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1.已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为 （）
A.11
B.16
C.17
D.16或17
A.11
B.16
C.17
D.16或17
答案
D
解析
分两种情况讨论：①若等腰三角形的腰长为5，三边长为5、5、6，满足三角形任意两边之和大于第三边的三边关系，此时周长为5+5+6=16；②若等腰三角形的腰长为6，三边长为6、6、5，满足三角形三边关系，此时周长为6+6+5=17。因此该等腰三角形的周长为16或17。
2.已知等腰$△ ABC$的边$BC=8\ \mathrm{cm}$，$AC-BC=2\ \mathrm{cm}$，则$AB$的长为 （）
A.8 cm 或 10 cm
B.10 cm
C.8 cm
D.6 cm 或 10 cm
A.8 cm 或 10 cm
B.10 cm
C.8 cm
D.6 cm 或 10 cm
答案
A
解析
先由已知条件计算AC的长度：
已知$BC=8\ \mathrm{cm}$，$AC-BC=2\ \mathrm{cm}$，因此$AC=8+2=10\ \mathrm{cm}$。
因为$△ ABC$是等腰三角形，分三类讨论：
1. 若腰为$AB=BC$，则$AB=8\ \mathrm{cm}$，此时三边长为$8\ \mathrm{cm}$、$8\ \mathrm{cm}$、$10\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，成立；
2. 若腰为$AB=AC$，则$AB=10\ \mathrm{cm}$，此时三边长为$10\ \mathrm{cm}$、$10\ \mathrm{cm}$、$8\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，成立；
3. 若腰为$AC=BC$，则$10=8$，显然不成立，该情况不存在。
综上，$AB$的长为$8\ \mathrm{cm}$或$10\ \mathrm{cm}$。
已知$BC=8\ \mathrm{cm}$，$AC-BC=2\ \mathrm{cm}$，因此$AC=8+2=10\ \mathrm{cm}$。
因为$△ ABC$是等腰三角形，分三类讨论：
1. 若腰为$AB=BC$，则$AB=8\ \mathrm{cm}$，此时三边长为$8\ \mathrm{cm}$、$8\ \mathrm{cm}$、$10\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，成立；
2. 若腰为$AB=AC$，则$AB=10\ \mathrm{cm}$，此时三边长为$10\ \mathrm{cm}$、$10\ \mathrm{cm}$、$8\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，成立；
3. 若腰为$AC=BC$，则$10=8$，显然不成立，该情况不存在。
综上，$AB$的长为$8\ \mathrm{cm}$或$10\ \mathrm{cm}$。
3.已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有（）
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
C
解析
设等腰△ABC的腰长为x，底边长为y，由周长为13可得：2x + y = 13，且x、y均为正整数。
根据三角形三边关系：两腰之和大于底边，即2x ＞ y，同时底边长y＞0。
将y=13-2x代入2x＞y，得2x＞13-2x，解得x＞3.25；
由y=13-2x＞0，得x＜6.5。
因为x为整数，所以x可取4、5、6，对应的三边长分别为4,4,5、5,5,3、6,6,1，均满足三角形三边关系，符合条件的等腰△ABC共3个。
根据三角形三边关系：两腰之和大于底边，即2x ＞ y，同时底边长y＞0。
将y=13-2x代入2x＞y，得2x＞13-2x，解得x＞3.25；
由y=13-2x＞0，得x＜6.5。
因为x为整数，所以x可取4、5、6，对应的三边长分别为4,4,5、5,5,3、6,6,1，均满足三角形三边关系，符合条件的等腰△ABC共3个。
4.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,若C也是图中的格点,且使得$△ ABC$为等腰三角形,则点C的个数是 （）
A.6
B.7
C.8
D.9
A.6
B.7
C.8
D.9
答案
C
解析
设小正方形的边长为1，由勾股定理得$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，分两类讨论：
1. 当AB为等腰$△ ABC$的底边，即$AC=BC$时，在AB的垂直平分线上找符合要求的格点C，共2个；
2. 当AB为等腰$△ ABC$的腰时：
① 以A为顶角顶点，$AB=AC$，符合条件的格点C共3个；
② 以B为顶角顶点，$BA=BC$，符合条件的格点C共3个。
总计满足条件的点C的个数为$2+3+3=8$。
1. 当AB为等腰$△ ABC$的底边，即$AC=BC$时，在AB的垂直平分线上找符合要求的格点C，共2个；
2. 当AB为等腰$△ ABC$的腰时：
① 以A为顶角顶点，$AB=AC$，符合条件的格点C共3个；
② 以B为顶角顶点，$BA=BC$，符合条件的格点C共3个。
总计满足条件的点C的个数为$2+3+3=8$。
5.已知等腰三角形的三边长分别为$x+2,2x-4,6$，则它的周长为.
答案
解：分三种情况讨论：
1. 当腰长为$x+2$和$2x-4$时，令$x+2=2x-4$，
解得$x=6$，
此时三边长分别为$8,8,6$，满足三角形三边关系，周长为$8+8+6=22$。
2. 当腰长为$x+2$和6时，令$x+2=6$，
解得$x=4$，
此时三边长分别为$6,4,6$，满足三角形三边关系，周长为$6+4+6=16$。
3. 当腰长为$2x-4$和6时，令$2x-4=6$，
解得$x=5$，
此时三边长分别为$7,6,6$，满足三角形三边关系，周长为$7+6+6=19$。
综上，它的周长为$\boldsymbol{16}$或$\boldsymbol{19}$或$\boldsymbol{22}$。
1. 当腰长为$x+2$和$2x-4$时，令$x+2=2x-4$，
解得$x=6$，
此时三边长分别为$8,8,6$，满足三角形三边关系，周长为$8+8+6=22$。
2. 当腰长为$x+2$和6时，令$x+2=6$，
解得$x=4$，
此时三边长分别为$6,4,6$，满足三角形三边关系，周长为$6+4+6=16$。
3. 当腰长为$2x-4$和6时，令$2x-4=6$，
解得$x=5$，
此时三边长分别为$7,6,6$，满足三角形三边关系，周长为$7+6+6=19$。
综上，它的周长为$\boldsymbol{16}$或$\boldsymbol{19}$或$\boldsymbol{22}$。
6.已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°,则△ABC的顶角度数是.
答案
解：分两种情况讨论：
① 若∠A是等腰△ABC的顶角，则顶角度数为40°；
② 若∠A是等腰△ABC的底角，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得顶角度数为$180° - 2×40° = 100°$。
综上，△ABC的顶角度数是$\boldsymbol{40°}$或$\boldsymbol{100°}$。
① 若∠A是等腰△ABC的顶角，则顶角度数为40°；
② 若∠A是等腰△ABC的底角，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得顶角度数为$180° - 2×40° = 100°$。
综上，△ABC的顶角度数是$\boldsymbol{40°}$或$\boldsymbol{100°}$。
7.已知等腰三角形中的一个角的度数是另一个角度数的一半，则该等腰三角形底角的度数是。
答案
解：分两种情况讨论：
① 设等腰三角形的底角为$x$，顶角的度数是底角的2倍，则顶角为$2x$。
由三角形内角和为$180°$，得：
$x + x + 2x = 180°$
解得$x=45°$，此时三个内角分别为$45°$，$45°$，$90°$，符合三角形构成条件。
② 设等腰三角形的顶角为$x$，底角的度数是顶角的2倍，则底角为$2x$。
由三角形内角和为$180°$，得：
$x + 2x + 2x = 180°$
解得$x=36°$，则底角$2x=72°$，此时三个内角分别为$36°$，$72°$，$72°$，符合三角形构成条件。
综上，该等腰三角形底角的度数是$\boldsymbol{45°}$或$\boldsymbol{72°}$。
① 设等腰三角形的底角为$x$，顶角的度数是底角的2倍，则顶角为$2x$。
由三角形内角和为$180°$，得：
$x + x + 2x = 180°$
解得$x=45°$，此时三个内角分别为$45°$，$45°$，$90°$，符合三角形构成条件。
② 设等腰三角形的顶角为$x$，底角的度数是顶角的2倍，则底角为$2x$。
由三角形内角和为$180°$，得：
$x + 2x + 2x = 180°$
解得$x=36°$，则底角$2x=72°$，此时三个内角分别为$36°$，$72°$，$72°$，符合三角形构成条件。
综上，该等腰三角形底角的度数是$\boldsymbol{45°}$或$\boldsymbol{72°}$。
8.在$△ ABC$中，$CA=CB$，$AD$为$△ ABC$的高线，且$∠ CAD=60°$，则$△ ABC$顶角的度数是（）
A.$30°$或$150°$
B.$30°$
C.$60°$或$120°$
D.$120°$
A.$30°$或$150°$
B.$30°$
C.$60°$或$120°$
D.$120°$
答案
A
解析
已知$CA=CB$，可知$△ ABC$的顶角为$∠ C$，$AD$是$△ ABC$的高线，分两种情况讨论：
1. 当高$AD$在$△ ABC$内部时，$∠ ADC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=90°-∠ CAD=90°-60°=30°$；
2. 当高$AD$在$△ ABC$外部时，顶角$∠ C$为钝角，点$D$在$BC$的延长线上，$∠ ADC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ACD=90°-∠ CAD=30°$，因此$∠ ACB=180°-30°=150°$。
综上，$△ ABC$顶角的度数为$30°$或$150°$。
1. 当高$AD$在$△ ABC$内部时，$∠ ADC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=90°-∠ CAD=90°-60°=30°$；
2. 当高$AD$在$△ ABC$外部时，顶角$∠ C$为钝角，点$D$在$BC$的延长线上，$∠ ADC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ACD=90°-∠ CAD=30°$，因此$∠ ACB=180°-30°=150°$。
综上，$△ ABC$顶角的度数为$30°$或$150°$。
