登录
9.李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行进,中途由于自行车发生故障,停下修车耽误了几分钟.为了按时到校,李老师加快了速度,仍保持匀速行进,结果准时到校.在课堂上,李老师请学生画出他行进的路程$y$(单位:km)与行进时间$t$(单位:h)的函数图象的示意图,同学们画出的图象如图所示,你认为正确的是（
C
）答案
9.C
解析
【分析】
要判断正确的路程与时间的函数图象，我们可以分阶段分析李老师的行进过程，对应每个阶段的图象特征逐一筛选选项：首先初始匀速骑行时，路程随时间均匀增加，对应倾斜上升的直线；中途修车时，时间增加但路程不变，对应水平线段；最后加速匀速骑行时，路程再次随时间均匀增加，且速度比初始快，所以这段直线的倾斜程度要比第一段更大。再结合这些特征排除不符合的选项即可。
【解析】
我们分三个阶段分析图象特征：
1. 初始匀速行进阶段：时间$t$增大，路程$y$均匀增大，图象为从原点出发的倾斜上升直线；
2. 中途修车阶段：时间$t$增大，路程$y$保持不变，图象为水平线段；
3. 加速匀速行进阶段：时间$t$增大，路程$y$再次均匀增大，且速度比初始速度大，因此这段直线的倾斜程度（斜率）比第一段更大，直线更陡。
逐一判断选项：
A选项：缺少修车对应的水平线段，不符合实际，错误；
B选项：最后阶段路程随时间减小，不符合行进过程中路程只会增加或不变的规律，错误；
C选项：完全符合三个阶段的图象特征，正确；
D选项：第三段直线倾斜程度比第一段小，说明后期速度比初始速度慢，不符合“加快了速度”的条件，错误。
【答案】
C
【知识点】
函数图象实际应用，一次函数图象，行程问题分析
【点评】
本题是函数图象与实际行程结合的典型题，解题关键是分阶段梳理运动状态和图象特征的对应关系，明确“匀速对应倾斜直线、静止对应水平直线、速度越大直线倾斜程度越大”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断正确的路程与时间的函数图象，我们可以分阶段分析李老师的行进过程，对应每个阶段的图象特征逐一筛选选项：首先初始匀速骑行时，路程随时间均匀增加，对应倾斜上升的直线；中途修车时，时间增加但路程不变，对应水平线段；最后加速匀速骑行时，路程再次随时间均匀增加，且速度比初始快，所以这段直线的倾斜程度要比第一段更大。再结合这些特征排除不符合的选项即可。
【解析】
我们分三个阶段分析图象特征：
1. 初始匀速行进阶段：时间$t$增大，路程$y$均匀增大，图象为从原点出发的倾斜上升直线；
2. 中途修车阶段：时间$t$增大，路程$y$保持不变，图象为水平线段；
3. 加速匀速行进阶段：时间$t$增大，路程$y$再次均匀增大，且速度比初始速度大，因此这段直线的倾斜程度（斜率）比第一段更大，直线更陡。
逐一判断选项：
A选项：缺少修车对应的水平线段，不符合实际，错误；
B选项：最后阶段路程随时间减小，不符合行进过程中路程只会增加或不变的规律，错误；
C选项：完全符合三个阶段的图象特征，正确；
D选项：第三段直线倾斜程度比第一段小，说明后期速度比初始速度慢，不符合“加快了速度”的条件，错误。
【答案】
C
【知识点】
函数图象实际应用，一次函数图象，行程问题分析
【点评】
本题是函数图象与实际行程结合的典型题，解题关键是分阶段梳理运动状态和图象特征的对应关系，明确“匀速对应倾斜直线、静止对应水平直线、速度越大直线倾斜程度越大”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10.一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(2,-1)$和$(0,3)$，那么该一次函数的解析式为（
A.$y=-2x+3$
B.$y=-3x+2$
C.$y=3x-2$
D.$y=\frac{1}{2}x-3$
A
）A.$y=-2x+3$
B.$y=-3x+2$
C.$y=3x-2$
D.$y=\frac{1}{2}x-3$
答案
10.A
解析
【分析】
要求一次函数的解析式，已知解析式形式为$y=kx+b$，其中$k$、$b$是未知常数，我们可以利用待定系数法求解：把已知的两个函数图象经过的点的坐标分别代入解析式，得到关于$k$和$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值，就能确定函数解析式，再对应选项选择即可。
【解析】
已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(2,-1)$和$(0,3)$，将两点坐标分别代入解析式：
1. 把$x=0$，$y=3$代入$y=kx+b$，得：
$3 = k×0 + b$，解得$b=3$；
2. 把$x=2$，$y=-1$，$b=3$代入$y=kx+b$，得：
$-1 = 2k + 3$，
移项得$2k = -1 - 3 = -4$，
解得$k=-2$；
把$k=-2$，$b=3$代入$y=kx+b$，得函数解析式为$y=-2x+3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，解题核心是理解一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式的步骤即可快速求解，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
要求一次函数的解析式，已知解析式形式为$y=kx+b$，其中$k$、$b$是未知常数，我们可以利用待定系数法求解：把已知的两个函数图象经过的点的坐标分别代入解析式，得到关于$k$和$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值，就能确定函数解析式，再对应选项选择即可。
【解析】
已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(2,-1)$和$(0,3)$，将两点坐标分别代入解析式：
1. 把$x=0$，$y=3$代入$y=kx+b$，得：
$3 = k×0 + b$，解得$b=3$；
2. 把$x=2$，$y=-1$，$b=3$代入$y=kx+b$，得：
$-1 = 2k + 3$，
移项得$2k = -1 - 3 = -4$，
解得$k=-2$；
把$k=-2$，$b=3$代入$y=kx+b$，得函数解析式为$y=-2x+3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，解题核心是理解一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式的步骤即可快速求解，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
11.已知自变量为x的函数$y=mx+2-m$是正比例函数，则$m=$
2
.该函数的解析式为$y=2x$
.答案
11.2 $y=2x$
解析
【分析】
解题时首先要回忆正比例函数的定义特征：正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），核心特征是不含常数项，且一次项系数不能为0。因此针对本题的函数$y=mx+2-m$，我们需要先让常数项等于0求出$m$的可能值，再验证一次项系数不为0，确认$m$的取值后，代入原函数就能得到对应的解析式。
【解析】
解：根据正比例函数的定义，可得两个约束条件：
1. 函数无常数项：$2-m=0$，解得$m=2$；
2. 一次项系数不为0：$m≠0$，上述解得的$m=2$满足该条件。
将$m=2$代入原函数，得$y=2x+2-2=2x$。
【答案】
2；$y=2x$
【知识点】
正比例函数的定义、函数解析式的确定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记正比例函数的形式特征，易错点是容易遗漏一次项系数不为0的约束条件，本题中解得的$m$自然满足系数不为0的要求，掌握定义即可轻松求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先要回忆正比例函数的定义特征：正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），核心特征是不含常数项，且一次项系数不能为0。因此针对本题的函数$y=mx+2-m$，我们需要先让常数项等于0求出$m$的可能值，再验证一次项系数不为0，确认$m$的取值后，代入原函数就能得到对应的解析式。
【解析】
解：根据正比例函数的定义，可得两个约束条件：
1. 函数无常数项：$2-m=0$，解得$m=2$；
2. 一次项系数不为0：$m≠0$，上述解得的$m=2$满足该条件。
将$m=2$代入原函数，得$y=2x+2-2=2x$。
【答案】
2；$y=2x$
【知识点】
正比例函数的定义、函数解析式的确定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记正比例函数的形式特征，易错点是容易遗漏一次项系数不为0的约束条件，本题中解得的$m$自然满足系数不为0的要求，掌握定义即可轻松求解。
【难度系数】
0.9
12. 若点(1,3)在正比例函数$y=kx$的图象上，则该函数的解析式为
$y=3x$
.答案
12.$y=3x$
解析
【分析】
要确定正比例函数的解析式，只需求出未知系数k的值即可。解题思路如下：首先明确函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式，因此可以将已知点的横、纵坐标代入解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程求出k的值后，再代回原解析式，就能得到最终的函数表达式。
【解析】
∵点(1,3)在正比例函数$y=kx$的图象上
∴将$x=1$，$y=3$代入$y=kx$，可得：
$3 = k × 1$
解得$k=3$
将$k=3$代入$y=kx$，得函数解析式为$y=3x$
【答案】
$y=3x$
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是正比例函数的基础题型，核心考查待定系数法求函数解析式的应用，只要理解函数图象上的点与解析式的对应关系就能顺利解题，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
要确定正比例函数的解析式，只需求出未知系数k的值即可。解题思路如下：首先明确函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式，因此可以将已知点的横、纵坐标代入解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程求出k的值后，再代回原解析式，就能得到最终的函数表达式。
【解析】
∵点(1,3)在正比例函数$y=kx$的图象上
∴将$x=1$，$y=3$代入$y=kx$，可得：
$3 = k × 1$
解得$k=3$
将$k=3$代入$y=kx$，得函数解析式为$y=3x$
【答案】
$y=3x$
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是正比例函数的基础题型，核心考查待定系数法求函数解析式的应用，只要理解函数图象上的点与解析式的对应关系就能顺利解题，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
13.已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(1,3)$和$B(-1,-1)$，则该函数的解析式为
$y=2x+1$
.答案
13.$y=2x+1$
解析
【分析】
本题要求一次函数的解析式，可采用待定系数法求解。解题思路如下：首先明确一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，已知函数图象经过A、B两个点，将两个点的坐标分别代入$y=kx+b$中，即可得到含有未知数$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$和$b$的值，再代回原式就能得到函数解析式。
【解析】
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(1,3)$和$B(-1,-1)$
∴将两点坐标代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases} k + b = 3 \\ -k + b = -1 \end{cases}$
将两个方程相加，得$2b=2$，解得$b=1$
把$b=1$代入$k + b = 3$，得$k + 1 = 3$，解得$k=2$
将$k=2$，$b=1$代入$y=kx+b$，得函数解析式为$y=2x+1$
【答案】
$y=2x+1$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数部分的基础常考题，核心考查待定系数法的应用，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一特征，正确代入列方程组并求解即可得分。
【难度系数】
0.8
本题要求一次函数的解析式，可采用待定系数法求解。解题思路如下：首先明确一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，已知函数图象经过A、B两个点，将两个点的坐标分别代入$y=kx+b$中，即可得到含有未知数$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$和$b$的值，再代回原式就能得到函数解析式。
【解析】
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(1,3)$和$B(-1,-1)$
∴将两点坐标代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases} k + b = 3 \\ -k + b = -1 \end{cases}$
将两个方程相加，得$2b=2$，解得$b=1$
把$b=1$代入$k + b = 3$，得$k + 1 = 3$，解得$k=2$
将$k=2$，$b=1$代入$y=kx+b$，得函数解析式为$y=2x+1$
【答案】
$y=2x+1$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数部分的基础常考题，核心考查待定系数法的应用，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一特征，正确代入列方程组并求解即可得分。
【难度系数】
0.8
14.解方程$x+2=3x-2$得$x=2$，则当x
$＜2$
时，直线$y=x+2$上的点在直线$y=3x-2$上相应点的上方。答案
14.$＜2$
解析
【分析】
解题时首先要理解一次函数图像上下位置和函数值大小的对应关系：同一横坐标x对应的两个函数值，更大的那个对应的直线位置更高。因此本题可转化为求解不等式$x+2＞3x-2$，也可以结合两条直线的交点横坐标，通过一次函数的增减性直接判断取值范围。
【解析】
直线$y=x+2$上的点在直线$y=3x-2$相应点的上方，即相同x值下，$y=x+2$的函数值大于$y=3x-2$的函数值，据此列不等式：
$x+2 ＞ 3x-2$
解不等式：
移项得：$x-3x ＞ -2-2$
合并同类项得：$-2x ＞ -4$
系数化为1（不等号两边同时除以负数，不等号方向改变）得：$x ＜ 2$
也可结合图像验证：两条直线交点横坐标为2，$y=x+2$的上升速度更慢，因此交点左侧（x＜2时）$y=x+2$图像位置更高。
【答案】
$\boldsymbol{＜2}$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式、一次函数图像性质
【点评】
本题考查一次函数和不等式的关联，解题关键是将图像的上下位置关系转化为函数值的大小关系，既可以通过解不等式求解，也可以结合图像直观判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先要理解一次函数图像上下位置和函数值大小的对应关系：同一横坐标x对应的两个函数值，更大的那个对应的直线位置更高。因此本题可转化为求解不等式$x+2＞3x-2$，也可以结合两条直线的交点横坐标，通过一次函数的增减性直接判断取值范围。
【解析】
直线$y=x+2$上的点在直线$y=3x-2$相应点的上方，即相同x值下，$y=x+2$的函数值大于$y=3x-2$的函数值，据此列不等式：
$x+2 ＞ 3x-2$
解不等式：
移项得：$x-3x ＞ -2-2$
合并同类项得：$-2x ＞ -4$
系数化为1（不等号两边同时除以负数，不等号方向改变）得：$x ＜ 2$
也可结合图像验证：两条直线交点横坐标为2，$y=x+2$的上升速度更慢，因此交点左侧（x＜2时）$y=x+2$图像位置更高。
【答案】
$\boldsymbol{＜2}$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式、一次函数图像性质
【点评】
本题考查一次函数和不等式的关联，解题关键是将图像的上下位置关系转化为函数值的大小关系，既可以通过解不等式求解，也可以结合图像直观判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
15. 已知一次函数 $ y = -x + a $ 与 $ y = x + b $ 的图象相交于点 $ (m, 8) $，则 $ a + b = $
16
。答案
15.16
解析
【分析】
解题的切入点是一次函数图象交点的坐标性质：两个一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式。首先将交点$(m,8)$分别代入两个一次函数的表达式，得到关于$a$、$b$、$m$的两个等式，再观察所求$a+b$的形式，将两个等式相加即可消去未知的$m$，无需单独求解$m$、$a$、$b$的具体值，就能直接求出$a+b$的结果，简化计算过程。
【解析】
$\because$ 点$(m,8)$是一次函数$y=-x+a$与$y=x+b$的图象交点，
$\therefore$ 将$(m,8)$代入$y=-x+a$，可得：$8=-m+a$ ①
将$(m,8)$代入$y=x+b$，可得：$8=m+b$ ②
将①和②的左右两边分别相加，得：
$8+8=(-m+a)+(m+b)$
化简后可得：$16=a+b$
即$a+b=16$
【答案】
$16$
【知识点】
1.一次函数交点的性质
2.等式的性质
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心是理解一次函数交点坐标的含义，解题时无需计算未知参数$m$的取值，通过整体运算即可快速得到结果，侧重考察学生对基础概念的掌握和灵活运算的意识。
【难度系数】
0.8
解题的切入点是一次函数图象交点的坐标性质：两个一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式。首先将交点$(m,8)$分别代入两个一次函数的表达式，得到关于$a$、$b$、$m$的两个等式，再观察所求$a+b$的形式，将两个等式相加即可消去未知的$m$，无需单独求解$m$、$a$、$b$的具体值，就能直接求出$a+b$的结果，简化计算过程。
【解析】
$\because$ 点$(m,8)$是一次函数$y=-x+a$与$y=x+b$的图象交点，
$\therefore$ 将$(m,8)$代入$y=-x+a$，可得：$8=-m+a$ ①
将$(m,8)$代入$y=x+b$，可得：$8=m+b$ ②
将①和②的左右两边分别相加，得：
$8+8=(-m+a)+(m+b)$
化简后可得：$16=a+b$
即$a+b=16$
【答案】
$16$
【知识点】
1.一次函数交点的性质
2.等式的性质
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心是理解一次函数交点坐标的含义，解题时无需计算未知参数$m$的取值，通过整体运算即可快速得到结果，侧重考察学生对基础概念的掌握和灵活运算的意识。
【难度系数】
0.8
16.已知直线$y=2x$与$y=-x+b$的交点为$(1,a)$，则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - y = 0, \\x + y - b = 0\end{cases}$的解是 ______ 。
答案
16.$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先，一次函数图象上的点的坐标满足该函数的解析式，已知交点$(1,a)$在直线$y=2x$上，可先求出$a$的值，得到交点的完整坐标；其次，二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，题中给出的方程组刚好是两条直线解析式移项变形得到的，因此交点坐标就是方程组的解。
【解析】
解：$\because$点$(1,a)$在直线$y=2x$上
$\therefore$将$x=1$代入$y=2x$，得$a=2×1=2$
$\therefore$两直线的交点坐标为$(1,2)$
又$\because$二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 0 \\x + y - b = 0\end{cases}$是由直线$y=2x$和$y=-x+b$的解析式移项整理得到的
$\therefore$该方程组的解就是两直线的交点坐标
即方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程组的联系，解题核心是理解两个一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，熟记相关概念即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，一次函数图象上的点的坐标满足该函数的解析式，已知交点$(1,a)$在直线$y=2x$上，可先求出$a$的值，得到交点的完整坐标；其次，二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，题中给出的方程组刚好是两条直线解析式移项变形得到的，因此交点坐标就是方程组的解。
【解析】
解：$\because$点$(1,a)$在直线$y=2x$上
$\therefore$将$x=1$代入$y=2x$，得$a=2×1=2$
$\therefore$两直线的交点坐标为$(1,2)$
又$\because$二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 0 \\x + y - b = 0\end{cases}$是由直线$y=2x$和$y=-x+b$的解析式移项整理得到的
$\therefore$该方程组的解就是两直线的交点坐标
即方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程组的联系，解题核心是理解两个一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，熟记相关概念即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
17.若直线 $ y = -2x + k $ 与两坐标轴所围成的三角形面积是4，则k的值为
$\pm4$
。答案
17.$\pm4$
解析
【分析】
解题时首先明确直线与两坐标轴围成的是直角三角形，第一步先求直线与x轴、y轴的交点坐标；第二步由于线段长度为非负数，需要用绝对值表示两条直角边的长度；第三步根据三角形面积公式列方程，求解过程中注意k存在正负两种取值，避免漏解。
【解析】
第一步：求直线与坐标轴的交点坐标
当x=0时，y=k，即直线与y轴的交点为$\boldsymbol{(0, k)}$；
当y=0时，代入直线方程得$0=-2x+k$，解得$x=\frac{k}{2}$，即直线与x轴的交点为$\boldsymbol{(\frac{k}{2}, 0)}$。
第二步：用绝对值表示直角边长度
两条直角边的长度分别为竖直方向的$|k|$、水平方向的$|\frac{k}{2}|$。
第三步：根据面积公式列方程求解
已知三角形面积为4，代入面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$得：
$\frac{1}{2}×|k|×|\frac{k}{2}|=4$
化简得$\frac{k^2}{4}=4$，即$k^2=16$，开平方得$k=\pm4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算，绝对值运算
【点评】
本题是一次函数的常规考题，解题核心是掌握一次函数与坐标轴交点的求法，易错点是忽略截距的正负性，未加绝对值导致漏解，做题时要养成求线段长度带绝对值的习惯。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确直线与两坐标轴围成的是直角三角形，第一步先求直线与x轴、y轴的交点坐标；第二步由于线段长度为非负数，需要用绝对值表示两条直角边的长度；第三步根据三角形面积公式列方程，求解过程中注意k存在正负两种取值，避免漏解。
【解析】
第一步：求直线与坐标轴的交点坐标
当x=0时，y=k，即直线与y轴的交点为$\boldsymbol{(0, k)}$；
当y=0时，代入直线方程得$0=-2x+k$，解得$x=\frac{k}{2}$，即直线与x轴的交点为$\boldsymbol{(\frac{k}{2}, 0)}$。
第二步：用绝对值表示直角边长度
两条直角边的长度分别为竖直方向的$|k|$、水平方向的$|\frac{k}{2}|$。
第三步：根据面积公式列方程求解
已知三角形面积为4，代入面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$得：
$\frac{1}{2}×|k|×|\frac{k}{2}|=4$
化简得$\frac{k^2}{4}=4$，即$k^2=16$，开平方得$k=\pm4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算，绝对值运算
【点评】
本题是一次函数的常规考题，解题核心是掌握一次函数与坐标轴交点的求法，易错点是忽略截距的正负性，未加绝对值导致漏解，做题时要养成求线段长度带绝对值的习惯。
【难度系数】
0.7
