7. (2023·广元)如图,a//b,直线l与直线a,b分别交于B,A两点,分别以点A,B为圆心,大于$\frac{1}{2}$AB的长为半径画弧,两弧相交于点E,F,作直线EF,分别交直线a,b于点C,D,连接AC.若∠CDA= 34°,则∠CAB的度数为______.

56°

8. (2024·常州改编)如图,B,E,C,F是直线l上的四点,AC,DE相交于点G,AB= DF,AC= DE,BE= FC.

(1)求证：△GEC是等腰三角形；
(2)连接AD,试判断AD与l的位置关系,并说明理由.

（1）
∵ BE = FC，
∴ BE + EC = FC + EC，即 BC = EF. 在△ABC 和△DFE 中，{AB=DF,AC=DE,BC=FE,}
∴ △ABC≌△DFE（SSS），
∴ ∠ACB = ∠DEF，即∠GCE = ∠GEC，
∴ GE = GC，即△GEC 为等腰三角形. （2）AD//l 理由：
∵ △GEC 的内角和为 180°，∠GCE = ∠GEC，
∴ ∠GEC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠EGC).
∵ AC = DE，GE = GC，
∴ AG = DG，
∴ ∠GAD = ∠GDA.
∵ △GAD 的内角和为 180°，
∴ ∠GDA = $\frac{1}{2}$(180° - ∠AGD).
∵ ∠EGC = ∠AGD，
∴ ∠GEC = ∠GDA，
∴ AD//l.

9. 如图①,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,D为边AC上一点,DE⊥AB于点E,M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F,连接EM.
(1)求证：CM= EM；
(2)若∠A= 50°,则∠EMF的度数为______；
(3)如图②,连接CE,若△DAE≌△CEM,N为CM的中点,连接AN,求证：AN//EM.

（1）
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEB = 90°.
∵ M 为 BD 的中点，
∴ DM = MB，
∴ 在 Rt△DEB 中，EM = $\frac{1}{2}$DB.
∵ ∠ACB = 90°，
∴ 在 Rt△DCB 中，CM = $\frac{1}{2}$DB，
∴ CM = EM. （2）100° 解析：
∵ DE⊥AB，
∴ ∠AED = 90°.
∵ ∠A = 50°，
∴ 在 Rt△AED 中，∠ADE = 40°，
∴ ∠CDE = 140°.
∵ M 为 BD 的中点，
∴ DM = $\frac{1}{2}$DB. 由（1），得 EM = $\frac{1}{2}$DB，CM = $\frac{1}{2}$DB，
∴ EM = DM，CM = DM，
∴ ∠MDE = ∠MED，∠MCD = ∠MDC，
∴ ∠MED + ∠MCD = ∠MDE + ∠MDC = ∠CDE = 140°.
∵ 四边形 DEMC 的内角和为 360°，
∴ ∠CME = 360° - 2×140° = 80°，
∴ ∠EMF = 180° - ∠CME = 100°. （3）连接 AM.
∵ △DAE≌△CEM，CM = EM，
∴ AE = EM = CM = DE = DM，∠DEA = ∠CME = 90°，
∴ △ADE 是等腰直角三角形，△DEM 是等边三角形，
∴ ∠DEM = ∠DME = 60°，
∴ ∠FEM = 30°.
∵ AE = EM，
∴ ∠EAM = ∠EMA = 15°，
∴ ∠AMC = ∠CME - ∠EMA = 75°.
∵ ∠CME = 90°，∠DME = 60°，
∴ ∠DMC = 30°.
∵ CM = DM，
∴ ∠MCD = ∠MDC = $\frac{1}{2}$×(180° - 30°) = 75°，
∴ ∠AMC = ∠MCD，
∴ AC = AM.
∵ N 为 CM 的中点，
∴ AN⊥CM，
∴ ∠ANM = 90°，
∴ ∠ANM + ∠CME = 180°，
∴ AN//EM