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1. 如图29－3－1所示是一个零件示意图，A，B，C处都是直角，$\overset{\frown}{MN}$是圆心角为$90°$的弧，则$\overset{\frown}{MN}$的长是（
A.$π$
B.$\frac{3}{2}π$
C.$2π$
D.$4π$
图29－3－1
图29－3－2
图29－3－3
C
）A.$π$
B.$\frac{3}{2}π$
C.$2π$
D.$4π$
图29－3－1
图29－3－2
图29－3－3
答案
1.C
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{MN}$的长度，需用到弧长计算公式：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为弧所在圆的半径）。题目已经明确给出$\overset{\frown}{MN}$的圆心角为$90°$，因此解题核心是先求出弧所在圆的半径$r$。结合零件图中A、B、C处均为直角的特点，通过对图形各段边长的加减运算，可推得半径$r=4$，再代入弧长公式即可算出结果。
【解析】
弧长的计算公式为：$l = \frac{nπ r}{180}$，其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为弧所在圆的半径。
由题意可知，$\overset{\frown}{MN}$所对的圆心角$n=90°$，结合零件图的直角边长关系，可求得$\overset{\frown}{MN}$所在圆的半径$r=4$。
将$n=90°$、$r=4$代入弧长公式得：
$l_{\overset{\frown}{MN}}=\frac{90×π×4}{180}=2π$
【答案】
C
【知识点】
弧长公式应用，几何图形边长推导
【点评】
本题属于基础题型，重点考查弧长公式的掌握情况，解题关键是结合图形的直角特征求出弧对应的半径，熟记弧长公式即可快速作答。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{MN}$的长度，需用到弧长计算公式：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为弧所在圆的半径）。题目已经明确给出$\overset{\frown}{MN}$的圆心角为$90°$，因此解题核心是先求出弧所在圆的半径$r$。结合零件图中A、B、C处均为直角的特点，通过对图形各段边长的加减运算，可推得半径$r=4$，再代入弧长公式即可算出结果。
【解析】
弧长的计算公式为：$l = \frac{nπ r}{180}$，其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为弧所在圆的半径。
由题意可知，$\overset{\frown}{MN}$所对的圆心角$n=90°$，结合零件图的直角边长关系，可求得$\overset{\frown}{MN}$所在圆的半径$r=4$。
将$n=90°$、$r=4$代入弧长公式得：
$l_{\overset{\frown}{MN}}=\frac{90×π×4}{180}=2π$
【答案】
C
【知识点】
弧长公式应用，几何图形边长推导
【点评】
本题属于基础题型，重点考查弧长公式的掌握情况，解题关键是结合图形的直角特征求出弧对应的半径，熟记弧长公式即可快速作答。
【难度系数】
0.7
2.如图29−3−2,在△ABC中,AB=AC,AB=8,BC=12,分别以AB,AC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积是(
A.$64π -12\sqrt{7}$
B.$16π -32$
C.$16π -24\sqrt{7}$
D.$16π -12\sqrt{7}$
D
)A.$64π -12\sqrt{7}$
B.$16π -32$
C.$16π -24\sqrt{7}$
D.$16π -12\sqrt{7}$
答案
2.D 点拔:本题考查等腰三角形的性质、扇形面积公式.由图可知阴影部分的面积＝图中两个半圆形的面积之和－等腰△ABC的面积，所以S阴影＝16π－12√7，故选D.
解析
【分析】
本题是不规则阴影面积的计算问题，可采用割补法转化为规则图形的面积差求解：观察图形可知，两个分别以AB、AC为直径的半圆的面积之和，减去等腰△ABC的面积，即可得到阴影部分的面积。解题时先计算两个半圆的总面积，再通过等腰三角形三线合一和勾股定理求出三角形的高，进而得到三角形面积，最后作差即可。
【解析】
解：已知AB=AC=8，因此两个半圆的半径均为$r=\frac{8}{2}=4$。
1. 计算两个半圆的面积和：
两个半圆的面积和等价于1个半径为4的整圆的面积，即$S_{半圆和}=2×\frac{1}{2}π r^2=π×4^2=16π$。
2. 计算$△ ABC$的面积：
过点A作$AD⊥ BC$于点D，
∵AB=AC，$△ ABC$是等腰三角形，根据三线合一，$BD=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
因此$△ ABC$的面积为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×12×2\sqrt{7}=12\sqrt{7}$。
3. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{半圆和}-S_{△ ABC}=16π-12\sqrt{7}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积；等腰三角形的性质；圆的面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的常见题型，核心是通过割补法将未知的阴影面积转化为熟悉的规则图形面积的和差，解题时需熟练运用等腰三角形三线合一性质、勾股定理求高以及圆面积公式。
【难度系数】
0.7
本题是不规则阴影面积的计算问题，可采用割补法转化为规则图形的面积差求解：观察图形可知，两个分别以AB、AC为直径的半圆的面积之和，减去等腰△ABC的面积，即可得到阴影部分的面积。解题时先计算两个半圆的总面积，再通过等腰三角形三线合一和勾股定理求出三角形的高，进而得到三角形面积，最后作差即可。
【解析】
解：已知AB=AC=8，因此两个半圆的半径均为$r=\frac{8}{2}=4$。
1. 计算两个半圆的面积和：
两个半圆的面积和等价于1个半径为4的整圆的面积，即$S_{半圆和}=2×\frac{1}{2}π r^2=π×4^2=16π$。
2. 计算$△ ABC$的面积：
过点A作$AD⊥ BC$于点D，
∵AB=AC，$△ ABC$是等腰三角形，根据三线合一，$BD=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
因此$△ ABC$的面积为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×12×2\sqrt{7}=12\sqrt{7}$。
3. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{半圆和}-S_{△ ABC}=16π-12\sqrt{7}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积；等腰三角形的性质；圆的面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的常见题型，核心是通过割补法将未知的阴影面积转化为熟悉的规则图形面积的和差，解题时需熟练运用等腰三角形三线合一性质、勾股定理求高以及圆面积公式。
【难度系数】
0.7
3. 如图29－3－3所示，$\odot O$的半径是1，A，B，C是圆周上的三点，$∠ BAC=36°$，则$\overset{\frown}{BC}$的长是（
A.$\frac{1}{5}π$
B.$\frac{2}{5}π$
C.$\frac{3}{5}π$
D.$\frac{4}{5}π$
B
）A.$\frac{1}{5}π$
B.$\frac{2}{5}π$
C.$\frac{3}{5}π$
D.$\frac{4}{5}π$
答案
3.B 点拔:连接OB,OC,根据圆周角定理可知∠BOC=72°,所以$\overset{\frown}{BC}$的长＝$\frac{72}{180}π=\frac{2}{5}π$.
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{BC}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径）。已知$\odot O$的半径$r=1$，因此只需先求出$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角的度数即可。题目给出的$∠ BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此可以先连接OB、OC构造圆心角，再代入公式计算弧长。
【解析】
解：连接OB、OC。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可得：
$∠ BOC=2∠ BAC=2×36°=72°$
已知$\odot O$的半径$r=1$，代入弧长公式：
$\overset{\frown}{BC}\mathrm{的长}=\frac{72×π×1}{180}=\frac{2}{5}π$
因此本题选B。
【答案】B
【知识点】
圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是通过圆周角定理将已知的圆周角转化为弧长公式所需的圆心角，熟记相关定理和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求$\overset{\frown}{BC}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径）。已知$\odot O$的半径$r=1$，因此只需先求出$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角的度数即可。题目给出的$∠ BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此可以先连接OB、OC构造圆心角，再代入公式计算弧长。
【解析】
解：连接OB、OC。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可得：
$∠ BOC=2∠ BAC=2×36°=72°$
已知$\odot O$的半径$r=1$，代入弧长公式：
$\overset{\frown}{BC}\mathrm{的长}=\frac{72×π×1}{180}=\frac{2}{5}π$
因此本题选B。
【答案】B
【知识点】
圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是通过圆周角定理将已知的圆周角转化为弧长公式所需的圆心角，熟记相关定理和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.一个扇形的圆心角为$90°$，半径为2，则这个扇形的弧长为（
A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
A
）A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
答案
4.A 点拔:扇形弧长可用公式:$l=\frac{nπr}{180}$求得,由于本题n＝90,r＝2,因此这个扇形的弧长为π.
解析
【分析】
要求扇形的弧长，首先回忆扇形弧长的计算公式，公式需要圆心角度数和半径两个条件，从题目中提取已知的圆心角为90°、半径为2，将两个已知量代入公式计算即可得到弧长，再匹配对应选项。
【解析】
扇形弧长计算公式为$l=\frac{nπr}{180}$，其中$n$为扇形圆心角的度数，$r$为扇形的半径。
由题可知$n=90$，$r=2$，代入公式得：
$l=\frac{90× π× 2}{180}=π$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
扇形弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形弧长公式的应用，只要准确识记公式，代入数值计算时不出现错误，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要求扇形的弧长，首先回忆扇形弧长的计算公式，公式需要圆心角度数和半径两个条件，从题目中提取已知的圆心角为90°、半径为2，将两个已知量代入公式计算即可得到弧长，再匹配对应选项。
【解析】
扇形弧长计算公式为$l=\frac{nπr}{180}$，其中$n$为扇形圆心角的度数，$r$为扇形的半径。
由题可知$n=90$，$r=2$，代入公式得：
$l=\frac{90× π× 2}{180}=π$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
扇形弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形弧长公式的应用，只要准确识记公式，代入数值计算时不出现错误，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
5.【传统文化】马面裙(图29－3－4①)，又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一.将图29－3－4①中的马面裙抽象成如图29－3－4②中阴影部分所示的数学图形，$\overset{\frown}{AD}$和$\overset{\frown}{BC}$所在圆的圆心均为点O，且点A在OB上，点D在OC上，若$OA=AB=6\ \mathrm{dm}$，$OA⊥ OD$，则该马面裙裙面(图29－3－4②中阴影部分)的面积为(
A.$36π\ \mathrm{dm}^2$
B.$27π\ \mathrm{dm}^2$
C.$18π\ \mathrm{dm}^2$
D.$12π\ \mathrm{dm}^2$
B
)A.$36π\ \mathrm{dm}^2$
B.$27π\ \mathrm{dm}^2$
C.$18π\ \mathrm{dm}^2$
D.$12π\ \mathrm{dm}^2$
答案
5.B
解析
【分析】
要求阴影部分（扇环）的面积，可转化为大扇形OBC的面积减去小扇形OAD的面积。首先确定两个扇形的圆心角和半径：由OA⊥OD可得两个扇形的圆心角均为90°；已知OA=6dm，AB=6dm，可求出大扇形半径OB的长度，再代入扇形面积公式分别计算两个扇形的面积，作差即可得到结果。
【解析】
解：由题意可知，$∠ BOC = ∠ AOD = 90°$，
$OA = 6\ \mathrm{dm}$，$OB = OA + AB = 6 + 6 = 12\ \mathrm{dm}$，
阴影部分面积为大扇形OBC的面积减去小扇形OAD的面积，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}} &= S_{\mathrm{扇形}OBC} - S_{\mathrm{扇形}OAD} \\&= \frac{90π × 12^2}{360} - \frac{90π × 6^2}{360} \\&= 36π - 9π \\&= 27π\ \mathrm{dm}^2\end{aligned}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算、扇环面积计算
【点评】
本题结合传统文化马面裙的实际背景考查几何面积计算，解题的核心是将不规则的阴影面积转化为两个规则扇形面积的差，熟练掌握扇形面积公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分（扇环）的面积，可转化为大扇形OBC的面积减去小扇形OAD的面积。首先确定两个扇形的圆心角和半径：由OA⊥OD可得两个扇形的圆心角均为90°；已知OA=6dm，AB=6dm，可求出大扇形半径OB的长度，再代入扇形面积公式分别计算两个扇形的面积，作差即可得到结果。
【解析】
解：由题意可知，$∠ BOC = ∠ AOD = 90°$，
$OA = 6\ \mathrm{dm}$，$OB = OA + AB = 6 + 6 = 12\ \mathrm{dm}$，
阴影部分面积为大扇形OBC的面积减去小扇形OAD的面积，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}} &= S_{\mathrm{扇形}OBC} - S_{\mathrm{扇形}OAD} \\&= \frac{90π × 12^2}{360} - \frac{90π × 6^2}{360} \\&= 36π - 9π \\&= 27π\ \mathrm{dm}^2\end{aligned}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算、扇环面积计算
【点评】
本题结合传统文化马面裙的实际背景考查几何面积计算，解题的核心是将不规则的阴影面积转化为两个规则扇形面积的差，熟练掌握扇形面积公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
