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项目式学习【问题呈现】阿基米德折弦定理:如图①,AB 和 BC 是$\odot O$的两条弦(即折线 ABC 是圆的一条折弦),$BC＞AB$,点 M 是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,则从点 M 向 BC 所作垂线的垂足 D 是折弦 ABC 的中点,即$CD=BD+BA$.下面是运用“截长法”证明$CD=BD+BA$的证明过程.
证明:如图②,在 CD 上截取$CG=AB$,连结 MA,MB,MC 和 MG,$\because$点 M 是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{MA}=\overset{\frown}{MC}$,$\therefore MA=MC$(相等的弧所对的弦相等).又$\because ∠ A=∠ C$(同弧所对的圆周角相等),$\therefore △ MAB ≌ △ MCG$,$\therefore MB=MG$.又$\because MD ⊥ BC$,$\therefore BD=DG$,$\therefore AB+BD=CG+DG$,即$CD=BD+BA$.
(1)【理解运用】如图①,AB,BC 是$\odot O$的两条弦,$AB=8$,$BC=12$,点 M 是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,$MD ⊥ BC$于点 D,则 BD 的长为
(2)【变式探究】如图③,若点 M 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,【问题呈现】中的其他条件不变,判断 CD,BD,BA 之间存在怎样的数量关系,并加以证明;
(3)【实践应用】如图④,BC 是$\odot O$的直径,点 A 是圆上一定点,点 D 是圆上一动点,且满足$∠ DAC=45°$,若$AB=12$,$\odot O$的半径为 10,则 AD 的长为
证明:如图②,在 CD 上截取$CG=AB$,连结 MA,MB,MC 和 MG,$\because$点 M 是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{MA}=\overset{\frown}{MC}$,$\therefore MA=MC$(相等的弧所对的弦相等).又$\because ∠ A=∠ C$(同弧所对的圆周角相等),$\therefore △ MAB ≌ △ MCG$,$\therefore MB=MG$.又$\because MD ⊥ BC$,$\therefore BD=DG$,$\therefore AB+BD=CG+DG$,即$CD=BD+BA$.
(1)【理解运用】如图①,AB,BC 是$\odot O$的两条弦,$AB=8$,$BC=12$,点 M 是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,$MD ⊥ BC$于点 D,则 BD 的长为
2
;(2)【变式探究】如图③,若点 M 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,【问题呈现】中的其他条件不变,判断 CD,BD,BA 之间存在怎样的数量关系,并加以证明;
(3)【实践应用】如图④,BC 是$\odot O$的直径,点 A 是圆上一定点,点 D 是圆上一动点,且满足$∠ DAC=45°$,若$AB=12$,$\odot O$的半径为 10,则 AD 的长为
14√2或2√2
.答案
(1)2
(2)$BD = CD + BA$,证明:在 DB 上截取 $BG = BA$,连结 MA,MB,MC,MG,
,$\because M$ 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,$\therefore AM = MC$,$∠MBA = ∠MBG$.又$MB=MB$,$\therefore △MAB≌△MGB$,$\therefore MA = MG$,$\therefore MC = MG$. 又 $DM ⊥ BC$,$\therefore DC = DG$,$\therefore AB+DC = BG+DG$,即 $BD = CD+BA$.(3)$14\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$ 解析:
,当点 $D_1$ 在 BC 下方时,过点 $D_1$ 作$D_1G_1 ⊥ AC$ 于点 $G_1$,连结 $AD_1$.$\because BC$ 是圆的直径,$\therefore ∠BAC = 90°$.$\because AB = 12$, 圆的半径为 10, $\therefore BC = 20$, $\therefore AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} =\sqrt{20^2 - 12^2}=16$.
$\because ∠D_1AC = 45°$,$\therefore ∠D_1AB = 45°$,$\therefore \overset{\frown}{CD_1}=\overset{\frown}{BD_1}$,$\therefore D_1$为$\overset{\frown}{BD_1C}$的中点,$\therefore CG_1 + AB = AG_1$,$\therefore AG_1 = \frac{1}{2}×(12+16)=14$,$\therefore AD_1 =14\sqrt{2}$.
当点 $D_2$ 在 BC 上方时,$∠D_2AC = 45°$,同理得 $AD_2 = 2\sqrt{2}$.
综上所述,AD 的长为 $14\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 直接运用题干给出的阿基米德折弦定理结论$CD=BD+BA$，结合$CD+BD=BC$，代入已知线段长度建立方程即可求解BD；
(2) 属于折弦定理的变式情况，类比题干的截长法，在较长的线段BD上截取$BG=BA$，通过证明$△ MAB≌△ MGB$得到$MA=MG$，结合弧中点性质得$MA=MC$，进而推出$MC=MG$，再利用等腰三角形三线合一得到$DC=DG$，即可推导出三条线段的数量关系；
(3) 首先根据直径所对圆周角为直角，用勾股定理求出AC的长度，再分点D在BC下方、BC上方两种情况，结合$∠ DAC=45°$得到对应弧相等，确定D为对应弧的中点，运用折弦定理的结论求出直角边长度，最后根据等腰直角三角形的三边关系计算AD的长度，注意不要漏解。
【解析】
(1) 根据阿基米德折弦定理可得$CD=BD+AB$，
$\because BC=CD+BD=12$，$AB=8$，
$\therefore BD+8+BD=12$，
解得$BD=2$。
(2) 数量关系：$BD = CD + BA$，证明如下：
在DB上截取 $BG = BA$，连结 MA,MB,MC,MG，
$\because M$ 是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MC}$，$\therefore AM = MC$，且$∠ MBA = ∠ MBG$。
又$\because MB=MB$，
$\therefore △ MAB≌△ MGB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore MA = MG$，$\therefore MC = MG$。
又 $\because DM ⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一，$\therefore DC = DG$，
$\therefore AB+DC = BG+DG$，即 $BD = CD+BA$。
(3)，$\because BC$ 是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ BAC = 90°$。
$\because \odot O$半径为10，$\therefore BC=20$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} =\sqrt{20^2 - 12^2}=16$。
分两种情况讨论：
① 当点 $D_1$ 在 BC 下方时，过点 $D_1$ 作$D_1G_1 ⊥ AC$ 于点 $G_1$，连结 $AD_1$。
$\because ∠ D_1AC = 45°$，$\therefore ∠ D_1AB = 45°$，
$\therefore \overset{\frown}{CD_1}=\overset{\frown}{BD_1}$，即$D_1$为$\overset{\frown}{BD_1C}$的中点，根据折弦定理可得$CG_1 + AB = AG_1$，
$\therefore AG_1 = \frac{1}{2}×(12+16)=14$，
$\because △ D_1AG_1$是等腰直角三角形，$\therefore AD_1 =14\sqrt{2}$。
② 当点 $D_2$ 在 BC 上方时，$∠ D_2AC = 45°$，同理可得$AD_2 = 2\sqrt{2}$。
综上，AD的长为$14\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{BD = CD + BA}$，证明：在 DB 上截取 $BG = BA$，连结 MA,MB,MC,MG，，$\because M$ 是$\overset{\frown}{AC}$的中点，$\therefore AM = MC$，$∠ MBA = ∠ MBG$。又$MB=MB$，$\therefore △ MAB≌△ MGB$，$\therefore MA = MG$，$\therefore MC = MG$。 又 $DM ⊥ BC$，$\therefore DC = DG$，$\therefore AB+DC = BG+DG$，即 $BD = CD+BA$。
(3) $\boxed{14\sqrt{2}}$或$\boxed{2\sqrt{2}}$，解析：，当点 $D_1$ 在 BC 下方时，过点 $D_1$ 作$D_1G_1 ⊥ AC$ 于点 $G_1$，连结 $AD_1$。$\because BC$ 是圆的直径，$\therefore ∠ BAC = 90°$。$\because AB = 12$， 圆的半径为 10， $\therefore BC = 20$， $\therefore AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} =\sqrt{20^2 - 12^2}=16$。$\because ∠ D_1AC = 45°$，$\therefore ∠ D_1AB = 45°$，$\therefore \overset{\frown}{CD_1}=\overset{\frown}{BD_1}$，$\therefore D_1$为$\overset{\frown}{BD_1C}$的中点，$\therefore CG_1 + AB = AG_1$，$\therefore AG_1 = \frac{1}{2}×(12+16)=14$，$\therefore AD_1 =14\sqrt{2}$。当点 $D_2$ 在 BC 上方时，$∠ D_2AC = 45°$，同理得 $AD_2 = 2\sqrt{2}$。综上所述，AD 的长为 $14\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$。
【知识点】
圆周角定理，全等三角形判定与性质，阿基米德折弦定理
【点评】
本题以阿基米德折弦定理为背景，设置了理解运用、变式探究、实践应用三个梯度的问题，既考查了对新定理的理解迁移能力，也融合了三角形、圆的核心知识点考查，第三问需要运用分类讨论思想，避免漏考虑D的位置导致丢解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 直接运用题干给出的阿基米德折弦定理结论$CD=BD+BA$，结合$CD+BD=BC$，代入已知线段长度建立方程即可求解BD；
(2) 属于折弦定理的变式情况，类比题干的截长法，在较长的线段BD上截取$BG=BA$，通过证明$△ MAB≌△ MGB$得到$MA=MG$，结合弧中点性质得$MA=MC$，进而推出$MC=MG$，再利用等腰三角形三线合一得到$DC=DG$，即可推导出三条线段的数量关系；
(3) 首先根据直径所对圆周角为直角，用勾股定理求出AC的长度，再分点D在BC下方、BC上方两种情况，结合$∠ DAC=45°$得到对应弧相等，确定D为对应弧的中点，运用折弦定理的结论求出直角边长度，最后根据等腰直角三角形的三边关系计算AD的长度，注意不要漏解。
【解析】
(1) 根据阿基米德折弦定理可得$CD=BD+AB$，
$\because BC=CD+BD=12$，$AB=8$，
$\therefore BD+8+BD=12$，
解得$BD=2$。
(2) 数量关系：$BD = CD + BA$，证明如下：
在DB上截取 $BG = BA$，连结 MA,MB,MC,MG，
$\because M$ 是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MC}$，$\therefore AM = MC$，且$∠ MBA = ∠ MBG$。
又$\because MB=MB$，
$\therefore △ MAB≌△ MGB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore MA = MG$，$\therefore MC = MG$。
又 $\because DM ⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一，$\therefore DC = DG$，
$\therefore AB+DC = BG+DG$，即 $BD = CD+BA$。
(3)
，$\because BC$ 是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ BAC = 90°$。$\because \odot O$半径为10，$\therefore BC=20$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} =\sqrt{20^2 - 12^2}=16$。
分两种情况讨论：
① 当点 $D_1$ 在 BC 下方时，过点 $D_1$ 作$D_1G_1 ⊥ AC$ 于点 $G_1$，连结 $AD_1$。
$\because ∠ D_1AC = 45°$，$\therefore ∠ D_1AB = 45°$，
$\therefore \overset{\frown}{CD_1}=\overset{\frown}{BD_1}$，即$D_1$为$\overset{\frown}{BD_1C}$的中点，根据折弦定理可得$CG_1 + AB = AG_1$，
$\therefore AG_1 = \frac{1}{2}×(12+16)=14$，
$\because △ D_1AG_1$是等腰直角三角形，$\therefore AD_1 =14\sqrt{2}$。
② 当点 $D_2$ 在 BC 上方时，$∠ D_2AC = 45°$，同理可得$AD_2 = 2\sqrt{2}$。
综上，AD的长为$14\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{BD = CD + BA}$，证明：在 DB 上截取 $BG = BA$，连结 MA,MB,MC,MG，
，$\because M$ 是$\overset{\frown}{AC}$的中点，$\therefore AM = MC$，$∠ MBA = ∠ MBG$。又$MB=MB$，$\therefore △ MAB≌△ MGB$，$\therefore MA = MG$，$\therefore MC = MG$。 又 $DM ⊥ BC$，$\therefore DC = DG$，$\therefore AB+DC = BG+DG$，即 $BD = CD+BA$。(3) $\boxed{14\sqrt{2}}$或$\boxed{2\sqrt{2}}$，解析：
，当点 $D_1$ 在 BC 下方时，过点 $D_1$ 作$D_1G_1 ⊥ AC$ 于点 $G_1$，连结 $AD_1$。$\because BC$ 是圆的直径，$\therefore ∠ BAC = 90°$。$\because AB = 12$， 圆的半径为 10， $\therefore BC = 20$， $\therefore AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} =\sqrt{20^2 - 12^2}=16$。$\because ∠ D_1AC = 45°$，$\therefore ∠ D_1AB = 45°$，$\therefore \overset{\frown}{CD_1}=\overset{\frown}{BD_1}$，$\therefore D_1$为$\overset{\frown}{BD_1C}$的中点，$\therefore CG_1 + AB = AG_1$，$\therefore AG_1 = \frac{1}{2}×(12+16)=14$，$\therefore AD_1 =14\sqrt{2}$。当点 $D_2$ 在 BC 上方时，$∠ D_2AC = 45°$，同理得 $AD_2 = 2\sqrt{2}$。综上所述，AD 的长为 $14\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$。【知识点】
圆周角定理，全等三角形判定与性质，阿基米德折弦定理
【点评】
本题以阿基米德折弦定理为背景，设置了理解运用、变式探究、实践应用三个梯度的问题，既考查了对新定理的理解迁移能力，也融合了三角形、圆的核心知识点考查，第三问需要运用分类讨论思想，避免漏考虑D的位置导致丢解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
