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1. 在平面直角坐标系中,坐标为$(a,b)$的点关于$x$轴对称的点的坐标为(
A.$(a,-b)$
B.$(b,a)$
C.$(-a,b)$
D.$(-b,-a)$
A
).A.$(a,-b)$
B.$(b,a)$
C.$(-a,b)$
D.$(-b,-a)$
答案
1. A
解析
【分析】
我们可以结合轴对称的性质推导坐标变化规律：关于x轴对称的两个点，在x轴上的投影是同一个点，因此横坐标保持不变；同时两个点分别位于x轴上下两侧，到x轴的距离相等，因此纵坐标互为相反数。我们将原坐标(a,b)代入这个规律，就能得到对称点的坐标，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：关于x轴对称的点的坐标变化规律为：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数。
已知原点点坐标为$(a,b)$，因此其关于x轴对称的点的横坐标仍为$a$，纵坐标为$b$的相反数$-b$，即对称点坐标为$(a,-b)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础概念题，核心考察平面直角坐标系中点的轴对称坐标变化规律，熟记“关于x轴对称横同纵反，关于y轴对称纵同横反”的口诀即可快速解题，是后续学习函数图像对称性质的基础。
【难度系数】
0.9
我们可以结合轴对称的性质推导坐标变化规律：关于x轴对称的两个点，在x轴上的投影是同一个点，因此横坐标保持不变；同时两个点分别位于x轴上下两侧，到x轴的距离相等，因此纵坐标互为相反数。我们将原坐标(a,b)代入这个规律，就能得到对称点的坐标，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：关于x轴对称的点的坐标变化规律为：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数。
已知原点点坐标为$(a,b)$，因此其关于x轴对称的点的横坐标仍为$a$，纵坐标为$b$的相反数$-b$，即对称点坐标为$(a,-b)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础概念题，核心考察平面直角坐标系中点的轴对称坐标变化规律，熟记“关于x轴对称横同纵反，关于y轴对称纵同横反”的口诀即可快速解题，是后续学习函数图像对称性质的基础。
【难度系数】
0.9
2. 已知不等式$-4x≥ -8$，两边同时除以“$-4$”得（
A.$x≤ 2$
B.$x＜2$
C.$x≤ \dfrac{1}{2}$
D.$x＜\dfrac{1}{2}$
A
）.A.$x≤ 2$
B.$x＜2$
C.$x≤ \dfrac{1}{2}$
D.$x＜\dfrac{1}{2}$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先回忆不等式的基本性质：不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号的方向需要改变。本题要求将不等式$-4x≥ -8$两边同时除以$-4$，第一步先确定除数是负数，所以不等号方向要从"≥"变为"≤"；第二步计算常数项的除法：$-8÷(-4)=2$，结合不等号的变化即可得到结果，再对应选项选出答案。
【解析】
根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向发生改变。
对不等式$-4x≥ -8$两边同时除以$-4$，不等号由"≥"变为"≤"，计算得：
$x≤\frac{-8}{-4}$
即$x≤2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查不等式性质的应用，易错点是在不等式两边除以负数时，容易忘记改变不等号的方向，只要牢记不等式乘除负数时的变号规则，就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆不等式的基本性质：不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号的方向需要改变。本题要求将不等式$-4x≥ -8$两边同时除以$-4$，第一步先确定除数是负数，所以不等号方向要从"≥"变为"≤"；第二步计算常数项的除法：$-8÷(-4)=2$，结合不等号的变化即可得到结果，再对应选项选出答案。
【解析】
根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向发生改变。
对不等式$-4x≥ -8$两边同时除以$-4$，不等号由"≥"变为"≤"，计算得：
$x≤\frac{-8}{-4}$
即$x≤2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查不等式性质的应用，易错点是在不等式两边除以负数时，容易忘记改变不等号的方向，只要牢记不等式乘除负数时的变号规则，就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
3. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成$1:2$两部分,已知这个等腰三角形周长为$36\mathrm{cm}$,则这个等腰三角形的底边为(
A.$4\mathrm{cm}$
B.$10\mathrm{cm}$
C.$20\mathrm{cm}$
D.$4\mathrm{cm}$或$20\mathrm{cm}$
A
).A.$4\mathrm{cm}$
B.$10\mathrm{cm}$
C.$20\mathrm{cm}$
D.$4\mathrm{cm}$或$20\mathrm{cm}$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先明确等腰三角形一腰上的中线将周长分成的两部分分别为“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”，中线长度不计入周长。首先根据总周长和1:2的比例算出两部分周长分别为12cm、24cm，接下来分两种情况讨论：①腰长加半腰长为12cm；②腰长加半腰长为24cm。分别计算腰长和底边长后，必须用三角形三边关系验证结果是否合法，舍去不能构成三角形的情况，最终得到正确底边长。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$2x\ \mathrm{cm}$，底边长为$y\ \mathrm{cm}$，根据题意可得总周长：
$2x+2x+y=36$，即$4x+y=36$。
已知中线分周长为$1:2$两部分，分两种情况讨论：
1. 若$(2x+x):(x+y)=1:2$
化简得$3x:(x+y)=1:2$，交叉相乘得$6x=x+y$，即$y=5x$。
代入$4x+y=36$，得$4x+5x=36$，解得$x=4$。
此时腰长$2x=8\ \mathrm{cm}$，底边长$y=20\ \mathrm{cm}$。
检验三边：$8+8=16＜20$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该情况。
2. 若$(x+y):(2x+x)=1:2$
化简得$(x+y):3x=1:2$，交叉相乘得$2(x+y)=3x$，即$x=2y$。
代入$4x+y=36$，得$8y+y=36$，解得$y=4$。
此时腰长$2x=16\ \mathrm{cm}$，底边长$4\ \mathrm{cm}$。
检验三边：$16+4＞16$，$16+16＞4$，满足三角形三边关系，成立。
综上，底边长为$4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题容易忽略三角形三边关系的检验，直接认为两种情况都成立误选D，解答等腰三角形边长类题目时，计算出结果后必须验证是否满足三边关系，排除不符合要求的情况。
【难度系数】
0.6
解题时先明确等腰三角形一腰上的中线将周长分成的两部分分别为“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”，中线长度不计入周长。首先根据总周长和1:2的比例算出两部分周长分别为12cm、24cm，接下来分两种情况讨论：①腰长加半腰长为12cm；②腰长加半腰长为24cm。分别计算腰长和底边长后，必须用三角形三边关系验证结果是否合法，舍去不能构成三角形的情况，最终得到正确底边长。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$2x\ \mathrm{cm}$，底边长为$y\ \mathrm{cm}$，根据题意可得总周长：
$2x+2x+y=36$，即$4x+y=36$。
已知中线分周长为$1:2$两部分，分两种情况讨论：
1. 若$(2x+x):(x+y)=1:2$
化简得$3x:(x+y)=1:2$，交叉相乘得$6x=x+y$，即$y=5x$。
代入$4x+y=36$，得$4x+5x=36$，解得$x=4$。
此时腰长$2x=8\ \mathrm{cm}$，底边长$y=20\ \mathrm{cm}$。
检验三边：$8+8=16＜20$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该情况。
2. 若$(x+y):(2x+x)=1:2$
化简得$(x+y):3x=1:2$，交叉相乘得$2(x+y)=3x$，即$x=2y$。
代入$4x+y=36$，得$8y+y=36$，解得$y=4$。
此时腰长$2x=16\ \mathrm{cm}$，底边长$4\ \mathrm{cm}$。
检验三边：$16+4＞16$，$16+16＞4$，满足三角形三边关系，成立。
综上，底边长为$4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题容易忽略三角形三边关系的检验，直接认为两种情况都成立误选D，解答等腰三角形边长类题目时，计算出结果后必须验证是否满足三边关系，排除不符合要求的情况。
【难度系数】
0.6
4. 用尺规作图法作$∠ BAC$的平分线$AD$,痕迹如图所示,则此作图的依据是(
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
A
).A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
答案
4. A
解析
【分析】
要确定角平分线尺规作图的依据，首先需梳理作图过程中的等量关系：尺规作角平分线时，先以顶点A为圆心画弧，得到角两边上到A距离相等的两个点；再以这两个点为圆心、相同长度为半径画弧得到交点D，因此这两个点到D的距离也相等；加上公共边AD，即可得到两个三角形三边对应相等，由全等三角形判定定理即可确定作图依据。
【解析】
设以A为圆心的弧交AB于点E，交AC于点F，连接DE、DF。
由尺规作图的操作规则可得：
1. $AE = AF$（同圆的半径相等）；
2. $DE = DF$（作图时所取半径相同，等圆的半径相等）；
3. $AD = AD$（公共边）。
因此$△ AED ≌ △ AFD$（SSS），可得$∠ BAD = ∠ CAD$，即AD为$∠ BAC$的平分线，故作图依据为SSS，选A。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角平分线，全等三角形的判定
【点评】
本题考查尺规作图的原理，解题关键是明确作图过程中得到的边的等量关系，结合全等三角形判定定理推导结论，是对基础作图原理的考查。
【难度系数】
0.8
要确定角平分线尺规作图的依据，首先需梳理作图过程中的等量关系：尺规作角平分线时，先以顶点A为圆心画弧，得到角两边上到A距离相等的两个点；再以这两个点为圆心、相同长度为半径画弧得到交点D，因此这两个点到D的距离也相等；加上公共边AD，即可得到两个三角形三边对应相等，由全等三角形判定定理即可确定作图依据。
【解析】
设以A为圆心的弧交AB于点E，交AC于点F，连接DE、DF。
由尺规作图的操作规则可得：
1. $AE = AF$（同圆的半径相等）；
2. $DE = DF$（作图时所取半径相同，等圆的半径相等）；
3. $AD = AD$（公共边）。
因此$△ AED ≌ △ AFD$（SSS），可得$∠ BAD = ∠ CAD$，即AD为$∠ BAC$的平分线，故作图依据为SSS，选A。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角平分线，全等三角形的判定
【点评】
本题考查尺规作图的原理，解题关键是明确作图过程中得到的边的等量关系，结合全等三角形判定定理推导结论，是对基础作图原理的考查。
【难度系数】
0.8
5. 若函数$y=2x+b$（$b$为常数）的图象经过点$A(0,-2)$，则$b=$______.
答案
5. -2
解析
【分析】
已知一次函数的解析式，且函数图象经过点A，根据“函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式”这一性质，我们可以把点A的横、纵坐标代入函数解析式，得到只含参数b的一元一次方程，解方程就能求出b的值。
【解析】
∵函数$y=2x+b$的图象经过点$A(0,-2)$
∴将$x=0$，$y=-2$代入$y=2x+b$中，可得：
$-2=2×0 + b$
计算后解得：$b=-2$
【答案】
-2
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 代入法求函数参数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象与点坐标的对应关系，解题思路简单直接，计算量极小，掌握点和函数图象的对应关系即可快速得分。
【难度系数】
0.9
已知一次函数的解析式，且函数图象经过点A，根据“函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式”这一性质，我们可以把点A的横、纵坐标代入函数解析式，得到只含参数b的一元一次方程，解方程就能求出b的值。
【解析】
∵函数$y=2x+b$的图象经过点$A(0,-2)$
∴将$x=0$，$y=-2$代入$y=2x+b$中，可得：
$-2=2×0 + b$
计算后解得：$b=-2$
【答案】
-2
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 代入法求函数参数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象与点坐标的对应关系，解题思路简单直接，计算量极小，掌握点和函数图象的对应关系即可快速得分。
【难度系数】
0.9
6. 如图，$△ ABC$三个顶点的坐标分别为$A(1,1),B(4,2),C(3,4)$。
（1）作出将$△ ABC$先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后的图形$△ A_1B_1C_1$，并写出$△ A_1B_1C_1$三个顶点的坐标。
（2）作出$△ ABC$关于$x$轴对称的图形$△ A_2B_2C_2$。
（3）求$△ ABC$的面积，并求出$AC$边上高的长。
（1）作出将$△ ABC$先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后的图形$△ A_1B_1C_1$，并写出$△ A_1B_1C_1$三个顶点的坐标。
（2）作出$△ ABC$关于$x$轴对称的图形$△ A_2B_2C_2$。
（3）求$△ ABC$的面积，并求出$AC$边上高的长。
答案
6. (1) 画图略，$A_1(-3,2),B_1(0,3),C_1(-1,5)$ (2) 略
(3) $S_{△ ABC}=\dfrac{7}{2}$,$AC$边长的高长$\dfrac{7}{13}\sqrt{13}$
(3) $S_{△ ABC}=\dfrac{7}{2}$,$AC$边长的高长$\dfrac{7}{13}\sqrt{13}$
解析
【分析】
（1）解决平移作图问题，需掌握点的平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减。将A、B、C三点的横坐标减4、纵坐标加1，即可得到平移后对应点的坐标，顺次连接三点就能得到平移后的图形。
（2）关于x轴对称的点的坐标特征为横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此求出三个顶点的对称点坐标，顺次连接即可得到对称图形。
（3）网格中三角形面积可用割补法求解：用包围三角形的矩形面积减去周围多余直角三角形的面积；再用勾股定理求出AC的长度，最后根据三角形面积公式反推求出AC边上的高。
【解析】
（1）根据平移规律：向左平移4个单位横坐标减4，向上平移1个单位纵坐标加1：
$A_1$坐标：$1-4=-3$，$1+1=2$，即$(-3,2)$
$B_1$坐标：$4-4=0$，$2+1=3$，即$(0,3)$
$C_1$坐标：$3-4=-1$，$4+1=5$，即$(-1,5)$
描出三点并顺次连接，得到$△ A_1B_1C_1$。
（2）根据x轴对称的坐标特征：横坐标不变，纵坐标取相反数，得$A_2(1,-1)$，$B_2(4,-2)$，$C_2(3,-4)$，描出三点并顺次连接，得到$△ A_2B_2C_2$。
（3）①求$△ ABC$的面积：
取包围$△ ABC$的矩形，横向范围$x=1$到$x=4$，纵向范围$y=1$到$y=4$，矩形面积为$(4-1)×(4-1)=9$。
减去三个多余直角三角形的面积：
$\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×2×3=3$
故$S_{△ ABC}=9-\frac{3}{2}-1-3=\frac{7}{2}$。
②求AC边上的高：
由勾股定理得$AC=\sqrt{(3-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$。
设AC边上的高为$h$，由$S=\frac{1}{2}× AC× h$，代入得：
$\frac{7}{2}=\frac{1}{2}×\sqrt{13}× h$，解得$h=\frac{7}{\sqrt{13}}=\frac{7\sqrt{13}}{13}$。
【答案】
(1) 画图略，$A_1(-3,2),B_1(0,3),C_1(-1,5)$
(2) 画图略
(3) $S_{△ ABC}=\dfrac{7}{2}$，$AC$边上的高长为$\dfrac{7\sqrt{13}}{13}$
【知识点】
坐标平移规律；轴对称的坐标特征；割补法求面积
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，考查了图形变换的坐标规律和三角形相关计算，解题关键是熟练掌握坐标变化规则，灵活运用割补法和面积法求解，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）解决平移作图问题，需掌握点的平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减。将A、B、C三点的横坐标减4、纵坐标加1，即可得到平移后对应点的坐标，顺次连接三点就能得到平移后的图形。
（2）关于x轴对称的点的坐标特征为横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此求出三个顶点的对称点坐标，顺次连接即可得到对称图形。
（3）网格中三角形面积可用割补法求解：用包围三角形的矩形面积减去周围多余直角三角形的面积；再用勾股定理求出AC的长度，最后根据三角形面积公式反推求出AC边上的高。
【解析】
（1）根据平移规律：向左平移4个单位横坐标减4，向上平移1个单位纵坐标加1：
$A_1$坐标：$1-4=-3$，$1+1=2$，即$(-3,2)$
$B_1$坐标：$4-4=0$，$2+1=3$，即$(0,3)$
$C_1$坐标：$3-4=-1$，$4+1=5$，即$(-1,5)$
描出三点并顺次连接，得到$△ A_1B_1C_1$。
（2）根据x轴对称的坐标特征：横坐标不变，纵坐标取相反数，得$A_2(1,-1)$，$B_2(4,-2)$，$C_2(3,-4)$，描出三点并顺次连接，得到$△ A_2B_2C_2$。
（3）①求$△ ABC$的面积：
取包围$△ ABC$的矩形，横向范围$x=1$到$x=4$，纵向范围$y=1$到$y=4$，矩形面积为$(4-1)×(4-1)=9$。
减去三个多余直角三角形的面积：
$\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×2×3=3$
故$S_{△ ABC}=9-\frac{3}{2}-1-3=\frac{7}{2}$。
②求AC边上的高：
由勾股定理得$AC=\sqrt{(3-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$。
设AC边上的高为$h$，由$S=\frac{1}{2}× AC× h$，代入得：
$\frac{7}{2}=\frac{1}{2}×\sqrt{13}× h$，解得$h=\frac{7}{\sqrt{13}}=\frac{7\sqrt{13}}{13}$。
【答案】
(1) 画图略，$A_1(-3,2),B_1(0,3),C_1(-1,5)$
(2) 画图略
(3) $S_{△ ABC}=\dfrac{7}{2}$，$AC$边上的高长为$\dfrac{7\sqrt{13}}{13}$
【知识点】
坐标平移规律；轴对称的坐标特征；割补法求面积
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，考查了图形变换的坐标规律和三角形相关计算，解题关键是熟练掌握坐标变化规则，灵活运用割补法和面积法求解，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
