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1.若一个圆内最长的弦长是12 cm，则此圆的半径是 cm。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
解题时首先要回忆圆中弦的相关性质：圆内最长的弦是直径。已知最长弦的长度，也就得到了圆的直径，再根据半径是直径的一半，就能计算出圆的半径。
【解析】
根据圆的性质可知，圆内最长的弦是直径，因此该圆的直径为12cm。
同一个圆中，半径长度是直径的$\frac{1}{2}$，所以圆的半径为$12÷2=6$cm。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
圆的弦的特征；直径与半径的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记圆内最长的弦为直径这一性质，只要掌握相关基础概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先要回忆圆中弦的相关性质：圆内最长的弦是直径。已知最长弦的长度，也就得到了圆的直径，再根据半径是直径的一半，就能计算出圆的半径。
【解析】
根据圆的性质可知，圆内最长的弦是直径，因此该圆的直径为12cm。
同一个圆中，半径长度是直径的$\frac{1}{2}$，所以圆的半径为$12÷2=6$cm。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
圆的弦的特征；直径与半径的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记圆内最长的弦为直径这一性质，只要掌握相关基础概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.扇形的面积是它所在圆的面积的$\frac{2}{3}$，
这个扇形的圆心角的大小是。
这个扇形的圆心角的大小是。
答案
$\boldsymbol{240°}$
解析
【分析】解题时首先明确两个核心认知：1. 整个圆对应的圆心角是周角，为360°；2. 同一个圆中，扇形的面积占所在圆面积的比例，与该扇形圆心角占周角的比例完全相等。题目已经给出扇形面积占圆面积的比例为$\frac{2}{3}$，因此直接用周角的度数乘以这个占比，即可求出扇形的圆心角度数。
【解析】解：
∵ 圆的圆心角为周角，度数是360°，
同圆中扇形面积占圆面积的比例等于其圆心角占周角的比例，
∴ 该扇形的圆心角为：$360°×\frac{2}{3}=240°$
【答案】$240°$
【知识点】扇形与圆的关系；圆心角计算
【点评】本题是基础类题目，核心考查扇形和其所在圆的对应关系，解题的关键是理解面积占比和圆心角占比的对等关系，掌握该知识点即可快速得出答案。
【难度系数】0.8
【解析】解：
∵ 圆的圆心角为周角，度数是360°，
同圆中扇形面积占圆面积的比例等于其圆心角占周角的比例，
∴ 该扇形的圆心角为：$360°×\frac{2}{3}=240°$
【答案】$240°$
【知识点】扇形与圆的关系；圆心角计算
【点评】本题是基础类题目，核心考查扇形和其所在圆的对应关系，解题的关键是理解面积占比和圆心角占比的对等关系，掌握该知识点即可快速得出答案。
【难度系数】0.8
3.若正六边形的周长为18 cm，一个内角为120°，则其所有内角的和为，边长为cm。
答案
所有内角的和为$\boldsymbol{720°}$，边长为$\boldsymbol{3}$ cm。
解析
【分析】
拿到本题首先明确考察正六边形的相关性质，解题思路如下：1. 求边长：正多边形的各边长度相等，周长等于边长乘边数，已知周长和边数，用周长除以边数即可得到边长；2. 求内角和：有两种计算方法，方法一：利用多边形内角和公式，只要知道边数n，代入公式(n-2)×180°就能算出内角和，正六边形边数为6，直接代入即可；方法二：正多边形各内角相等，已知单个内角为120°，乘内角总个数6也可得到内角和。
【解析】
1. 计算边长：
正六边形有6条长度相等的边，周长=边长×6，已知周长为18cm，
因此边长=18÷6=3cm。
2. 计算内角和：
方法一：多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（n为边数，n≥3且为整数），正六边形边数n=6，
代入得内角和=$(6-2)×180°=4×180°=720°$。
方法二：正六边形各内角相等，已知一个内角为120°，共6个内角，
因此内角和=$6×120°=720°$。
【答案】
$720°$；$3$
【知识点】
正多边形的性质；多边形内角和公式；正多边形周长计算
【点评】
本题属于基础题，主要考察正多边形的基本性质和内角和公式的简单应用，牢记相关概念和公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先明确考察正六边形的相关性质，解题思路如下：1. 求边长：正多边形的各边长度相等，周长等于边长乘边数，已知周长和边数，用周长除以边数即可得到边长；2. 求内角和：有两种计算方法，方法一：利用多边形内角和公式，只要知道边数n，代入公式(n-2)×180°就能算出内角和，正六边形边数为6，直接代入即可；方法二：正多边形各内角相等，已知单个内角为120°，乘内角总个数6也可得到内角和。
【解析】
1. 计算边长：
正六边形有6条长度相等的边，周长=边长×6，已知周长为18cm，
因此边长=18÷6=3cm。
2. 计算内角和：
方法一：多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（n为边数，n≥3且为整数），正六边形边数n=6，
代入得内角和=$(6-2)×180°=4×180°=720°$。
方法二：正六边形各内角相等，已知一个内角为120°，共6个内角，
因此内角和=$6×120°=720°$。
【答案】
$720°$；$3$
【知识点】
正多边形的性质；多边形内角和公式；正多边形周长计算
【点评】
本题属于基础题，主要考察正多边形的基本性质和内角和公式的简单应用，牢记相关概念和公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
4.时钟的时针长是 3 cm，从 10:00到11:00，时针扫过的面积是 cm²。
答案
$\boldsymbol{\frac{3π}{4}}$
解析
【分析】
解决这道题我们可以分三步思考：第一步，先明确时钟的特点：时针转一圈是12小时，对应圆心角为360°，因此先算出从10:00到11:00这1小时里时针转过的圆心角度数；第二步，知道时针长度就是扫过的扇形的半径；第三步，用扇形面积公式计算对应的面积即可。
【解析】
首先计算时针1小时转过的圆心角度数：
时钟一圈对应360°，共12个小时刻度，因此每小时时针转过的角度为 $ 360° ÷ 12 = 30° $。
时针长3cm，即扫过的扇形半径 $ r=3\mathrm{cm} $，圆心角 $ n=30° $，根据扇形面积公式 $ S_{\mathrm{扇形}}=\frac{n}{360°} × π r^2 $，代入数值计算：
$ S=\frac{30°}{360°} × π × 3^2 $
$ =\frac{1}{12} × π × 9 $
$ =\frac{3π}{4} (\mathrm{cm}^2) $
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3π}{4}}$
【知识点】
扇形面积计算，钟面角度计算
【点评】
本题结合生活中常见的时钟场景考察扇形面积的实际应用，解题的核心是准确求出时针1小时转动的圆心角度数，只要熟练掌握扇形面积公式和钟面刻度对应的角度关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解决这道题我们可以分三步思考：第一步，先明确时钟的特点：时针转一圈是12小时，对应圆心角为360°，因此先算出从10:00到11:00这1小时里时针转过的圆心角度数；第二步，知道时针长度就是扫过的扇形的半径；第三步，用扇形面积公式计算对应的面积即可。
【解析】
首先计算时针1小时转过的圆心角度数：
时钟一圈对应360°，共12个小时刻度，因此每小时时针转过的角度为 $ 360° ÷ 12 = 30° $。
时针长3cm，即扫过的扇形半径 $ r=3\mathrm{cm} $，圆心角 $ n=30° $，根据扇形面积公式 $ S_{\mathrm{扇形}}=\frac{n}{360°} × π r^2 $，代入数值计算：
$ S=\frac{30°}{360°} × π × 3^2 $
$ =\frac{1}{12} × π × 9 $
$ =\frac{3π}{4} (\mathrm{cm}^2) $
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3π}{4}}$
【知识点】
扇形面积计算，钟面角度计算
【点评】
本题结合生活中常见的时钟场景考察扇形面积的实际应用，解题的核心是准确求出时针1小时转动的圆心角度数，只要熟练掌握扇形面积公式和钟面刻度对应的角度关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
5. 提升题一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形的边数为。
答案
解：一个多边形截去一个角，共有三种不同的截法：
1. 当截线不经过原多边形的任何顶点时，截后新多边形的边数比原多边形边数多1，若新多边形是六边形，则原多边形边数为$6-1=5$；
2. 当截线经过原多边形的1个顶点时，截后新多边形的边数与原多边形边数相等，若新多边形是六边形，则原多边形边数为$6$；
3. 当截线经过原多边形的2个顶点时，截后新多边形的边数比原多边形边数少1，若新多边形是六边形，则原多边形边数为$6+1=7$。
综上，原多边形的边数为$\boldsymbol{5或6或7}$。
1. 当截线不经过原多边形的任何顶点时，截后新多边形的边数比原多边形边数多1，若新多边形是六边形，则原多边形边数为$6-1=5$；
2. 当截线经过原多边形的1个顶点时，截后新多边形的边数与原多边形边数相等，若新多边形是六边形，则原多边形边数为$6$；
3. 当截线经过原多边形的2个顶点时，截后新多边形的边数比原多边形边数少1，若新多边形是六边形，则原多边形边数为$6+1=7$。
综上，原多边形的边数为$\boldsymbol{5或6或7}$。
解析
【分析】
解决这道题首先要明确：多边形截去一个角时，截线经过原多边形顶点的数量不同，新多边形的边数会出现三种不同的变化情况。我们只需结合新得到的六边形的边数，分三种情况反向推导原多边形的边数即可，注意不要漏过任何一种截法。
【解析】
多边形截去一个角共有三种不同的截法，对应新多边形边数的三种变化：
1. 当截线不经过原多边形的任何顶点时，截后新多边形的边数比原多边形多1。已知新多边形是六边形，因此原多边形边数为$6-1=5$；
2. 当截线经过原多边形的1个顶点时，截后新多边形的边数与原多边形边数相等。已知新多边形是六边形，因此原多边形边数为$6$；
3. 当截线经过原多边形的2个顶点时，截后新多边形的边数比原多边形少1。已知新多边形是六边形，因此原多边形边数为$6+1=7$。
综上，原多边形的边数为5或6或7。
【答案】
5或6或7
【知识点】
多边形的认识；截角边数变化规律
【点评】
本题是多边形相关的易错题，核心考查分类讨论的思想，解题时需要全面考虑截角的所有可能情况，避免因漏想截法导致答案不全。
【难度系数】
0.4
解决这道题首先要明确：多边形截去一个角时，截线经过原多边形顶点的数量不同，新多边形的边数会出现三种不同的变化情况。我们只需结合新得到的六边形的边数，分三种情况反向推导原多边形的边数即可，注意不要漏过任何一种截法。
【解析】
多边形截去一个角共有三种不同的截法，对应新多边形边数的三种变化：
1. 当截线不经过原多边形的任何顶点时，截后新多边形的边数比原多边形多1。已知新多边形是六边形，因此原多边形边数为$6-1=5$；
2. 当截线经过原多边形的1个顶点时，截后新多边形的边数与原多边形边数相等。已知新多边形是六边形，因此原多边形边数为$6$；
3. 当截线经过原多边形的2个顶点时，截后新多边形的边数比原多边形少1。已知新多边形是六边形，因此原多边形边数为$6+1=7$。
综上，原多边形的边数为5或6或7。
【答案】
5或6或7
【知识点】
多边形的认识；截角边数变化规律
【点评】
本题是多边形相关的易错题，核心考查分类讨论的思想，解题时需要全面考虑截角的所有可能情况，避免因漏想截法导致答案不全。
【难度系数】
0.4
6.如图,一个运动场的两端是半圆形,中间是长方形,长方形的长为100 m,宽为60 m。(π取3.14)
(1)求这个运动场的周长。
(2)若将此运动场全部铺上塑胶,铺完后每平方米塑胶的费用为100元,求这个运动场铺上塑胶后所需要的费用。
(1)求这个运动场的周长。
(2)若将此运动场全部铺上塑胶,铺完后每平方米塑胶的费用为100元,求这个运动场铺上塑胶后所需要的费用。
答案
解：
(1) 由题意可知，两端的半圆形直径为60 m，两个半圆可拼接为一个完整的圆。
运动场的周长 = 整圆的周长 + 2条长方形的长
= 3.14×60 + 100×2
= 188.4 + 200
= 388.4 (m)
(2) 运动场的总面积 = 整圆的面积 + 长方形的面积
圆的半径为 $ 60÷2=30 \, \mathrm{m} $
总面积 = $ 3.14×30^2 + 100×60 $
= $ 3.14×900 + 6000 $
= 2826 + 6000
= 8826 $ (\mathrm{m}^2) $
总费用 = $ 8826×100 = 882600 $ (元)
答：(1) 这个运动场的周长是388.4 m；(2) 这个运动场铺上塑胶后所需要的费用为882600元。
(1) 由题意可知，两端的半圆形直径为60 m，两个半圆可拼接为一个完整的圆。
运动场的周长 = 整圆的周长 + 2条长方形的长
= 3.14×60 + 100×2
= 188.4 + 200
= 388.4 (m)
(2) 运动场的总面积 = 整圆的面积 + 长方形的面积
圆的半径为 $ 60÷2=30 \, \mathrm{m} $
总面积 = $ 3.14×30^2 + 100×60 $
= $ 3.14×900 + 6000 $
= 2826 + 6000
= 8826 $ (\mathrm{m}^2) $
总费用 = $ 8826×100 = 882600 $ (元)
答：(1) 这个运动场的周长是388.4 m；(2) 这个运动场铺上塑胶后所需要的费用为882600元。
解析
【分析】
解题时先对组合图形进行拆分：运动场两端的半圆形直径都等于长方形的宽60m，两个半圆可拼接成1个完整的圆。
(1)求周长时，注意两个半圆的直边与长方形的宽重合，因此运动场周长不含长方形的两条宽，仅需要计算整圆的周长加上长方形2条长的和即可。
(2)求铺塑胶总费用时，先算运动场总面积，总面积为拼接后的整圆面积加上中间长方形的面积，再用总面积乘每平方米塑胶的费用，就能得到总费用。计算时注意圆的半径为直径的一半，π取题目给出的3.14。
【解析】
(1) 两端的半圆形拼接为一个整圆，圆的直径为60m：
运动场周长 = 整圆周长 + 2条长方形的长
= 3.14×60 + 100×2
= 188.4 + 200
= 388.4（m）
(2) 先计算运动场总面积，圆的半径为$60÷2=30\,\mathrm{m}$：
运动场总面积 = 整圆面积 + 长方形面积
= $3.14×30^2 + 100×60$
= $3.14×900 + 6000$
= $2826 + 6000$
= $8826\,\mathrm{m}^2$
总费用 = 总面积×每平方米费用 = $8826×100 = 882600$（元）
【答案】
(1) 这个运动场的周长是388.4 m；
(2) 这个运动场铺上塑胶后所需要的费用为882600元。
【知识点】
1. 圆的周长与面积计算
2. 组合图形周长面积计算
3. 总价计算应用
【点评】
本题是结合生活场景的几何应用题，解题核心是将不规则的组合图形拆解为熟悉的圆和长方形两类规则图形，计算周长时要注意剔除重合的边，避免重复计算，整体解题逻辑清晰，侧重考查图形观察能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时先对组合图形进行拆分：运动场两端的半圆形直径都等于长方形的宽60m，两个半圆可拼接成1个完整的圆。
(1)求周长时，注意两个半圆的直边与长方形的宽重合，因此运动场周长不含长方形的两条宽，仅需要计算整圆的周长加上长方形2条长的和即可。
(2)求铺塑胶总费用时，先算运动场总面积，总面积为拼接后的整圆面积加上中间长方形的面积，再用总面积乘每平方米塑胶的费用，就能得到总费用。计算时注意圆的半径为直径的一半，π取题目给出的3.14。
【解析】
(1) 两端的半圆形拼接为一个整圆，圆的直径为60m：
运动场周长 = 整圆周长 + 2条长方形的长
= 3.14×60 + 100×2
= 188.4 + 200
= 388.4（m）
(2) 先计算运动场总面积，圆的半径为$60÷2=30\,\mathrm{m}$：
运动场总面积 = 整圆面积 + 长方形面积
= $3.14×30^2 + 100×60$
= $3.14×900 + 6000$
= $2826 + 6000$
= $8826\,\mathrm{m}^2$
总费用 = 总面积×每平方米费用 = $8826×100 = 882600$（元）
【答案】
(1) 这个运动场的周长是388.4 m；
(2) 这个运动场铺上塑胶后所需要的费用为882600元。
【知识点】
1. 圆的周长与面积计算
2. 组合图形周长面积计算
3. 总价计算应用
【点评】
本题是结合生活场景的几何应用题，解题核心是将不规则的组合图形拆解为熟悉的圆和长方形两类规则图形，计算周长时要注意剔除重合的边，避免重复计算，整体解题逻辑清晰，侧重考查图形观察能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
7. 提升题 探究归纳题：
【试验分析】
(1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，过点B可以作1条对角线；过点C可以作1条对角线；过点D可以作1条对角线，且对角线AC与CA为同一条，BD与DB为同一条。通过以上分析和总结，图①共有条对角线。
【拓展延伸】
(2)运用(1)的分析方法可得：从图②中的每个顶点出发，有条对角线，共有条对角线；图③共有条对角线。
【探索归纳】
(3)对于n边形(n＞3)，共有条对角线。（用含n的代数式表示）
【特例验证】
(4)十边形共有条对角线。
【试验分析】
(1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，过点B可以作1条对角线；过点C可以作1条对角线；过点D可以作1条对角线，且对角线AC与CA为同一条，BD与DB为同一条。通过以上分析和总结，图①共有条对角线。
【拓展延伸】
(2)运用(1)的分析方法可得：从图②中的每个顶点出发，有条对角线，共有条对角线；图③共有条对角线。
【探索归纳】
(3)对于n边形(n＞3)，共有条对角线。（用含n的代数式表示）
【特例验证】
(4)十边形共有条对角线。
答案
解：
(1) 4个顶点各引出1条对角线，所有对角线被重复计算1次，总对角线条数为$\frac{4×1}{2}=2$。
(2) 图②为五边形，从每个顶点出发，无法连接自身与相邻2个顶点，因此有$5-3=2$条对角线；所有对角线去重后总条数为$\frac{5×2}{2}=5$；图③为六边形，总对角线条数为$\frac{6×(6-3)}{2}=9$。
(3) 对于$n$边形$(n＞3)$，每个顶点可引出$(n-3)$条对角线，所有对角线均被重复计算2次，因此共有$\frac{n(n-3)}{2}$条对角线。
(4) 将$n=10$代入$\frac{n(n-3)}{2}$，得$\frac{10×(10-3)}{2}=35$。
答案依次为：(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{9}$；(3) $\boldsymbol{\frac{n(n-3)}{2}}$；(4) $\boldsymbol{35}$。
(1) 4个顶点各引出1条对角线，所有对角线被重复计算1次，总对角线条数为$\frac{4×1}{2}=2$。
(2) 图②为五边形，从每个顶点出发，无法连接自身与相邻2个顶点，因此有$5-3=2$条对角线；所有对角线去重后总条数为$\frac{5×2}{2}=5$；图③为六边形，总对角线条数为$\frac{6×(6-3)}{2}=9$。
(3) 对于$n$边形$(n＞3)$，每个顶点可引出$(n-3)$条对角线，所有对角线均被重复计算2次，因此共有$\frac{n(n-3)}{2}$条对角线。
(4) 将$n=10$代入$\frac{n(n-3)}{2}$，得$\frac{10×(10-3)}{2}=35$。
答案依次为：(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{9}$；(3) $\boldsymbol{\frac{n(n-3)}{2}}$；(4) $\boldsymbol{35}$。
解析
【分析】
本题是探究多边形对角线条数的规律题，解题思路如下：首先明确对角线的定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做对角线，因此每个顶点不能和自身、相邻的2个顶点连接对角线，所以每个顶点引出的对角线条数为顶点数减3；其次注意每条对角线对应两个顶点，计算时会被重复统计1次，因此总条数需要除以2。解题时先从特殊的四边形、五边形、六边形入手总结规律，再推广到一般n边形，最后代入公式计算十边形的对角线条数即可。
【解析】
(1) 图①是四边形，共4个顶点，每个顶点可引出1条对角线，所有对角线被重复计算1次，因此总对角线条数为$\frac{4×1}{2}=2$。
(2) 图②是五边形，每个顶点无法连接自身和相邻的2个顶点，因此每个顶点出发有$5-3=2$条对角线；去重后总对角线条数为$\frac{5×2}{2}=5$；图③是六边形，同理总对角线条数为$\frac{6×(6-3)}{2}=9$。
(3) 对于$n$边形$(n＞3)$，每个顶点可引出$(n-3)$条对角线，$n$个顶点共统计$n(n-3)$条，每条对角线被重复计算2次，因此总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。
(4) 十边形的$n=10$，代入公式得$\frac{10×(10-3)}{2}=35$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{9}$；(3) $\boldsymbol{\frac{n(n-3)}{2}}$；(4) $\boldsymbol{35}$
【知识点】
多边形对角线，规律探究，代数式求值
【点评】
本题考查从特殊到一般的归纳推理能力，解题的关键是理解对角线的定义，注意统计对角线条数时的重复问题，掌握推导得到的n边形对角线条数公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题是探究多边形对角线条数的规律题，解题思路如下：首先明确对角线的定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做对角线，因此每个顶点不能和自身、相邻的2个顶点连接对角线，所以每个顶点引出的对角线条数为顶点数减3；其次注意每条对角线对应两个顶点，计算时会被重复统计1次，因此总条数需要除以2。解题时先从特殊的四边形、五边形、六边形入手总结规律，再推广到一般n边形，最后代入公式计算十边形的对角线条数即可。
【解析】
(1) 图①是四边形，共4个顶点，每个顶点可引出1条对角线，所有对角线被重复计算1次，因此总对角线条数为$\frac{4×1}{2}=2$。
(2) 图②是五边形，每个顶点无法连接自身和相邻的2个顶点，因此每个顶点出发有$5-3=2$条对角线；去重后总对角线条数为$\frac{5×2}{2}=5$；图③是六边形，同理总对角线条数为$\frac{6×(6-3)}{2}=9$。
(3) 对于$n$边形$(n＞3)$，每个顶点可引出$(n-3)$条对角线，$n$个顶点共统计$n(n-3)$条，每条对角线被重复计算2次，因此总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。
(4) 十边形的$n=10$，代入公式得$\frac{10×(10-3)}{2}=35$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{9}$；(3) $\boldsymbol{\frac{n(n-3)}{2}}$；(4) $\boldsymbol{35}$
【知识点】
多边形对角线，规律探究，代数式求值
【点评】
本题考查从特殊到一般的归纳推理能力，解题的关键是理解对角线的定义，注意统计对角线条数时的重复问题，掌握推导得到的n边形对角线条数公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
