1. 下列说法错误的是()。

A.有一个角是$30°$的两个等腰三角形相似
B.有一个角是$60°$的两个等腰三角形相似
C.有一个角是$90°$的两个等腰三角形相似
D.有一个角是$120°$的两个等腰三角形相似

A

【分析】
本题需结合等腰三角形内角特点和相似三角形的判定定理解题，思考步骤如下：首先明确等腰三角形的内角中，钝角、直角只能作为顶角，锐角既可以是顶角也可以是底角；再依据“两角分别相等的两个三角形相似”，逐一分析每个选项中的两个等腰三角形内角是否对应相等，即可判断说法是否正确。
【解析】
我们结合等腰三角形性质和相似三角形判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）逐一分析选项：
A. 30°是锐角，可作为等腰三角形的顶角或底角：若一个等腰三角形顶角为30°，则底角为$\frac{180°-30°}{2}=75°$，三个内角为$30°、75°、75°$；若另一个等腰三角形底角为30°，则顶角为$180°-30°×2=120°$，三个内角为$30°、30°、120°$，二者没有两组角对应相等，不一定相似，故该说法错误。
B. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，所有等边三角形的内角均为60°，角对应相等，因此一定相似，故该说法正确。
C. 90°是直角，只能作为等腰三角形的顶角，此时底角为$\frac{180°-90°}{2}=45°$，两个此类等腰三角形的内角均为$90°、45°、45°$，角对应相等，一定相似，故该说法正确。
D. 120°是钝角，只能作为等腰三角形的顶角，此时底角为$\frac{180°-120°}{2}=30°$，两个此类等腰三角形的内角均为$120°、30°、30°$，角对应相等，一定相似，故该说法正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础易错题，解题的关键是注意等腰三角形中给定的锐角存在作为顶角或底角两种情况，钝角和直角仅能作为顶角，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】
0.7

2.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,点P在边AC上,过点P画直线截$△ ABC$使截得的三角形与$△ ABC$相似,这样的直线最多可画()。


A.1条
B.2条
C.3条
D.4条

C

【分析】
要解决这个问题，我们依据相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。已知原三角形是直角三角形，因此只要过点P截出的小三角形为直角三角形，且与原三角形有一个公共角，即可满足相似要求。我们分三类情况讨论过点P的垂线：1. 垂直于BC；2. 垂直于AB；3. 垂直于AC，逐一验证是否符合相似条件即可。
【解析】
已知$Rt△ ABC$中$∠ B=90°$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可按以下方式作直线：
1. 过点P作$PD⊥ BC$，垂足为D：此时$∠ PDC=∠ B=90°$，$∠ C$是$△ PDC$和$△ ABC$的公共角，因此$△ PDC∽△ ABC$，符合要求；
2. 过点P作$PE⊥ AB$，垂足为E：此时$∠ PEA=∠ B=90°$，$∠ A$是$△ APE$和$△ ACB$的公共角，因此$△ APE∽△ ACB$，符合要求；
3. 过点P作$PF⊥ AC$，交边BC于点F：此时$∠ FPC=∠ B=90°$，$∠ C$是$△ FPC$和$△ ABC$的公共角，因此$△ FPC∽△ ABC$，符合要求。
综上，满足条件的直线最多可画3条。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，直角的性质
【点评】
本题考查相似三角形判定的灵活运用，解题时要注意分类讨论所有可能的垂线情况，容易遗漏过点P作AC垂线的情况，需格外注意。
【难度系数】
0.6

3.已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，若要使△ABC与△ADE相似，则只需添加一个条件：即可(只需填写一个)。

DE//BC(答案不唯一)

【分析】
首先观察到△ABC和△ADE有公共角∠A，这是已经满足的相等条件，再结合相似三角形的判定定理推导可添加的条件：若用“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似”，可添加DE//BC；若用“两角分别相等的两个三角形相似”，可添加∠ADE=∠B或∠AED=∠C；若用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可添加AD/AB=AE/AC，任选其一即可，其中添加DE//BC最为简便。
【解析】
解：
∵∠A是△ABC和△ADE的公共角，即∠DAE=∠BAC，
根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，
因此添加条件DE//BC时，可直接得到△ADE∽△ABC。
除此之外，添加∠ADE=∠B、∠AED=∠C、AD/AB=AE/AC等条件也可使两个三角形相似，答案不唯一。
【答案】
DE//BC(答案不唯一)
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质；公共角的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，答案不唯一，重点考查对相似三角形判定定理的灵活运用能力，解题时需要先挖掘出题目隐含的公共角相等的条件，再结合对应判定定理补充合适的条件即可。
【难度系数】
0.85

4.如图，已知∠1=∠2=∠3，则图中有对相似三角形。

4

【分析】
解题时先从已知的等角条件切入：首先由∠1=∠2可推出DE//BC，得到第一对相似三角形；再结合公共角和其余等角条件，利用两角分别相等的三角形相似的判定定理，依次推导其余相似三角形，推导时注意不要遗漏平行线带来的内错角相等、公共角相等这些隐含条件，避免漏数相似对。
【解析】
1. 因为∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行，可得$DE// BC$，又∠A是△ADE和△ABC的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，得$△ ADE ∽ △ ABC$，为第1对相似三角形；
2. 因为∠1=∠3，∠A是△ADE和△ACD的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，得$△ ADE ∽ △ ACD$，为第2对相似三角形；
3. 由$△ ADE ∽ △ ABC$、$△ ADE ∽ △ ACD$，根据相似的传递性，可得$△ ACD ∽ △ ABC$，也可直接证明：∠A为公共角，∠3=∠2，由AA判定得相似，为第3对相似三角形；
4. 由$DE// BC$，根据两直线平行，内错角相等，得∠EDC=∠DCB，又已知∠3=∠2，根据两角分别相等的两个三角形相似，得$△ CDE ∽ △ BCD$，为第4对相似三角形。
综上共有4对相似三角形。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的判定与性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题的关键是充分挖掘题干给出的等角条件和图形隐含的公共角、平行线带来的等角关系，逐一排查相似对，避免漏数。
【难度系数】
0.6

5.如图，△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形分别是。

△BDA,△CDF,△CEA

【分析】
解题时先明确△BEF的特征：它是直角三角形，∠BEF=90°，存在两个锐角∠EBF和∠BFE。我们采用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理来找相似三角形：首先找与△BEF有公共角的直角三角形，其次找与△BEF的角互为对顶角的直角三角形，最后利用同角的余角相等推导角相等，验证剩余的直角三角形即可，过程中注意不要漏解。
【解析】
解：
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠BEF=∠CEA=∠BDA=∠CDF=90°。
①证明△BEF∽△BDA：
∠BEF=∠BDA=90°，∠EBF=∠ABD（公共角），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△BEF∽△BDA。
②证明△BEF∽△CDF：
∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD（对顶角相等），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△BEF∽△CDF。
③证明△BEF∽△CEA：
∵∠EBF+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，
∴∠EBF=∠ACE（同角的余角相等），
又
∵∠BEF=∠CEA=90°，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△BEF∽△CEA。
综上，与△BEF相似的三角形为△BDA、△CDF、△CEA。
【答案】
△BDA,△CDF,△CEA
【知识点】
相似三角形的判定，同角的余角相等，对顶角的性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握两角对应相等的相似判定定理，结合图形中的公共角、对顶角、直角以及余角的性质寻找相等的角，需注意全面排查避免漏解。
【难度系数】
0.6

6.如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,$∠ ACD = ∠ ABE$。求证:$△ ABC ∽ △ AEB$。

证明：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ AC平分∠BCD，AB//CD，
∴ ∠ACB = ∠ACD，∠ACD = ∠BAC。
又∵ ∠ACD = ∠ABE，
∴ ∠ACB = ∠ABE。
又∵ ∠BAC = ∠EAB（公共角），
∴ △ABC ∽ △AEB（两角分别相等的两个三角形相似）。

【分析】
要证明△ABC∽△AEB，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先观察可得∠BAC是两个三角形的公共角，天然相等，因此只需再找到另一组对应角相等即可。已知∠ACD=∠ABE，结合四边形ABCD是菱形的条件，利用菱形对角线平分内角的性质可得∠ACD=∠ACB，即可将等角关系转化为△ABC和△AEB的一组对应角相等，即∠ACB=∠ABE，结合公共角就能完成相似证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ AC平分∠BCD，AB//CD，
∴ ∠ACB = ∠ACD，∠ACD = ∠BAC。
又
∵ ∠ACD = ∠ABE，
∴ ∠ACB = ∠ABE。
又
∵ ∠BAC = ∠EAB（公共角），
∴ △ABC ∽ △AEB（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明过程如上，△ABC∽△AEB成立。
【知识点】
菱形的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，将特殊四边形的性质与相似三角形的判定相结合，解题的核心是通过菱形的性质完成角的等量代换，同时挖掘图形中的公共角条件，对基础定理的应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.8

7.如图,四边形ABCD是正方形,点G为边CD上一点,连接AG并延长,交BC的延长线于点F,连接BD交AF于点E,连接EC。求证:
(1)$∠DAE=∠DCE$;
(2)$△EGC∽△ECF$。

证明:(1)因为四边形ABCD是正方形，
所以 AD = DC,∠ADE = ∠CDE = 45°,AD // BC。
在△ADE 和△CDE 中，
$\begin{cases} AD=CD ,\\ ∠ADE=∠CDE ,\\ DE=DE ,\end{cases}$
所以△ADE≌△CDE(SAS)。
所以∠DAE=∠DCE。
(2)因为AD//CF，
所以∠DAE=∠F。
所以∠DCE=∠F。
又因为∠CEG=∠FEC，
所以△EGC∽△ECF。

【分析】
(1) 要证明∠DAE=∠DCE，可通过证明两角所在的三角形全等实现。结合正方形的性质，可得AD=CD，对角线BD分得的∠ADE=∠CDE=45°，且DE为两个三角形的公共边，满足SAS全等判定条件，证得△ADE≌△CDE后即可得到对应角相等。
(2) 要证明△EGC∽△ECF，优先考虑两角对应相等的相似判定：首先两个三角形有公共角∠CEG=∠FEC，再结合正方形对边平行的性质得∠DAE=∠F，结合(1)的结论等量代换得到∠DCE=∠F，即可满足两组角对应相等，证得相似。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD = DC$，$∠ADE = ∠CDE = 45°$，$AD // BC$。
在$△ ADE$ 和$△ CDE$ 中：
$\begin{cases} AD=CD ,\\ ∠ADE=∠CDE ,\\ DE=DE ,\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ CDE(\mathrm{SAS})$，
∴$∠DAE=∠DCE$。
(2) 证明：
∵$AD// CF$，
∴$∠DAE=∠F$，
结合(1)的结论可得$∠DCE=∠F$，
又
∵$∠CEG=∠FEC$（公共角），
∴$△ EGC∽△ ECF$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠DAE=∠DCE}$得证；
(2) $\boldsymbol{△EGC∽△ECF}$得证，证明过程如上述解析。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考察基础几何定理的应用，解题关键是熟练运用正方形的特殊边角性质寻找全等、相似的判定条件，同时注意前一问的结论可直接作为后一问的已知条件，简化思考过程。
【难度系数】
0.7