1. 观察下面两位数相乘的算式：
$37×11$，$19×66$，$28×44$，$64×33$.
(1)请再写出一个符合上述特征的算式.
(2)算出题中四个算式的结果，你发现结果有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律.
(3)请你用整式的乘法法则说明这个规律.

1. (1) $46×22$（答案不唯一） (2) $37×11=407$，$19×66=1254$，$28×44=1232$，$64×33=2112$。我发现：两个两位数相乘，若其中一个数的个位数字与十位数字和为10，另一个数的个数数字与十位数字相同，则它们积的前两位数字是数位相同的十位数字与数位和为10的十位数字加1的乘积，后两位数字是这两个数的个位数字的乘积。 (3) 设一个数的十位数字为$a$，则个位数字为$(10 - a)$，另一个数的十位和个位数字都是$b$，则这两个两位数可分别表示为$10a + 10 - a$、$10b + b$，
∴它们的积为$(10a + 10 - a)(10b + b) = (9a + 10)·11b = 99ab + 110b = 100b(a + 1) + b(10 - a)$。

2. 观察下列一组等式：
$(a + 1)(a^{2}-a + 1)=a^{3}+1$；
$(a - 2)(a^{2}+2a + 4)=a^{3}-8$；
$(a + 3)(a^{2}-3a + 9)=a^{3}+27$；
……
(1)通过这些等式，你有何发现？利用你的发现填空.
①$(x - 3)(x^{2}+3x + 9)=$；
②$(2x + 1)$（）$=8x^{3}+1$；
③（）$(x^{2}+xy + y^{2})=x^{3}-y^{3}$.
(2)利用你发现的规律来计算：$(a + b)(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})(a^{2}-ab + b^{2})$.

2. (1) ① $x^{3}-27$ ② $4x^{2}-2x + 1$ ③ $x - y$ (2) 原式$=(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})(a - b)(a^{2}+ab + b^{2}) = (a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3}) = a^{6}-b^{6}$。

3. (1)计算并观察下列各式：
第 1 个：$(a - b)(a + b)=$；
第 2 个：$(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})=$；
第 3 个：$(a - b)(a^{3}+a^{2}b + ab^{2}+b^{3})=$；
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律.
(2)猜想：若$n$为大于 1 的正整数，则$(a - b)(a^{n - 1}+a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^{2}+··· + a^{2}b^{n - 3}+ab^{n - 2}+b^{n - 1})=$.
(3)利用(2)的猜想计算：$2^{n - 1}+2^{n - 2}+2^{n - 3}+··· + 2^{3}+2^{2}+2 + 1=$.
(4)拓展与应用：$3^{n - 1}+3^{n - 2}+3^{n - 3}+··· + 3^{3}+3^{2}+3 + 1=$.

3. (1) $a^{2}-b^{2}$ $a^{3}-b^{3}$ $a^{4}-b^{4}$ (2) $a^{n}-b^{n}$ (3) $2^{n}-1$ 解析：$2^{n - 1}+2^{n - 2}+2^{n - 3}+···+2^{3}+2^{2}+2 + 1 = (2 - 1)(2^{n - 1}+2^{n - 2}+2^{n - 3}+···+2^{3}+2^{2}+2 + 1) = 2^{n}-1^{n}=2^{n}-1$。 (4) $\frac{3^{n}-1}{2}$ 解析：$3^{n - 1}+3^{n - 2}+3^{n - 3}+···+3^{3}+3^{2}+3 + 1 = \frac{1}{2}×(3 - 1)(3^{n - 1}+3^{n - 2}+3^{n - 3}+···+3^{3}+3^{2}+3 + 1) = \frac{1}{2}×(3^{n}-1^{n}) = \frac{3^{n}-1}{2}$。

3. (1) $a^{2}-b^{2}$；$a^{3}-b^{3}$；$a^{4}-b^{4}$
(2) $a^{n}-b^{n}$
(3) $2^{n}-1$
(4) $\frac{3^{n}-1}{2}$