1.（东莞期末）约分$\frac{-ab}{3ab^2}$的结果是（）.

A.$-\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{3}b$
C.$-\frac{1}{3b}$
D.$-\frac{a}{3}$

1. C

【分析】
要对分式进行约分，首先回忆约分的依据是分式的基本性质，按以下步骤思考：第一步先确定分式的符号，原式分子带负号，分母为正，因此约分后结果符号为负；第二步找分子和分母的公因式，分子是$-ab$，分母是$3ab^2$，相同字母$a$的最低次幂是1次，$b$的最低次幂是1次，系数的最大公约数是1，因此公因式为$ab$；第三步将分子分母同时除以公因式$ab$，即可得到最简结果。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
因为原式$\frac{-ab}{3ab^2}$有意义，所以$a≠0$，$b≠0$，可将分子分母同时除以公因式$ab$：
$\frac{-ab}{3ab^2}=\frac{-ab÷ ab}{3ab^2÷ ab}=-\frac{1}{3b}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质、分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查约分的基本方法，解题时要注意先确定分式的符号，再准确提取公因式，避免出现符号错误、漏约或多约字母次数的问题。
【难度系数】
0.8

2. 约分：
(1)$\frac{6a^2bc^3}{8ab^3c^2}=$；
(2)$\frac{2x^2y + 2xy^2}{6x^2y^2}=$；
(3)$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + x}=$。

2. (1)$\frac{3ac}{4b^2}$ (2)$\frac{x+y}{3xy}$ (3)$\frac{x+1}{x}$

【分析】
分式约分的核心是利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，最终得到最简分式。解题思路分两步走：①若分子、分母是单项式，先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，组合得到公因式后约去；②若分子或分母是多项式，先对多项式进行因式分解，再找公因式约去，注意约分时要保证分子分母同时除以同一个不为0的公因式。
【解析】
(1) 分子$6a^2bc^3$和分母$8ab^3c^2$都是单项式，系数6和8的最大公约数是2，相同字母的最低次幂分别为$a^1$、$b^1$、$c^2$，因此公因式为$2abc^2$。
将分子分母同时除以$2abc^2$：
$\frac{6a^2bc^3÷2abc^2}{8ab^3c^2÷2abc^2}=\frac{3ac}{4b^2}$
(2) 先对分子因式分解：$2x^2y+2xy^2=2xy(x+y)$，分母为$6x^2y^2$，分子分母的公因式为$2xy$（$xy≠0$）。
将分子分母同时除以$2xy$：
$\frac{2xy(x+y)÷2xy}{6x^2y^2÷2xy}=\frac{x+y}{3xy}$
(3) 分别对分子、分母因式分解：分子$x^2+2x+1=(x+1)^2$，分母$x^2+x=x(x+1)$，公因式为$(x+1)$（$x+1≠0$）。
将分子分母同时除以$(x+1)$：
$\frac{(x+1)^2÷(x+1)}{x(x+1)÷(x+1)}=\frac{x+1}{x}$
【答案】
(1)$\frac{3ac}{4b^2}$；(2)$\frac{x+y}{3xy}$；(3)$\frac{x+1}{x}$
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式约分的基础题型，解题的关键是准确找出分子分母的公因式，遇到多项式时要先因式分解再找公因式，最终结果要化为分子分母无公因式的最简分式。
【难度系数】
0.8

3. 在分式$\frac{b}{8a}$，$\frac{a+b}{a-b}$，$\frac{x-y}{x^2 - y^2}$，$\frac{x-y}{x^2 + 2xy + y^2}$中，最简分式有个。

3. 3

【分析】
要判断给定分式中最简分式的个数，首先需明确最简分式的定义：分子与分母不含公因式的分式为最简分式。解题时先逐个分析每个分式的分子、分母是否能因式分解，再判断二者是否存在公因式，最终统计符合要求的最简分式数量即可。
【解析】
我们对4个分式逐一判断：
1. 分式$\frac{b}{8a}$：分子为$b$，分母为$8a$，二者无公因式，是最简分式；
2. 分式$\frac{a+b}{a-b}$：分子为$a+b$，分母为$a-b$，二者无公因式，是最简分式；
3. 分式$\frac{x-y}{x^2 - y^2}$：先对分母因式分解，得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，分子和分母有公因式$x-y$，可约分为$\frac{1}{x+y}$，不属于最简分式；
4. 分式$\frac{x-y}{x^2 + 2xy + y^2}$：对分母因式分解，得$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，分子$x-y$与分母无公因式，是最简分式。
综上，符合要求的最简分式共有3个。
【答案】
3
【知识点】
最简分式判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题核心考查最简分式的识别方法，解题的关键是熟练掌握常见的因式分解方法，准确判断分子分母是否存在公因式，易错点是未对多项式形式的分子分母先因式分解就直接判断，导致漏判公因式。
【难度系数】
0.7

4. 通分：
(1) $\frac{4a}{5b^2c}$与$\frac{3c}{10a^2b}$；
(2) $\frac{3}{x^2+2x}$与$\frac{x+3}{x^2+4x+4}$。

4. 解：(1)最简公分母是 $10a^2b^2c$. $\frac{4a}{5b^2c} = \frac{4a · 2a^2}{5b^2c · 2a^2} =\frac{8a^3}{10a^2b^2c}$, $\frac{3c}{10a^2b}=\frac{3c · bc}{10a^2b · bc}=\frac{3bc^2}{10a^2b^2c}$.
(2) 最简公分母是 $x(x+2)^2$. $\frac{3}{x^2+2x} =\frac{3(x+2)}{x(x+2)(x+2)} = \frac{3x+6}{x(x+2)^2}$, $\frac{x+3}{x^2+4x+4} =\frac{(x+3)· x}{(x+2)^2 · x}=\frac{x^2+3x}{x(x+2)^2}$.

【分析】
通分的核心是先确定两个分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，给分子分母同乘相同的非零整式，将分式化为同分母分式。①若分母是单项式，最简公分母取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母的乘积即可；②若分母是多项式，要先将每个分母因式分解，再按单项式找公分母的方法确定最简公分母，最后给分子对应乘上分母缺少的因式即可。
【解析】
(1) 分母$5b^2c$和$10a^2b$的最简公分母为$10a^2b^2c$：
$\frac{4a}{5b^2c}$的分母缺少因式$2a^2$，分子分母同乘$2a^2$，得$\frac{4a · 2a^2}{5b^2c · 2a^2} =\frac{8a^3}{10a^2b^2c}$；
$\frac{3c}{10a^2b}$的分母缺少因式$bc$，分子分母同乘$bc$，得$\frac{3c · bc}{10a^2b · bc}=\frac{3bc^2}{10a^2b^2c}$。
(2) 先因式分解分母：$x^2+2x=x(x+2)$，$x^2+4x+4=(x+2)^2$，最简公分母为$x(x+2)^2$：
$\frac{3}{x^2+2x}$的分母缺少因式$(x+2)$，分子分母同乘$(x+2)$，得$\frac{3(x+2)}{x(x+2)(x+2)} = \frac{3x+6}{x(x+2)^2}$；
$\frac{x+3}{x^2+4x+4}$的分母缺少因式$x$，分子分母同乘$x$，得$\frac{(x+3)· x}{(x+2)^2 · x}=\frac{x^2+3x}{x(x+2)^2}$。
【答案】
(1) $\frac{4a}{5b^2c}=\frac{8a^3}{10a^2b^2c}$，$\frac{3c}{10a^2b}=\frac{3bc^2}{10a^2b^2c}$；
(2) $\frac{3}{x^2+2x}=\frac{3x+6}{x(x+2)^2}$，$\frac{x+3}{x^2+4x+4}=\frac{x^2+3x}{x(x+2)^2}$。
【知识点】
分式通分，最简公分母确定，因式分解
【点评】
本题是通分的基础题型，重点考查不同类型分母的最简公分母寻找方法，注意多项式分母要先因式分解再确定公分母，通分时分子不要漏乘对应因式，避免计算错误。
【难度系数】
0.7

5. 若$m$为整数，则能使$\frac{m^2 - 2m + 1}{m^2 - 1}$的值也为整数的$m$的个数是（）。

A.1
B.2
C.3
D.4

5. C

【分析】
要解决这道题，首先需保证分式有意义，先明确分母不为0的限制条件；再对分式的分子、分母分别因式分解，利用分式的基本性质约分简化表达式；最后结合m为整数、分式的值也为整数的要求，找出所有符合条件的m值，排除无意义的情况后统计个数即可。
【解析】
首先，分式有意义的条件是分母不为0，即：
$m^2 - 1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$且$m ≠ -1$。
对分式的分子、分母因式分解：
分子$m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2$，分母$m^2 - 1 = (m+1)(m-1)$，
因此原式可约分为：
$\frac{(m-1)^2}{(m+1)(m-1)} = \frac{m-1}{m+1}$（$m ≠ 1$）。
将化简后的式子变形：
$\frac{m-1}{m+1} = \frac{(m+1) - 2}{m+1} = 1 - \frac{2}{m+1}$。
要使分式的值为整数，则$\frac{2}{m+1}$必须为整数，即$m+1$是2的整数约数，2的整数约数有$\pm1、\pm2$，分情况讨论：
1. 当$m+1=1$时，$m=0$，满足$m ≠ \pm1$，符合要求；
2. 当$m+1=-1$时，$m=-2$，满足$m ≠ \pm1$，符合要求；
3. 当$m+1=2$时，$m=1$，此时分母为0，分式无意义，排除；
4. 当$m+1=-2$时，$m=-3$，满足$m ≠ \pm1$，符合要求。
综上，符合条件的m有-3、-2、0，共3个。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 分式的约分
3. 因式分解的应用
【点评】
本题是分式性质的典型应用题型，易错点是容易忽略分式有意义的前提，直接按约数得到4个m值，解题时要先确定自变量的取值范围，再结合整数的性质筛选符合条件的解。
【难度系数】
0.6

6. 分式$\frac{1}{m+n}$，$\frac{1}{m^2 - n^2}$，$\frac{1}{m - n}$的最简公分母是。

6. $m^2-n^2$

【分析】
要确定几个分式的最简公分母，可按以下思路推导：第一步，先将每个分式的分母因式分解，把能分解的分母都转化为最简因式的乘积；第二步，找出所有分母中出现过的不同因式；第三步，取每个因式的最高次幂相乘，得到的结果就是最简公分母。本题先对第二个分母用平方差公式分解，再按规则计算即可。
【解析】
解：先分别分析三个分式的分母并做因式分解：
1. 分式$\frac{1}{m+n}$的分母是$m+n$，属于最简因式，无法继续分解；
2. 分式$\frac{1}{m^2-n^2}$的分母利用平方差公式因式分解：$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$；
3. 分式$\frac{1}{m-n}$的分母是$m-n$，属于最简因式，无法继续分解。
三个分母中出现的不同因式为$m+n$、$m-n$，两个因式的最高次幂都是1次，因此最简公分母为两个因式的乘积：$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$。
【答案】
$m^2-n^2$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 最简公分母的确定
【点评】
本题属于分式相关的基础题，解题核心是先对各分母正确因式分解，再按规则提取所有不同因式的最高次幂相乘即可，熟练掌握常见因式分解方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.85

7. 阅读以下材料，并解答问题.
已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}≠0$，求分式$\frac{2a+3b -c}{a -b +2c}$的值.
解：设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k≠0$，
则$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$. ①
∴$a -b +2c=3k -4k +10k=9k≠0$.
∴$\frac{2a+3b -c}{a -b +2c}=\frac{6k +12k -5k}{9k}=\frac{13k}{9k}=\frac{13}{9}$. ②
(1)在上述解题过程中，步骤①成立的依据是，在步骤②中，$\frac{13k}{9k}=\frac{13}{9}$的依据是；
(2)仿照上述方法解题：已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}≠0$，求分式$\frac{x +2y -z}{x -2y +3z}$的值.

7. (1)等式的性质 分式的基本性质
(2)解：设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}=k≠0$，则 $x=2k$，$y=3k$，$z=6k$. $\therefore x-2y+3z=2k-6k+18k=14k≠0$. $\therefore \frac{x+2y-z}{x-2y+3z} =\frac{2k+6k-6k}{14k}=\frac{2k}{14k}=\frac{1}{7}$.

【分析】
(1) 第一小问考查相关性质的应用：步骤①是给比例等式两边同乘对应分母得到a、b、c的表达式，对应等式的性质；步骤②中k≠0，分子分母同除以k化简分式，对应分式的基本性质。
(2) 第二小问模仿例题的设参数法求解：先设三个相等的比值为参数k（k≠0），将x、y、z都用含k的代数式表示，先验证分母不为0保证分式有意义，再代入分式的分子和分母，约去不为0的k即可得到结果。
【解析】
(1) 步骤①中，对等式$\frac{a}{3}=k$、$\frac{b}{4}=k$、$\frac{c}{5}=k$两边分别乘3、4、5，得到$a=3k$、$b=4k$、$c=5k$，依据是等式的性质；步骤②中$k≠0$，将$\frac{13k}{9k}$的分子、分母同时除以k后分式值不变，依据是分式的基本性质。
(2) 解：设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}=k≠0$，则$x=2k$，$y=3k$，$z=6k$。
先计算分母：$x - 2y + 3z = 2k - 6k + 18k = 14k≠0$，分式有意义。
将x、y、z代入分式得：
$\frac{x + 2y - z}{x - 2y + 3z} = \frac{2k + 6k - 6k}{14k} = \frac{2k}{14k} = \frac{1}{7}$
【答案】
(1) 等式的性质；分式的基本性质
(2) $\frac{1}{7}$
【知识点】
等式的性质；分式的基本性质；比例式求值
【点评】
本题核心考查比例类分式的求值方法，重点掌握设参数法，将多个变量统一用同一个参数表示后代入化简即可，解题时要注意参数不为0的前提，保证约分合法、分式有意义。
【难度系数】
0.8