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6. 已知△ABC 的边 BC=2√3 cm，且△ABC 内接于半径为 2 cm 的⊙O，则∠A 的度数为
$60°或120°$
。答案
6. $60°或120°$
解析
【分析】
解题时先通过作辅助线构造弦BC对应的圆心角，结合垂径定理和三角函数求出圆心角的度数；再根据圆周角定理，明确同一条弦所对的圆周角有两种情况，分别对应优弧和劣弧上的点，分情况计算∠A的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
解：连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于点D。
根据垂径定理可得：$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
∵OB、OC均为⊙O的半径，
∴$OB=OC=2\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OBD中，$\sin∠BOD=\frac{BD}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$∠BOD=60°$，
∴圆心角$∠BOC=2∠BOD=120°$。
分两种情况讨论：
① 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理，$∠A=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×120°=60°$；
② 当点A在劣弧BC上时，此时∠A对应的弧为优弧BC，优弧BC对应的圆心角为$360°-120°=240°$，
∴$∠A=\frac{1}{2}×240°=120°$。
综上，∠A的度数为$60°$或$120°$。
【答案】
$60°或120°$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 垂径定理
3. 同弦所对圆周角的性质
【点评】
本题易错点是忽略同一条弦对应两种不同的圆周角，容易只计算优弧对应的锐角圆周角，漏掉劣弧对应的钝角圆周角，解题时要结合圆的对称性分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先通过作辅助线构造弦BC对应的圆心角，结合垂径定理和三角函数求出圆心角的度数；再根据圆周角定理，明确同一条弦所对的圆周角有两种情况，分别对应优弧和劣弧上的点，分情况计算∠A的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
解：连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于点D。
根据垂径定理可得：$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
∵OB、OC均为⊙O的半径，
∴$OB=OC=2\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OBD中，$\sin∠BOD=\frac{BD}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$∠BOD=60°$，
∴圆心角$∠BOC=2∠BOD=120°$。
分两种情况讨论：
① 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理，$∠A=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×120°=60°$；
② 当点A在劣弧BC上时，此时∠A对应的弧为优弧BC，优弧BC对应的圆心角为$360°-120°=240°$，
∴$∠A=\frac{1}{2}×240°=120°$。
综上，∠A的度数为$60°$或$120°$。
【答案】
$60°或120°$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 垂径定理
3. 同弦所对圆周角的性质
【点评】
本题易错点是忽略同一条弦对应两种不同的圆周角，容易只计算优弧对应的锐角圆周角，漏掉劣弧对应的钝角圆周角，解题时要结合圆的对称性分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC上，AB=AC=CD，AB与CD的延长线交于点E。若∠E=32°，则∠BCD的度数为(
A.$21°$
B.$22°$
C.$24°$
D.$25°$
A
)。A.$21°$
B.$22°$
C.$24°$
D.$25°$
答案
7. A。提示:设$∠ BCD=x°$,则$∠ ABC=(x+32)°$。因为AB=AC,所以$∠ ACB=∠ ABC=(x+32)°$。因为AB=CD,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,则$∠ A=∠ ACD=(2x+32)°$。由$∠ A+∠ E+∠ ACE=180°$,解得$x=21$。
解析
【分析】
我们可以通过设未知数列方程的方法求解：首先设∠BCD为x°，利用三角形外角的性质可表示出∠ABC的度数，再结合等腰三角形等边对等角的性质得到∠ACB的度数；接着根据同圆中相等的弦所对的弧相等，推导得出对应弧相等，进而得到对应的圆周角相等，用含x的式子表示出∠BAC的度数；最后在△EAC中利用三角形内角和为180°列方程，解方程即可求出∠BCD的度数。
【解析】
设$∠ BCD=x°$。
1. 由三角形外角的性质，$∠ ABC$是$△ EBC$的外角，已知$∠ E=32°$，因此$∠ ABC=∠ E+∠ BCD=(x+32)°$。
2. 因为$AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ ACB=∠ ABC=(x+32)°$。
3. 在$\odot O$中，相等的弦所对的弧相等，由$AB=CD$可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{BD}$，得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，因此$∠ ACD=∠ BAC$。
4. 结合角的和差关系，$∠ ACD=∠ ACB+∠ BCD=(x+32)°+x°=(2x+32)°$，因此$∠ BAC=(2x+32)°$。
5. 在$△ EAC$中，根据三角形内角和为$180°$，有$∠ E+∠ BAC+∠ ACD=180°$，代入各角度表达式得：
$32+(2x+32)+(2x+32)=180$
化简得$4x+96=180$，解得$x=21$，即$∠ BCD=21°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形角度计算的综合题，核心是利用同圆中弦、弧、圆周角的对应关系建立角度之间的联系，结合方程思想求解，能有效考察几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
我们可以通过设未知数列方程的方法求解：首先设∠BCD为x°，利用三角形外角的性质可表示出∠ABC的度数，再结合等腰三角形等边对等角的性质得到∠ACB的度数；接着根据同圆中相等的弦所对的弧相等，推导得出对应弧相等，进而得到对应的圆周角相等，用含x的式子表示出∠BAC的度数；最后在△EAC中利用三角形内角和为180°列方程，解方程即可求出∠BCD的度数。
【解析】
设$∠ BCD=x°$。
1. 由三角形外角的性质，$∠ ABC$是$△ EBC$的外角，已知$∠ E=32°$，因此$∠ ABC=∠ E+∠ BCD=(x+32)°$。
2. 因为$AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ ACB=∠ ABC=(x+32)°$。
3. 在$\odot O$中，相等的弦所对的弧相等，由$AB=CD$可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{BD}$，得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，因此$∠ ACD=∠ BAC$。
4. 结合角的和差关系，$∠ ACD=∠ ACB+∠ BCD=(x+32)°+x°=(2x+32)°$，因此$∠ BAC=(2x+32)°$。
5. 在$△ EAC$中，根据三角形内角和为$180°$，有$∠ E+∠ BAC+∠ ACD=180°$，代入各角度表达式得：
$32+(2x+32)+(2x+32)=180$
化简得$4x+96=180$，解得$x=21$，即$∠ BCD=21°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形角度计算的综合题，核心是利用同圆中弦、弧、圆周角的对应关系建立角度之间的联系，结合方程思想求解，能有效考察几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
8. 一个圆形人工湖如图①所示，弦AB是湖上的一座桥。已知AB长为100 m，圆周角∠C＝45°。求这个人工湖的直径。
方法一：如图②，延长BO，交⊙O于点E，连结AE，得Rt△BAE，∠E＝∠C＝45°，所以⊙O的直径BE＝$\sqrt{2}$AB＝100$\sqrt{2}$ (m)。即人工湖的直径是100$\sqrt{2}$ m。
方法二：如图③，作AB的弦心距OH，连结OB，则∠BOH＝∠C＝45°。在Rt△OHB中，BH＝$\frac{1}{2}$AB＝50(m)，得OB＝50$\sqrt{2}$ (m)，所以⊙O的直径＝2OB＝100$\sqrt{2}$ (m)。即人工湖的直径是100$\sqrt{2}$ m。
参考上面的解法，请你解决下面这个问题：
如图④，在直角坐标系中，已知点A(3,0)，B(0,－3)，C为直线AB上一点，过A，O，C的⊙E的半径为2。求线段OC的长。
④
方法一：如图②，延长BO，交⊙O于点E，连结AE，得Rt△BAE，∠E＝∠C＝45°，所以⊙O的直径BE＝$\sqrt{2}$AB＝100$\sqrt{2}$ (m)。即人工湖的直径是100$\sqrt{2}$ m。
方法二：如图③，作AB的弦心距OH，连结OB，则∠BOH＝∠C＝45°。在Rt△OHB中，BH＝$\frac{1}{2}$AB＝50(m)，得OB＝50$\sqrt{2}$ (m)，所以⊙O的直径＝2OB＝100$\sqrt{2}$ (m)。即人工湖的直径是100$\sqrt{2}$ m。
参考上面的解法，请你解决下面这个问题：
如图④，在直角坐标系中，已知点A(3,0)，B(0,－3)，C为直线AB上一点，过A，O，C的⊙E的半径为2。求线段OC的长。
④
答案
8. 连结OE,CE,由$∠ OAB=45°$,得$∠ OEC=90°$,所以$OC=2\sqrt{2}$。
解析
【分析】
首先根据点A、B的坐标判断△AOB的形状，得出∠OAB=45°，∠OAB是⊙E中弧OC所对的圆周角，结合圆周角定理可推出弧OC对应的圆心角∠OEC=90°，再结合⊙E的半径，利用勾股定理即可求出OC的长度。
【解析】
1. 求∠OAB的度数：
已知A(3,0)，B(0,-3)，则OA=3，OB=3，且∠AOB=90°，因此△AOB是等腰直角三角形，可得∠OAB=45°。
2. 利用圆周角定理求圆心角：
点C在直线AB上，故∠OAC=∠OAB=45°，∠OAC是⊙E中弧OC所对的圆周角。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此弧OC所对的圆心角$∠ OEC=2×45°=90°$。
3. 勾股定理计算OC：
已知⊙E的半径为2，因此OE=CE=2，在Rt△OEC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OE^2+CE^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合坐标特征和圆周角定理推导特殊角，再利用勾股定理计算线段长度，解题的核心是找准圆周角与圆心角的对应关系，属于几何综合类基础常考题。
【难度系数】
0.7
首先根据点A、B的坐标判断△AOB的形状，得出∠OAB=45°，∠OAB是⊙E中弧OC所对的圆周角，结合圆周角定理可推出弧OC对应的圆心角∠OEC=90°，再结合⊙E的半径，利用勾股定理即可求出OC的长度。
【解析】
1. 求∠OAB的度数：
已知A(3,0)，B(0,-3)，则OA=3，OB=3，且∠AOB=90°，因此△AOB是等腰直角三角形，可得∠OAB=45°。
2. 利用圆周角定理求圆心角：
点C在直线AB上，故∠OAC=∠OAB=45°，∠OAC是⊙E中弧OC所对的圆周角。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此弧OC所对的圆心角$∠ OEC=2×45°=90°$。
3. 勾股定理计算OC：
已知⊙E的半径为2，因此OE=CE=2，在Rt△OEC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OE^2+CE^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合坐标特征和圆周角定理推导特殊角，再利用勾股定理计算线段长度，解题的核心是找准圆周角与圆心角的对应关系，属于几何综合类基础常考题。
【难度系数】
0.7
