7.“圆形方孔钱”是中国古钱币的典型代表.如图,一枚圆形方孔钱的外圆直径为a,中间方孔边长为b,则阴影部分的面积是.

7.$π(\frac{a}{2})^2 -b^2$

【分析】
观察图形可知，阴影部分是外圆去掉中间正方形方孔后剩下的部分，因此阴影面积等于外圆面积减去中间正方形的面积。解题时先根据外圆直径求出半径，代入圆的面积公式计算外圆面积，再根据正方形边长计算方孔的面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
1. 计算外圆的面积：已知外圆直径为$a$，则外圆半径为$\frac{a}{2}$，根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得外圆面积为$π(\frac{a}{2})^2$。
2. 计算中间方孔的面积：方孔是边长为$b$的正方形，根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}×\mathrm{边长}$，可得方孔面积为$b^2$。
3. 计算阴影部分面积：阴影面积 = 外圆面积 - 方孔面积，即$π(\frac{a}{2})^2 - b^2$。
【答案】
$π(\frac{a}{2})^2 -b^2$
【知识点】
列代数式；圆的面积计算；正方形的面积计算
【点评】
本题是基础的组合图形面积求解问题，核心是将不规则阴影的面积转化为两个规则图形的面积差，熟练掌握常见平面图形的面积公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.85

8.如图，正方形的边长为2，分别以正方形的两个相对顶点为圆心，以正方形的一边为半径画弧，则阴影部分的面积是。

8.$2π-4$

【分析】
解题时先观察阴影部分的构成：阴影是两个以正方形相对顶点为圆心、边长为半径的四分之一圆的重叠部分。我们可以用和差法推导：两个四分之一圆的面积相加时，阴影部分被重复计算1次，空白部分各被计算1次，因此两个扇形的面积之和减去正方形的面积，恰好就是重叠的阴影部分的面积。
【解析】
已知正方形边长为2，即扇形半径$r=2$，扇形圆心角为正方形的内角$90°$。
1. 计算1个扇形的面积：
$S_{扇形}=\frac{90°}{360°}×π r^2=\frac{1}{4}×π×2^2=π$
2. 计算2个扇形的面积和：
$2× S_{扇形}=2π$
3. 计算正方形的面积：
$S_{正方形}=2×2=4$
4. 阴影部分面积 = 2个扇形面积和 - 正方形面积，即$S_{阴影}=2π-4$
【答案】
$2π-4$
【知识点】
扇形面积计算；正方形面积计算；重叠法求阴影面积
【点评】
本题是组合图形阴影面积求解的常规题型，核心是理清各图形面积的和差关系，通过重叠部分的计数特点推导计算逻辑，掌握该方法可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7

9.小明想把一块长为60 cm、宽为40 cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形硬纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形（如图）.设这些小正方形的边长为x cm.
(1)求图中阴影部分的面积.
(2)当x=5时，求这个盒子的体积.

9.(1)$(2\ 400-4x^2)\ \mathrm{cm}^2$.
(2)当$x=5$时,$x(60-2x)(40-2x)=7\ 500(\mathrm{cm}^3)$.

【分析】
(1) 求阴影部分面积可采用“总面积减空白面积”的思路：阴影部分是原长方形减去四个角的白色小正方形后剩余的部分，先算出原长方形的面积，再算出4个小正方形的总面积，二者作差即可得到阴影部分面积。
(2) 求无盖长方体盒子的体积，首先明确剪去小正方形后，盒子的长为原长减去2倍的小正方形边长，宽为原宽减去2倍的小正方形边长，高就是小正方形的边长，再根据“长方体体积=长×宽×高”列出体积的代数式，最后将x=5代入计算即可。
【解析】
(1) 原长方形硬纸片的面积为：$60×40=2400\ \mathrm{cm}^2$
四个角剪去的小正方形总面积为：$4× x× x=4x^2\ \mathrm{cm}^2$
因此阴影部分的面积 = 原长方形面积 - 4个小正方形面积，即：$(2400 - 4x^2)\mathrm{cm}^2$。
(2) 做成的无盖长方体盒子，长为$(60-2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(40-2x)\ \mathrm{cm}$，高为$x\ \mathrm{cm}$。
根据长方体体积公式，盒子体积$V = x(60-2x)(40-2x)$。
当$x=5$时，代入得：
$60-2x=60-2×5=50\ \mathrm{cm}$，
$40-2x=40-2×5=30\ \mathrm{cm}$，
$V=5×50×30=7500\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) $\boxed{(2400-4x^2)\ \mathrm{cm}^2}$
(2) $\boxed{7500\ \mathrm{cm}^3}$
【知识点】
1. 列代数式
2. 代数式求值
3. 长方体体积计算
【点评】
本题结合实际操作场景考查代数式的应用，解题核心是准确理解剪去小正方形后长方体的长宽高和原图形边长的关系，代入计算时要注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

10.吴老师让同学们给教室的窗户设计新的帘头，已知窗户的尺寸如下图所示.小明设计了两种方案，分别如图①、图②所示（每种方案中的扇形半径分别相等）.请你计算两种方案中窗户能射进阳光的部分的面积，并比较其大小.

10.方案一:帘头面积$=\frac{1}{4}π(\frac{1}{2}b)^2 × 2=\frac{1}{8}π b^2$,进光面积$=ab-\frac{1}{8}π b^2$.
方案二:帘头面积$=\frac{1}{4}π(\frac{1}{4}b)^2 × 4=\frac{1}{16}π b^2$,进光面积$=ab-\frac{1}{16}π b^2$.
因为$\frac{1}{8}π b^2＞\frac{1}{16}π b^2$,所以 $ab-\frac{1}{8}π b^2＜ab-\frac{1}{16}π b^2$.即方案二能射进阳光的部分的面积大.

【分析】
要计算窗户能射进阳光的面积，首先明确进光面积=长方形窗户的总面积减去帘头（阴影部分）的面积。第一步先算出长方形窗户的面积为长×宽=ab；接下来分别计算两个方案的帘头面积：方案①的帘头是2个半径相等的扇形，可拼凑为1个半圆，先确定半径再计算半圆面积；方案②的帘头是4个半径相等的扇形，可拼凑为1个整圆，确定半径后计算整圆面积；最后分别作差得到两个方案的进光面积，再通过比较两个差的大小得出结论。
【解析】
首先计算长方形窗户的总面积：$S_{长方形}=a× b=ab$
1. 计算方案一的进光面积：
方案一中2个扇形的半径均为$\frac{b}{2}$，2个四分之一圆相加可得一个半圆，
帘头面积：$S_{帘头1}=2×\frac{1}{4}π×(\frac{b}{2})^2=\frac{1}{8}π b^2$
进光面积：$S_{进光1}=ab - \frac{1}{8}π b^2$
2. 计算方案二的进光面积：
方案二中4个扇形的半径均为$\frac{b}{4}$，4个四分之一圆相加可得一个整圆，
帘头面积：$S_{帘头2}=4×\frac{1}{4}π×(\frac{b}{4})^2=\frac{1}{16}π b^2$
进光面积：$S_{进光2}=ab - \frac{1}{16}π b^2$
3. 比较两个进光面积的大小：
因为$\frac{1}{8}π b^2＞\frac{1}{16}π b^2$，被减数$ab$相同，减数越大差越小，
所以$ab-\frac{1}{8}π b^2 ＜ ab-\frac{1}{16}π b^2$，即方案二的进光面积更大。
【答案】
方案一进光面积为$ab-\frac{1}{8}π b^2$，方案二进光面积为$ab-\frac{1}{16}π b^2$，方案二能射进阳光的部分面积更大。
【知识点】
长方形面积计算；圆的面积计算；代数式比较大小
【点评】
本题结合生活中的窗帘设计场景，考查了不规则图形面积的计算方法，解题的关键是利用割补法将零散的扇形面积拼接为规则的半圆、整圆面积，再通过作差和代数式大小比较得出结果，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7

11.体育中心游泳馆的设计方案如图所示,其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方(阴影部分)都是自由活动区.已知 $m=\frac{2}{3}a,n=\frac{1}{2}b$.
(1)自由活动区的面积为 ______(用含 $a,b$ 的代数式表示).
(2)若按照要求:自由活动区的面积需要占游泳馆总面积的$\frac{5}{8}$及以上,且游泳馆的长与宽需要满足 $a=\frac{3}{2}b$.那么这个设计方案是否符合要求?为什么?(请写出必要的计算及推理过程)

11.(1)自由活动区的面积:$ab-mn-\frac{1}{2}×π×(\frac{1}{2}n)^2=ab-mn-\frac{π n^2}{8}$.
因为 $m=\frac{2}{3}a ,n=\frac{1}{2}b$,
所以自由活动区的面积:$ab-\frac{2}{3}a × \frac{1}{2}b-\frac{π}{8}×(\frac{1}{2}b)^2=\frac{2}{3}ab-\frac{π}{32}b^2$.故答案为$\frac{2}{3}ab-\frac{π}{32}b^2$.
(2)这个设计方案不符合要求,理由如下:
当 $a=\frac{3}{2}b$ 时,自由活动区的面积:$\frac{2}{3}ab-\frac{π}{32}b^2=\frac{2}{3}×\frac{3}{2}b^2-\frac{π}{32}b^2=(1-\frac{π}{32})b^2$.
又因为游泳馆总面积为 $ab=\frac{3}{2}b^2$,所以$(1-\frac{π}{32})b^2:\frac{3}{2}b^2=\frac{2}{3}-\frac{π}{48}=\frac{32-π}{48}$.
因为$\frac{32-π}{48}＜\frac{5}{8}$,所以这个设计方案不符合要求.

【分析】
(1) 求解自由活动区面积的核心思路是“总面积减去空白区域面积”：自由活动区面积 = 整个游泳馆（大长方形）的面积 - 长方形游泳区的面积 - 半圆形休息区的面积。先分别写出各部分面积的表达式，再将已知的$m=\frac{2}{3}a$、$n=\frac{1}{2}b$代入化简，即可得到用$a、b$表示的结果。
(2) 判断方案是否符合要求，先将$a=\frac{3}{2}b$代入第(1)问得到的自由活动区面积代数式，算出对应面积后，再计算其占游泳馆总面积的比值，和$\frac{5}{8}$比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 各部分面积计算如下：
游泳馆总面积为$ab$，长方形游泳区面积为$mn$；半圆形休息区的直径为$n$，因此半径为$\frac{n}{2}$，面积为$\frac{1}{2}×π×(\frac{n}{2})^2=\frac{πn^2}{8}$。
因此自由活动区面积为：$ab - mn - \frac{πn^2}{8}$
将$m=\frac{2}{3}a$，$n=\frac{1}{2}b$代入上式化简：
$\begin{aligned}原式&=ab - \frac{2}{3}a × \frac{1}{2}b - \frac{π}{8}×(\frac{1}{2}b)^2\\&=ab - \frac{1}{3}ab - \frac{π}{32}b^2\\&=\frac{2}{3}ab - \frac{π}{32}b^2\end{aligned}$
(2) 该设计方案不符合要求，推理过程如下：
将$a=\frac{3}{2}b$代入自由活动区面积的表达式：
$\begin{aligned}\frac{2}{3}ab - \frac{π}{32}b^2&=\frac{2}{3}×\frac{3}{2}b×b - \frac{π}{32}b^2\\&=b^2 - \frac{π}{32}b^2=(1-\frac{π}{32})b^2\end{aligned}$
此时游泳馆总面积为$ab=\frac{3}{2}b×b=\frac{3}{2}b^2$，自由活动区面积占总面积的比值为：
$\frac{(1-\frac{π}{32})b^2}{\frac{3}{2}b^2}=\frac{2}{3}-\frac{π}{48}=\frac{32-π}{48}$
已知$π≈3.14$，则$\frac{32-3.14}{48}≈0.601$，而$\frac{5}{8}=0.625$，可得$\frac{32-π}{48}＜\frac{5}{8}$，因此不符合要求。
【答案】
(1) $\frac{2}{3}ab-\frac{π}{32}b^2$
(2) 不符合要求，理由见解析。
【知识点】
列代数式；代数式求值；面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查代数式的实际应用，要求学生熟练掌握常见图形的面积公式，能正确代入条件化简代数式并完成大小比较，侧重对基础运算能力和知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7