'\end{cases}$，解得$\begin{cases}k'=1\\b'=8\end{cases}$，即线段AB解析式为$y=x+8$（$-6≤x≤-2$）。
将A代入平移后的函数：$2=(3-m)^2-\frac{1}{4}$，解得$m=\frac{3}{2}$或$m=\frac{9}{2}$；
将B代入平移后的函数：$6=(7-m)^2-\frac{1}{4}$，解得$m=\frac{9}{2}$或$m=\frac{19}{2}$。
当$m=\frac{9}{2}$时A、B都在函数图象上，结合图象得：当$\frac{3}{2}≤m＜\frac{9}{2}$或$\frac{9}{2}＜m≤\frac{19}{2}$时，图象与线段AB只有一个交点。
交点纵横比$n=\frac{y}{x}=\frac{x+8}{x}=1+\frac{8}{x}$，在$-6≤x≤-2$范围内n随x增大而减小：x=-6时$n_{max}=-\frac{1}{3}$，x=-2时$n_{min}=-3$，故$-3≤n≤-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$
(2) $\boldsymbol{1}$
(3) $\boldsymbol{b}$的值为$\boldsymbol{-2}$或$\boldsymbol{4}$
(4) $m$的取值范围是$\boldsymbol{\frac{3}{2}≤m＜\frac{9}{2}}$或$\boldsymbol{\frac{9}{2}＜m≤\frac{19}{2}}$，交点“纵横比”$n$的对应范围是$\boldsymbol{-3≤n≤-\frac{1}{3}}$。
【知识点】
新定义问题，二次函数的性质，函数图象平移
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查了一次函数、二次函数的图象与性质，以及函数平移的规律，需要灵活运用分类讨论、数形结合的思想分析问题，对逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.4
本题是新定义结合函数性质的综合题，解题思路如下：
(1) 直接根据“纵横比”的定义，用点的纵坐标除以横坐标即可计算；
(2) 先将一次函数的“纵横比”化简为关于x的表达式，结合x的取值范围判断单调性，根据最大值为5求解k即可；
(3) 先利用二次函数对称轴公式得到a与b的关系，再将“纵横比”化简为一次函数形式，分a＞0和a＜0两种情况讨论最大值，结合“最优纵横比”为2求解b即可；
(4) 先写出二次函数平移后的解析式，分别将A、B两点代入求出m的临界值，结合图象判断只有一个交点的m范围；再求出线段AB的解析式，将“纵横比”表示为关于x的函数，结合x的范围求n的取值范围即可。
【解析】
(1) 根据“纵横比”的定义，点$B(-1,2)$的纵横比为$\frac{2}{-1}=-2$。
(2) 一次函数$y=kx+4$的纵横比为$\frac{y}{x}=\frac{kx+4}{x}=k+\frac{4}{x}$，在$1≤x≤3$范围内，$\frac{4}{x}$随x的增大而减小，最大值在x=1处取得，由题知最优纵横比为5，故$k+4=5$，解得$k=1$。
(3)
∵ 二次函数$y=ax^2+bx$的顶点在直线$x=1$上，
∴ 对称轴$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$。
该函数的纵横比为$\frac{y}{x}=\frac{ax^2+bx}{x}=ax+b=ax-2a$（$1≤x≤4$），是关于x的一次函数：
① 若$a＞0$，函数随x增大而增大，x=4时取最大值，即$4a-2a=2a=2$，解得$a=1$，则$b=-2×1=-2$；
② 若$a＜0$，函数随x增大而减小，x=1时取最大值，即$a-2a=-a=2$，解得$a=-2$，则$b=-2×(-2)=4$。
综上，b的值为-2或4。
(4) 向右平移m个单位后的二次函数解析式为$y=(x+9-m)^2-\frac{1}{4}$。
求线段AB的解析式：设$y=k'x+b'$，代入$A(-6,2)$、$B(-2,6)$得$\begin{cases}2=-6k'+b'\\6=-2k'+b'\end{cases}$，解得$\begin{cases}k'=1\\b'=8\end{cases}$，即线段AB解析式为$y=x+8$（$-6≤x≤-2$）。
将A代入平移后的函数：$2=(3-m)^2-\frac{1}{4}$，解得$m=\frac{3}{2}$或$m=\frac{9}{2}$；
将B代入平移后的函数：$6=(7-m)^2-\frac{1}{4}$，解得$m=\frac{9}{2}$或$m=\frac{19}{2}$。
当$m=\frac{9}{2}$时A、B都在函数图象上，结合图象得：当$\frac{3}{2}≤m＜\frac{9}{2}$或$\frac{9}{2}＜m≤\frac{19}{2}$时，图象与线段AB只有一个交点。
交点纵横比$n=\frac{y}{x}=\frac{x+8}{x}=1+\frac{8}{x}$，在$-6≤x≤-2$范围内n随x增大而减小：x=-6时$n_{max}=-\frac{1}{3}$，x=-2时$n_{min}=-3$，故$-3≤n≤-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$
(2) $\boldsymbol{1}$
(3) $\boldsymbol{b}$的值为$\boldsymbol{-2}$或$\boldsymbol{4}$
(4) $m$的取值范围是$\boldsymbol{\frac{3}{2}≤m＜\frac{9}{2}}$或$\boldsymbol{\frac{9}{2}＜m≤\frac{19}{2}}$，交点“纵横比”$n$的对应范围是$\boldsymbol{-3≤n≤-\frac{1}{3}}$。
【知识点】
新定义问题，二次函数的性质，函数图象平移
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查了一次函数、二次函数的图象与性质，以及函数平移的规律，需要灵活运用分类讨论、数形结合的思想分析问题，对逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.4
