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1. (2024·宿豫期末)若一个三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是 ( )
A.8
B.7
C.2
D.1
A.8
B.7
C.2
D.1
答案
C
解析
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
$4 - 3 ＜ m ＜ 4 + 3$，即$1 ＜ m ＜ 7$。
选项中只有2满足条件，故选C。
$4 - 3 ＜ m ＜ 4 + 3$，即$1 ＜ m ＜ 7$。
选项中只有2满足条件，故选C。
2. 已知等腰三角形的一边长为4,一边长为9,则它的周长为______.
答案
22
解析
情况一：腰长为4，底边长为9。
$4 + 4 = 8$，$8 ＜ 9$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
情况二：腰长为9，底边长为4。
$9 + 4 = 13 ＞ 9$，$9 + 9 = 18 ＞ 4$，满足三角形三边关系。
周长为$9 + 9 + 4 = 22$。
22
$4 + 4 = 8$，$8 ＜ 9$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
情况二：腰长为9，底边长为4。
$9 + 4 = 13 ＞ 9$，$9 + 9 = 18 ＞ 4$，满足三角形三边关系。
周长为$9 + 9 + 4 = 22$。
22
3. (整体思想)如图,在△ABC中,AB= AC= 2,P是BC上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F.若S△ABC= 1,则PE+PF的值为______.
答案
1
解析
连接AP。
因为PE⊥AB，PF⊥AC，
所以$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot PE$，$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AC\cdot PF$。
因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}=1$，且AB=AC=2，
所以$\frac{1}{2}×2\cdot PE+\frac{1}{2}×2\cdot PF=1$，
即$PE+PF=1$。
1
因为PE⊥AB，PF⊥AC，
所以$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot PE$，$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AC\cdot PF$。
因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}=1$，且AB=AC=2，
所以$\frac{1}{2}×2\cdot PE+\frac{1}{2}×2\cdot PF=1$，
即$PE+PF=1$。
1
4. 如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.若△ABC的面积为40,BD= 5,则△BDE的边BD上的高为______.
答案
4
解析
∵AD为△ABC的中线，△ABC的面积为40，
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×40=20。
∵BE为△ABD的中线，
∴S△BDE=$\frac{1}{2}$S△ABD=$\frac{1}{2}$×20=10。
设△BDE的边BD上的高为h，BD=5，
则$\frac{1}{2}$×BD×h=S△BDE，
即$\frac{1}{2}$×5×h=10，
解得h=4。
4
5. 如图,BG平分∠ABD,CG平分∠ACD,∠BDC= 140°,∠BGC= 110°,则∠A的度数为______.
答案
80°
解析
连接BC。
设∠ABD=2x，∠ACD=2y，
∵BG平分∠ABD，CG平分∠ACD，
∴∠GBD=x，∠GCD=y。
在△BDC中，∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=40°。
在△BGC中，∠GBC+∠GCB=180°-∠BGC=70°，
即∠DBC+x+∠DCB+y=70°，
∴x+y=70°-40°=30°。
在△ABC中，∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠DCB)=180°-(2x+2y+40°)=180°-(60°+40°)=80°。
80°
设∠ABD=2x，∠ACD=2y，
∵BG平分∠ABD，CG平分∠ACD，
∴∠GBD=x，∠GCD=y。
在△BDC中，∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=40°。
在△BGC中，∠GBC+∠GCB=180°-∠BGC=70°，
即∠DBC+x+∠DCB+y=70°，
∴x+y=70°-40°=30°。
在△ABC中，∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠DCB)=180°-(2x+2y+40°)=180°-(60°+40°)=80°。
80°
6. 如图,AD是△ABC的中线,求证:AB+AC＞2AD.
答案
如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接CE.
∵ AD是△ABC的中线,
∴ BD=DC. 在△ABD和△ECD中,AD=ED,∠ADB=∠EDC,BD=CD,
∴ △ABD≌△ECD(SAS),
∴ AB=EC.
∵ 在△ACE中,EC+AC＞AE,
∴ AB+AC＞AD+DE,即AB+AC＞2AD
∵ AD是△ABC的中线,
∴ BD=DC. 在△ABD和△ECD中,AD=ED,∠ADB=∠EDC,BD=CD,
∴ △ABD≌△ECD(SAS),
∴ AB=EC.
∵ 在△ACE中,EC+AC＞AE,
∴ AB+AC＞AD+DE,即AB+AC＞2AD
7. 如图,点A,D,C,F在同一条直线上,BC//EF,AD= CF,添加下列一个条件:① BC= EF；② AB= DE；③ ∠A= ∠F；④ AB//DE.其中,能使△ABC≌△DEF的有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
]
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
]
答案
B
解析
∵AD=CF，
∴AD+DC=CF+DC，即AC=DF。
∵BC//EF，
∴∠ACB=∠F。
①添加BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=DF\\ ∠ACB=∠F\\ BC=EF\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF(SAS)。
②添加AB=DE，SSA不能判定全等。
③添加∠A=∠F，
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠F\\ AC=DF\\ ∠ACB=∠F\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF(ASA)。
④添加AB//DE，
∴∠A=∠EDF，
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠EDF\\ AC=DF\\ ∠ACB=∠F\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF(ASA)。
能使△ABC≌△DEF的有①③④，共3个。
C
8. 如图,在Rt△ACD和Rt△BCE中,AD= BE,DC= EC,则下列结论不一定正确的是 ( )
A.Rt△ACD≌Rt△BCE
B.OA= OB
C.E是AC的中点
D.AE= BD
A.Rt△ACD≌Rt△BCE
B.OA= OB
C.E是AC的中点
D.AE= BD
答案
C
解析
在Rt△ACD和Rt△BCE中，AD=BE，DC=EC，∠ACD=∠BCE=90°，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），A正确；
∴AC=BC，∠A=∠B，
∵AC=BC，DC=EC，
∴AC - EC = BC - DC，即AE=BD，D正确；
在△AOE和△BOD中，∠A=∠B，∠AOE=∠BOD，AE=BD，
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴OA=OB，B正确；
无法得出E是AC的中点，C不一定正确。
C
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），A正确；
∴AC=BC，∠A=∠B，
∵AC=BC，DC=EC，
∴AC - EC = BC - DC，即AE=BD，D正确；
在△AOE和△BOD中，∠A=∠B，∠AOE=∠BOD，AE=BD，
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴OA=OB，B正确；
无法得出E是AC的中点，C不一定正确。
C
9. (新考法·条件开放题)如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:______,使△AEH≌△CEB.
答案
答案不唯一,如AH=CB
