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8.已知$∠ AOB$，点P在OA上，请以P为顶点，PA为一边作$∠ APC=∠ O$。（不写作法，保留作图痕迹）
答案
解：
按照作一个角等于已知角的尺规作图方法，保留对应的圆弧作图痕迹，以P为顶点、PA为一边作出的∠APC满足∠APC=∠O，符合要求的角共有2个，分别位于直线OA的两侧，点C可在与OB同侧的OA上方，也可在OA的另一侧，作出的∠APC即为所求。
按照作一个角等于已知角的尺规作图方法，保留对应的圆弧作图痕迹，以P为顶点、PA为一边作出的∠APC满足∠APC=∠O，符合要求的角共有2个，分别位于直线OA的两侧，点C可在与OB同侧的OA上方，也可在OA的另一侧，作出的∠APC即为所求。
解析
【分析】
要解决这个作图题，首先需调用“作一个角等于已知角”的基础尺规作图方法。先明确作图要求：新作角的顶点是P，一条固定边为PA，大小要和∠O相等。我们可以通过等半径画弧、截取等长弧段的方法保证两个角的大小一致，同时注意新作的角可以在直线OA的两侧，因此共有2种符合要求的作图结果。
【解析】
作图需保留所有圆弧痕迹，操作逻辑如下：
1. 以点O为圆心，取任意长度为半径画弧，分别与OA、OB交于两点；
2. 以点P为圆心，取和步骤1相同的长度为半径画弧，与PA交于一点；
3. 量取步骤1中∠O上两个弧交点的距离，以步骤2中PA上的弧交点为圆心，该距离为半径画弧，和以P为圆心的弧交于两个点（分别在OA的上下两侧）；
4. 过点P和任意一个交点作射线，得到的∠APC就等于∠O，两个位置的角均符合要求。
【答案】
按照作一个角等于已知角的尺规作图方法，保留对应的圆弧作图痕迹，以P为顶点、PA为一边作出的∠APC满足∠APC=∠O，符合要求的角共有2个，分别位于直线OA的两侧，点C可在与OB同侧的OA上方，也可在OA的另一侧，作出的∠APC即为所求。
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，主要考查对基本尺规作图方法的掌握，作图时要注意规范保留作图痕迹，同时需考虑到角可以在已知边的两侧两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这个作图题，首先需调用“作一个角等于已知角”的基础尺规作图方法。先明确作图要求：新作角的顶点是P，一条固定边为PA，大小要和∠O相等。我们可以通过等半径画弧、截取等长弧段的方法保证两个角的大小一致，同时注意新作的角可以在直线OA的两侧，因此共有2种符合要求的作图结果。
【解析】
作图需保留所有圆弧痕迹，操作逻辑如下：
1. 以点O为圆心，取任意长度为半径画弧，分别与OA、OB交于两点；
2. 以点P为圆心，取和步骤1相同的长度为半径画弧，与PA交于一点；
3. 量取步骤1中∠O上两个弧交点的距离，以步骤2中PA上的弧交点为圆心，该距离为半径画弧，和以P为圆心的弧交于两个点（分别在OA的上下两侧）；
4. 过点P和任意一个交点作射线，得到的∠APC就等于∠O，两个位置的角均符合要求。
【答案】
按照作一个角等于已知角的尺规作图方法，保留对应的圆弧作图痕迹，以P为顶点、PA为一边作出的∠APC满足∠APC=∠O，符合要求的角共有2个，分别位于直线OA的两侧，点C可在与OB同侧的OA上方，也可在OA的另一侧，作出的∠APC即为所求。
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，主要考查对基本尺规作图方法的掌握，作图时要注意规范保留作图痕迹，同时需考虑到角可以在已知边的两侧两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9.某节数学课后,小明在写作业时遇到了以下问题,请你帮助他一起解决。
(1)如图,比较∠ABC与∠DEF的大小:∠ABC (填“＞”“＜”或“=”)∠DEF。
(2)在图①中,利用量角器作∠ABM,使得∠ABM=∠ABC。(点M不在射线BC上)
(3)在图②中,利用直角三角尺作∠PEQ,使得∠PEQ与∠DEF共顶点E,且∠PEQ=∠DEF。(保留作图痕迹)
(1)如图,比较∠ABC与∠DEF的大小:∠ABC (填“＞”“＜”或“=”)∠DEF。
(2)在图①中,利用量角器作∠ABM,使得∠ABM=∠ABC。(点M不在射线BC上)
(3)在图②中,利用直角三角尺作∠PEQ,使得∠PEQ与∠DEF共顶点E,且∠PEQ=∠DEF。(保留作图痕迹)
答案
解：
(1) ＞
(2) ① 用量角器测量出∠ABC的度数；
② 以点B为顶点，射线BA为边，在射线BA的另一侧（不与射线BC重合的区域）作射线BM，使∠ABM的度数等于测得的∠ABC的度数，所得∠ABM即为所求，点M不在射线BC上，作图痕迹符合要求即可。
(3) ① 将直角三角尺的一边与射线EF重合，顶点与点E对齐，比照∠DEF的角度，在三角尺上标记出对应角度的参考位置；
② 以E为公共顶点，利用直角三角尺作出两条射线EP、EQ，使∠PEQ的大小与∠DEF相等，保留三角尺比对的作图痕迹即可，结果合理即可。
(1) ＞
(2) ① 用量角器测量出∠ABC的度数；
② 以点B为顶点，射线BA为边，在射线BA的另一侧（不与射线BC重合的区域）作射线BM，使∠ABM的度数等于测得的∠ABC的度数，所得∠ABM即为所求，点M不在射线BC上，作图痕迹符合要求即可。
(3) ① 将直角三角尺的一边与射线EF重合，顶点与点E对齐，比照∠DEF的角度，在三角尺上标记出对应角度的参考位置；
② 以E为公共顶点，利用直角三角尺作出两条射线EP、EQ，使∠PEQ的大小与∠DEF相等，保留三角尺比对的作图痕迹即可，结果合理即可。
解析
【分析】
(1) 比较角的大小可使用叠合法：将两个角的顶点重合，一条边对齐，两个角置于重合边的同侧，观察另一条边的位置，外侧的边对应的角更大。观察图形特征可直接判断两个角的大小关系。
(2) 用量角器作与已知角相等的角，先测量已知角的度数，再以指定顶点为顶点、指定射线为边，在要求的区域画出对应度数的角即可，注意点M不能落在射线BC上。
(3) 用直角三角尺作共顶点的等角时，可借助三角尺比对已知角的大小，以E为公共顶点，参考比对的角度位置画出大小相等的角，保留作图痕迹即可。
【解析】
(1) 采用叠合法比较：将∠DEF的顶点E与∠ABC的顶点B重合，边EF与边BC重合，两个角均放在BC的上方，可观察到射线ED落在∠ABC的内部，因此∠ABC＞∠DEF。
(2) 作图步骤：① 用量角器测量出∠ABC的度数；② 以点B为顶点，射线BA为一边，在BA不与BC重合的另一侧作射线BM，使∠ABM的度数等于测得的∠ABC的度数，所得∠ABM即为所求。
(3) 作图步骤：① 将直角三角尺的顶点与点E重合，一条边与射线EF重合，标记射线ED在三角尺上对应的位置；② 以E为顶点，按照标记的角度位置画出射线EP、EQ，使∠PEQ与∠DEF大小相等，保留三角尺比对的痕迹即可。
【答案】
(1) ＞
(2) 作图符合要求，痕迹清晰即可。
(3) 作图符合要求，痕迹清晰即可。
【知识点】
角的大小比较；作一个角等于已知角
【点评】
本题属于角的基础应用题，考查角的大小判断和等角的作图操作，侧重对实践操作能力的考查，掌握角的比较方法和基本作图步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.85
(1) 比较角的大小可使用叠合法：将两个角的顶点重合，一条边对齐，两个角置于重合边的同侧，观察另一条边的位置，外侧的边对应的角更大。观察图形特征可直接判断两个角的大小关系。
(2) 用量角器作与已知角相等的角，先测量已知角的度数，再以指定顶点为顶点、指定射线为边，在要求的区域画出对应度数的角即可，注意点M不能落在射线BC上。
(3) 用直角三角尺作共顶点的等角时，可借助三角尺比对已知角的大小，以E为公共顶点，参考比对的角度位置画出大小相等的角，保留作图痕迹即可。
【解析】
(1) 采用叠合法比较：将∠DEF的顶点E与∠ABC的顶点B重合，边EF与边BC重合，两个角均放在BC的上方，可观察到射线ED落在∠ABC的内部，因此∠ABC＞∠DEF。
(2) 作图步骤：① 用量角器测量出∠ABC的度数；② 以点B为顶点，射线BA为一边，在BA不与BC重合的另一侧作射线BM，使∠ABM的度数等于测得的∠ABC的度数，所得∠ABM即为所求。
(3) 作图步骤：① 将直角三角尺的顶点与点E重合，一条边与射线EF重合，标记射线ED在三角尺上对应的位置；② 以E为顶点，按照标记的角度位置画出射线EP、EQ，使∠PEQ与∠DEF大小相等，保留三角尺比对的痕迹即可。
【答案】
(1) ＞
(2) 作图符合要求，痕迹清晰即可。
(3) 作图符合要求，痕迹清晰即可。
【知识点】
角的大小比较；作一个角等于已知角
【点评】
本题属于角的基础应用题，考查角的大小判断和等角的作图操作，侧重对实践操作能力的考查，掌握角的比较方法和基本作图步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.85
10. 提升题 作图与计算。
(1)如图,已知:∠α,∠AOB。
求作:以OA为一边,在∠AOB的内部作∠AOC=∠α。(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)过点O分别引射线OA,OB,OC,且∠AOB=65°,∠BOC=30°,求∠AOC的度数。
(1)如图,已知:∠α,∠AOB。
求作:以OA为一边,在∠AOB的内部作∠AOC=∠α。(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)过点O分别引射线OA,OB,OC,且∠AOB=65°,∠BOC=30°,求∠AOC的度数。
答案
解：
(1) 按尺规作一个角等于已知角的方法，在∠AOB内部以OA为一边作出∠AOC，保留所有作图圆弧痕迹，所得∠AOC即为所求。
(2) 分两种情况计算：
① 当射线OC在∠AOB的内部时：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 65° - 30° = 35°$
② 当射线OC在∠AOB的外部，位于OB背离OA的一侧时：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 65° + 30° = 95°$
综上，$∠ AOC$的度数为$35°$或$95°$。
(1) 按尺规作一个角等于已知角的方法，在∠AOB内部以OA为一边作出∠AOC，保留所有作图圆弧痕迹，所得∠AOC即为所求。
(2) 分两种情况计算：
① 当射线OC在∠AOB的内部时：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 65° - 30° = 35°$
② 当射线OC在∠AOB的外部，位于OB背离OA的一侧时：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 65° + 30° = 95°$
综上，$∠ AOC$的度数为$35°$或$95°$。
解析
【分析】
(1) 作图题考查尺规作一个角等于已知角的操作，首先回忆该基本作图的步骤，以OA为公共边，在∠AOB内部作出与∠α相等的角，注意保留所有作图圆弧痕迹即可。
(2) 角度计算类题目没有明确给出射线OC的位置，因此需要分类讨论：若OC在∠AOB内部，∠AOC为两角的差；若OC在∠AOB外部（OB背离OA的一侧），∠AOC为两角的和，分别计算两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 尺规作图步骤简述：①以∠α的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交∠α的两边于两点；②以O为圆心，相同长度为半径画弧，交OA于一点；③量取∠α上弧截得的两点距离，以OA上的交点为圆心，该距离为半径画弧，与∠AOB内部的弧交于一点，过O和该交点作射线OC，∠AOC即为所求，保留所有作图痕迹。
(2) 分两种情况计算：
① 当射线OC在∠AOB内部时：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 65° - 30° = 35°$
② 当射线OC在∠AOB外部、OB背离OA的一侧时：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 65° + 30° = 95°$
【答案】
(1) 作图略，需保留尺规作图痕迹，所作∠AOC在∠AOB内部且等于∠α；
(2) $∠ AOC$的度数为$35°$或$95°$。
【知识点】
1. 尺规作等角
2. 角的和差计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题综合考查基本作图和角度计算，作图题要牢记基本作图的规范要求，角度计算类题目无明确图形时，要全面分析所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 作图题考查尺规作一个角等于已知角的操作，首先回忆该基本作图的步骤，以OA为公共边，在∠AOB内部作出与∠α相等的角，注意保留所有作图圆弧痕迹即可。
(2) 角度计算类题目没有明确给出射线OC的位置，因此需要分类讨论：若OC在∠AOB内部，∠AOC为两角的差；若OC在∠AOB外部（OB背离OA的一侧），∠AOC为两角的和，分别计算两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 尺规作图步骤简述：①以∠α的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交∠α的两边于两点；②以O为圆心，相同长度为半径画弧，交OA于一点；③量取∠α上弧截得的两点距离，以OA上的交点为圆心，该距离为半径画弧，与∠AOB内部的弧交于一点，过O和该交点作射线OC，∠AOC即为所求，保留所有作图痕迹。
(2) 分两种情况计算：
① 当射线OC在∠AOB内部时：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 65° - 30° = 35°$
② 当射线OC在∠AOB外部、OB背离OA的一侧时：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 65° + 30° = 95°$
【答案】
(1) 作图略，需保留尺规作图痕迹，所作∠AOC在∠AOB内部且等于∠α；
(2) $∠ AOC$的度数为$35°$或$95°$。
【知识点】
1. 尺规作等角
2. 角的和差计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题综合考查基本作图和角度计算，作图题要牢记基本作图的规范要求，角度计算类题目无明确图形时，要全面分析所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
