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9.(整体思想)(2024·宿迁二模)如图,在正方形网格中,A,B,P是网格线的交点,则∠PAB+∠PBA= °.
答案
45
10.如图,点A,B,C,D在网格中小正方形的顶点处,AD与BC相交于点O,小正方形的边长均为1,则AO的长为 .
答案
2 解析:如图，连接AE,ED.由勾股定理,易得AD=5.
∵DE=5,
∴AD=DE,
∴∠DAE=∠DEA.由网格的特征,得AE//BC,
∴∠DAE=∠DOC,∠DEA=∠DCO,
∴∠DOC=∠DCO,
∴DO=DC=3,
∴AO=AD−DO=5−3=2.
11.如图所示为一张三角形纸片ABC,∠C= 90°,AC= 8cm,BC= 6cm.现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕DE的长为 cm.
答案
$\frac{15}{4}$
12.(新情境·现实生活)如图,一只蚂蚁沿着棱长为1的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B.如果它爬行的路径是最短的,那么最短路径的长为 .
答案
$\sqrt{10}$
解析
将正方体沿经过的3个面展开，得到一个长方形，长方形的长为$1+1+1=3$，宽为$1$。根据勾股定理，最短路径长为$\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{10}$。
$\sqrt{10}$
$\sqrt{10}$
13.(方程思想)(2023·牡丹江)先将长方形纸片的一端按如图①所示的方法折出一个正方形ABEF,然后把纸片展平；再将图①中的长方形纸片按如图②所示的方法折叠,使点C恰好落在点F处,得到折痕MN.若AB= 8,AD= 12,求BM的长.
答案
∵四边形ABCD是长方形,AB=8,AD=12,
∴DC=AB=8,BC=AD=12.
∵四边形ABEF是正方形,
∴BE=EF=AB=8,∠BEF=90°,
∴在Rt△MEF中,由勾股定理,得EM²+EF²=FM².设BM=x,则EM=8−x.
∵MN是折痕，
∴FM=CM,
∴FM=CM=12−x,
∴(8−x)²+8²=(12−x)²,解得x=2,
∴BM的长为2
14.如图,在△ABC中,∠ABC= 45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,F为BC的中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE= ∠CBE.
(1)线段BH与CA相等吗？若相等,请给予证明；若不相等,请说明理由.
(2)求证：$BG^2-GE^2= EA^2.$
(1)线段BH与CA相等吗？若相等,请给予证明；若不相等,请说明理由.
(2)求证：$BG^2-GE^2= EA^2.$
答案
(1)相等
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠BDC=∠CDA=∠BEA=90°,
∴∠A+∠DCA=90°,∠A+∠ABE=90°,
∴∠ABE=∠DCA.又
∵∠ABC=45°,
∴易得∠BCD=∠ABC=45°,
∴DC=DB.在△DBH和△DCA中，{∠DBH=∠DCA，DB=DC，∠BDH=∠CDA}，
∴△DBH≌△DCA，
∴BH=CA
(2)连接CG.
∵F为BC的中点,DB=DC,
∴DF垂直平分BC,
∴BG=CG.
∵BE⊥AC,
∴∠BEA=∠BEC=90°.在△ABE和△CBE中，{∠ABE=∠CBE，BE=BE，∠BEA=∠BEC}，
∴△ABE≌△CBE,
∴EA=EC.
∵在Rt△CGE中,由勾股定理,得CG²−GE²=EC²,
∴BG²−GE²=EA²
