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1.用一副三角尺不能画出的角是()
A.$75°$
B.$105°$
C.$110°$
D.$135°$
A.$75°$
B.$105°$
C.$110°$
D.$135°$
答案
C
解析
一副三角尺的角度分别为30°、45°、60°、90°，可通过角度的和差组合得到对应角：
A：75°=30°+45°，可以画出；
B：105°=60°+45°，可以画出；
C：110°无法通过上述角度的和差运算得到，不能画出；
D：135°=90°+45°，可以画出。
A：75°=30°+45°，可以画出；
B：105°=60°+45°，可以画出；
C：110°无法通过上述角度的和差运算得到，不能画出；
D：135°=90°+45°，可以画出。
2.为了比较$∠ AOB$和$∠ COD$的大小，小庆用尺规作图如下，由作图痕迹可以判断$∠ AOB$ ______（填“＞”“＜”或“=”）$∠ COD$。
答案
＜
解析
解：由尺规作图的痕迹可知，作出的∠A'OD = ∠AOB，
观察可得射线OA'落在∠COD的内部，
因此∠A'OD ＜ ∠COD，即∠AOB ＜ ∠COD。
观察可得射线OA'落在∠COD的内部，
因此∠A'OD ＜ ∠COD，即∠AOB ＜ ∠COD。
3.如图，若∠α=30°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB=。
答案
60
解析
解：由尺规作图的痕迹可得，∠AOB = 2∠α。
已知∠α=30°，因此∠AOB = 2×30° = 60°。
已知∠α=30°，因此∠AOB = 2×30° = 60°。
4. 下列属于尺规作图的是（填序号）。
①用量角器画出$∠ AOB = 90°$；②作$∠ AOB$，使$∠ AOB = 2∠ α$；③连接$AB$；④用直尺和三角尺作$AB$的平行线$CD$。
①用量角器画出$∠ AOB = 90°$；②作$∠ AOB$，使$∠ AOB = 2∠ α$；③连接$AB$；④用直尺和三角尺作$AB$的平行线$CD$。
答案
解：根据尺规作图的定义，尺规作图是指仅使用没有刻度的直尺和圆规完成的作图：
①操作使用了量角器，不属于尺规作图；
②仅用无刻度直尺和圆规即可作出满足条件的∠AOB，属于尺规作图；
③使用无刻度直尺即可完成连接AB的操作，属于尺规作图；
④操作使用了三角尺，不属于尺规作图。
综上，属于尺规作图的是$\boldsymbol{②③}$。
①操作使用了量角器，不属于尺规作图；
②仅用无刻度直尺和圆规即可作出满足条件的∠AOB，属于尺规作图；
③使用无刻度直尺即可完成连接AB的操作，属于尺规作图；
④操作使用了三角尺，不属于尺规作图。
综上，属于尺规作图的是$\boldsymbol{②③}$。
5.完成作图步骤:已知$∠α,∠β(∠β＞∠α)$,求作一个角,使它等于$∠β-∠α$。
作法:(1)作$∠ AOB=$;(2)以OA为一边,在$∠ AOB$的内部作
$∠ AOC=$,则$∠ BOC$就是所求作的角(如图)。
作法:(1)作$∠ AOB=$;(2)以OA为一边,在$∠ AOB$的内部作
$∠ AOC=$,则$∠ BOC$就是所求作的角(如图)。
答案
解：
(1) $\boldsymbol{∠β}$
(2) $\boldsymbol{∠α}$
(1) $\boldsymbol{∠β}$
(2) $\boldsymbol{∠α}$
6.如图，若$∠ AOB = α$，以$OB$为边作$∠ BOC = β(β ＜ α)$，则$∠ AOC =$。
答案
解：
分两种情况计算：
当射线OC在∠AOB的内部时，
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = α - β$；
当射线OC在∠AOB的外部时，
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = α + β$。
因此$∠ AOC = α+β$或$α-β$。
分两种情况计算：
当射线OC在∠AOB的内部时，
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = α - β$；
当射线OC在∠AOB的外部时，
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = α + β$。
因此$∠ AOC = α+β$或$α-β$。
7. 如图,已知$∠ AOB=90°,OC$在$∠ AOB$的内部。某数学兴趣小组进行了探究:
(1)在$OC$上取一点$M$,以点$O$为圆心,以$OM$的长为半径画弧交射线$OA$于点$N$。
(2)以点$N$为圆心,线段$MN$的长为半径画弧交前弧于点$D$。
(3)以$O$为端点,作射线$OD$。若$∠ COB=\frac{2}{3}∠ AOD$,则$∠ DOC=$ 。
(1)在$OC$上取一点$M$,以点$O$为圆心,以$OM$的长为半径画弧交射线$OA$于点$N$。
(2)以点$N$为圆心,线段$MN$的长为半径画弧交前弧于点$D$。
(3)以$O$为端点,作射线$OD$。若$∠ COB=\frac{2}{3}∠ AOD$,则$∠ DOC=$ 。
答案
$\boldsymbol{108}$
解析
解：由作图可知，$OD=OM$，$DN=MN$，
又$\because ON=ON$，
$\therefore △ ODN ≌ △ OMN(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ DON=∠ MON$。
$\because$ 点$N$在$OA$上，点$M$在$OC$上，
$\therefore ∠ AOD=∠ AOC$。
设$∠ AOD=x$，则$∠ AOC=x$，
$\because ∠ COB=\frac{2}{3}∠ AOD$，
$\therefore ∠ COB=\frac{2}{3}x$。
又$\because ∠ AOB=∠ AOC + ∠ COB=90°$，
$\therefore x+\frac{2}{3}x=90°$，
解得$x=54°$，
$\therefore ∠ DOC=∠ AOD + ∠ AOC=x+x=108°$。
又$\because ON=ON$，
$\therefore △ ODN ≌ △ OMN(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ DON=∠ MON$。
$\because$ 点$N$在$OA$上，点$M$在$OC$上，
$\therefore ∠ AOD=∠ AOC$。
设$∠ AOD=x$，则$∠ AOC=x$，
$\because ∠ COB=\frac{2}{3}∠ AOD$，
$\therefore ∠ COB=\frac{2}{3}x$。
又$\because ∠ AOB=∠ AOC + ∠ COB=90°$，
$\therefore x+\frac{2}{3}x=90°$，
解得$x=54°$，
$\therefore ∠ DOC=∠ AOD + ∠ AOC=x+x=108°$。
