4.如图,直线 AB 和 CD 相交于点 O,OE 把∠AOC 分成两部分,且∠AOE:∠EOC=2:3,
(1)如图 1,若∠BOD=75°,求∠BOE 的度数;
(2)如图 2,若 OF 平分∠BOE ,∠BOF = ∠AOC+12°,求∠EOF 的度数.

(1)$\because ∠ BOD=75°, \therefore ∠ AOC=∠ BOD=75°, ∠ BOC=180°-∠ BOD = 180°-75°=105°, \because ∠ AOE:∠ EOC=2:3, \therefore ∠ COE=\frac{3}{5}∠ AOC=\frac{3}{5}×75°=45°, \therefore ∠ BOE=∠ BOC+∠ COE=105°+45°=150°.$ (2)$\because OF$平分$∠ BOE, \therefore ∠ EOF=∠ BOF=∠ AOC+12°, \therefore ∠ FOC+∠ COE=∠ AOE+∠ COE+12°, \therefore ∠ FOC=∠ AOE+12°$,设$∠ AOE=x°$,则$∠ FOC=(x+12)°, ∠ COE=\frac{3}{2}x°, \because ∠ AOE+∠ EOF+∠ BOF=180°, \therefore x+(x+12+\frac{3}{2}x)×2=180$,解得$x=26, \therefore ∠ EOF=∠ COE+∠ COF=\frac{3}{2}x° +x° +12°=77°.$

5.如图,点 P 在 CD 上,已知$∠BAP+∠APD=180°,∠1=∠2$,试说明:$AE// PF$.

$\because ∠ BAP + ∠ APD=180°, ∠ APC + ∠ APD=180°, \therefore ∠ BAP=∠ APC$,又$∠ 1=∠ 2, \therefore ∠ BAP-∠ 1=∠ APC-∠ 2$,即$∠ EAP=∠ APF, \therefore AE// PF.$

6.将一副三角尺按右图摆放，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F.
(1)求证：$CF // AB$；
(2)求$∠EFC$的度数.

(1)$\because CF$平分$∠ DCE$,且$∠ DCE=90°, \therefore ∠ ECF=45°, \because ∠ BAC=45°, \therefore ∠ BAC=∠ ECF, \therefore CF// AB.$ (2)在$△ FCE$中,$\because ∠ FCE+∠ E+∠ EFC=180°, \therefore ∠ EFC=180°-∠ FCE-∠ E=180°-45°-30°=105°.$

7.如图,直线 $AB,CD$ 相交于点 $O,∠AOD=2∠BOD+60°$.
(1)求$∠BOD$ 的度数;
(2)以 $O$ 为端点引射线 $OE,OF$,射线 $OE$ 平分$∠BOD$,且$∠EOF=90°$,求$∠BOF$ 的度数.

(1)由邻补角互补,得$∠ AOD + ∠ BOD=180°$,又$\because ∠ AOD=2∠ BOD+60°, \therefore 2∠ BOD+60°+∠ BOD=180°$,解得$∠ BOD=40°$; (2)如下图所示,由射线$OE$平分$∠ BOD$,得$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×40°=20°, \therefore ∠ BOF'=∠ EOF'+∠ BOE=90°+20°=110°, ∠ BOF=∠ EOF-∠ BOE=90°-20°=70°, \therefore ∠ BOF$的度数为$110°$或$70°.$