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1.若一个圆内最长的弦长是12 cm，则此圆的半径是 cm。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：
圆内最长的弦是圆的直径，
由题意可知该圆的直径为12 cm，
因此此圆的半径为 $ 12÷2 = 6 \, \mathrm{cm} $。
圆内最长的弦是圆的直径，
由题意可知该圆的直径为12 cm，
因此此圆的半径为 $ 12÷2 = 6 \, \mathrm{cm} $。
2.扇形的面积是它所在圆的面积的$\frac{2}{3}$，
这个扇形的圆心角的大小是。
这个扇形的圆心角的大小是。
答案
$\boldsymbol{240°}$
解析
解：
周角的度数为$360°$，同圆中扇形面积与它所在圆面积的比值，等于该扇形圆心角与周角的比值。
因此这个扇形的圆心角为：
$360° × \frac{2}{3} = 240°$
周角的度数为$360°$，同圆中扇形面积与它所在圆面积的比值，等于该扇形圆心角与周角的比值。
因此这个扇形的圆心角为：
$360° × \frac{2}{3} = 240°$
3.若正六边形的周长为18 cm，一个内角为120°，则其所有内角的和为，边长为cm。
答案
所有内角的和为$\boldsymbol{720°}$，边长为$\boldsymbol{3}$ cm。
解析
解：
正六边形共有6个相等的内角，所有内角的和为 $ 6 × 120° = 720° $。
正六边形的6条边长都相等，因此边长为 $ 18 ÷ 6 = 3 \, \mathrm{cm} $。
最终
正六边形共有6个相等的内角，所有内角的和为 $ 6 × 120° = 720° $。
正六边形的6条边长都相等，因此边长为 $ 18 ÷ 6 = 3 \, \mathrm{cm} $。
最终
4.时钟的时针长是 3 cm，从 10:00到11:00，时针扫过的面积是 cm²。
答案
$\boldsymbol{\frac{3π}{4}}$
解析
解：时钟的时针12小时旋转一周，周角为$360°$，
因此经过1小时，时针转过的圆心角度数为：$360°÷12=30°$。
时针长3 cm，即扫过的扇形半径$r=3\ \mathrm{cm}$，
该扇形面积占对应整圆面积的$\frac{30°}{360°}=\frac{1}{12}$，
整圆面积为：$π r^2=π×3^2=9π\ \mathrm{cm}^2$，
因此时针扫过的面积为：$9π×\frac{1}{12}=\frac{3π}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
最终
因此经过1小时，时针转过的圆心角度数为：$360°÷12=30°$。
时针长3 cm，即扫过的扇形半径$r=3\ \mathrm{cm}$，
该扇形面积占对应整圆面积的$\frac{30°}{360°}=\frac{1}{12}$，
整圆面积为：$π r^2=π×3^2=9π\ \mathrm{cm}^2$，
因此时针扫过的面积为：$9π×\frac{1}{12}=\frac{3π}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
最终
5. 提升题一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形的边数为。
答案
解：一个多边形截去一个角，共有三种不同的截法：
1. 当截线不经过原多边形的任何顶点时，截后新多边形的边数比原多边形边数多1，若新多边形是六边形，则原多边形边数为$6-1=5$；
2. 当截线经过原多边形的1个顶点时，截后新多边形的边数与原多边形边数相等，若新多边形是六边形，则原多边形边数为$6$；
3. 当截线经过原多边形的2个顶点时，截后新多边形的边数比原多边形边数少1，若新多边形是六边形，则原多边形边数为$6+1=7$。
综上，原多边形的边数为$\boldsymbol{5或6或7}$。
1. 当截线不经过原多边形的任何顶点时，截后新多边形的边数比原多边形边数多1，若新多边形是六边形，则原多边形边数为$6-1=5$；
2. 当截线经过原多边形的1个顶点时，截后新多边形的边数与原多边形边数相等，若新多边形是六边形，则原多边形边数为$6$；
3. 当截线经过原多边形的2个顶点时，截后新多边形的边数比原多边形边数少1，若新多边形是六边形，则原多边形边数为$6+1=7$。
综上，原多边形的边数为$\boldsymbol{5或6或7}$。
6.如图,一个运动场的两端是半圆形,中间是长方形,长方形的长为100 m,宽为60 m。(π取3.14)
(1)求这个运动场的周长。
(2)若将此运动场全部铺上塑胶,铺完后每平方米塑胶的费用为100元,求这个运动场铺上塑胶后所需要的费用。
(1)求这个运动场的周长。
(2)若将此运动场全部铺上塑胶,铺完后每平方米塑胶的费用为100元,求这个运动场铺上塑胶后所需要的费用。
答案
解：
(1) 由题意可知，两端的半圆形直径为60 m，两个半圆可拼接为一个完整的圆。
运动场的周长 = 整圆的周长 + 2条长方形的长
= 3.14×60 + 100×2
= 188.4 + 200
= 388.4 (m)
(2) 运动场的总面积 = 整圆的面积 + 长方形的面积
圆的半径为 $ 60÷2=30 \, \mathrm{m} $
总面积 = $ 3.14×30^2 + 100×60 $
= $ 3.14×900 + 6000 $
= 2826 + 6000
= 8826 $ (\mathrm{m}^2) $
总费用 = $ 8826×100 = 882600 $ (元)
答：(1) 这个运动场的周长是388.4 m；(2) 这个运动场铺上塑胶后所需要的费用为882600元。
(1) 由题意可知，两端的半圆形直径为60 m，两个半圆可拼接为一个完整的圆。
运动场的周长 = 整圆的周长 + 2条长方形的长
= 3.14×60 + 100×2
= 188.4 + 200
= 388.4 (m)
(2) 运动场的总面积 = 整圆的面积 + 长方形的面积
圆的半径为 $ 60÷2=30 \, \mathrm{m} $
总面积 = $ 3.14×30^2 + 100×60 $
= $ 3.14×900 + 6000 $
= 2826 + 6000
= 8826 $ (\mathrm{m}^2) $
总费用 = $ 8826×100 = 882600 $ (元)
答：(1) 这个运动场的周长是388.4 m；(2) 这个运动场铺上塑胶后所需要的费用为882600元。
7. 提升题 探究归纳题：
【试验分析】
(1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，过点B可以作1条对角线；过点C可以作1条对角线；过点D可以作1条对角线，且对角线AC与CA为同一条，BD与DB为同一条。通过以上分析和总结，图①共有条对角线。
【拓展延伸】
(2)运用(1)的分析方法可得：从图②中的每个顶点出发，有条对角线，共有条对角线；图③共有条对角线。
【探索归纳】
(3)对于n边形(n＞3)，共有条对角线。（用含n的代数式表示）
【特例验证】
(4)十边形共有条对角线。
【试验分析】
(1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，过点B可以作1条对角线；过点C可以作1条对角线；过点D可以作1条对角线，且对角线AC与CA为同一条，BD与DB为同一条。通过以上分析和总结，图①共有条对角线。
【拓展延伸】
(2)运用(1)的分析方法可得：从图②中的每个顶点出发，有条对角线，共有条对角线；图③共有条对角线。
【探索归纳】
(3)对于n边形(n＞3)，共有条对角线。（用含n的代数式表示）
【特例验证】
(4)十边形共有条对角线。
答案
解：
(1) 4个顶点各引出1条对角线，所有对角线被重复计算1次，总对角线条数为$\frac{4×1}{2}=2$。
(2) 图②为五边形，从每个顶点出发，无法连接自身与相邻2个顶点，因此有$5-3=2$条对角线；所有对角线去重后总条数为$\frac{5×2}{2}=5$；图③为六边形，总对角线条数为$\frac{6×(6-3)}{2}=9$。
(3) 对于$n$边形$(n＞3)$，每个顶点可引出$(n-3)$条对角线，所有对角线均被重复计算2次，因此共有$\frac{n(n-3)}{2}$条对角线。
(4) 将$n=10$代入$\frac{n(n-3)}{2}$，得$\frac{10×(10-3)}{2}=35$。
答案依次为：(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{9}$；(3) $\boldsymbol{\frac{n(n-3)}{2}}$；(4) $\boldsymbol{35}$。
(1) 4个顶点各引出1条对角线，所有对角线被重复计算1次，总对角线条数为$\frac{4×1}{2}=2$。
(2) 图②为五边形，从每个顶点出发，无法连接自身与相邻2个顶点，因此有$5-3=2$条对角线；所有对角线去重后总条数为$\frac{5×2}{2}=5$；图③为六边形，总对角线条数为$\frac{6×(6-3)}{2}=9$。
(3) 对于$n$边形$(n＞3)$，每个顶点可引出$(n-3)$条对角线，所有对角线均被重复计算2次，因此共有$\frac{n(n-3)}{2}$条对角线。
(4) 将$n=10$代入$\frac{n(n-3)}{2}$，得$\frac{10×(10-3)}{2}=35$。
答案依次为：(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{9}$；(3) $\boldsymbol{\frac{n(n-3)}{2}}$；(4) $\boldsymbol{35}$。
