登录
6. 已知A,B两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车行驶的时间x(时)之间的函数关系式如图所示.
(1) 乙车的速度为
(2) 求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式.
(3) 当甲车到距B地70千米处时,求甲、乙之间的路程.
(1) 乙车的速度为
75
千米/时,$a=$3.6
,$b=$4.5
.(2) 求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式.
(3) 当甲车到距B地70千米处时,求甲、乙之间的路程.
答案
6. (1) 75 3.6 4.5
(2) $y=\begin{cases}135x-270(2＜x≤3.6), \\ 60x(3.6＜x≤4.5)\end{cases}$
(3) 180km
(2) $y=\begin{cases}135x-270(2＜x≤3.6), \\ 60x(3.6＜x≤4.5)\end{cases}$
(3) 180km
解析
【分析】
(1) 观察图像可知x=2时两车相遇，先根据“速度和=总路程÷相遇时间”算出甲乙速度和，减去甲的速度即可得乙的速度；a是乙走完全程的时间，用总路程除以乙的速度计算；b是甲走完全程的时间，用总路程除以甲的速度计算。
(2) 相遇后分两段讨论：①2＜x≤3.6时，两车均未到达目的地，背向行驶，相距路程等于速度和乘相遇后行驶的时间；②3.6＜x≤4.5时，乙已到达A地停止，相距路程等于甲行驶的路程，分别写出两段函数表达式即可。
(3) 先算出甲车距B地70km时的行驶时间，判断所属分段后代入对应函数式，即可求出两车距离。
【解析】
(1) 两车2小时相遇，速度和为$270÷2=135\ \mathrm{km/h}$，则乙车速度为$135-60=75\ \mathrm{km/h}$；
乙走完全程的时间$a=270÷75=3.6\ \mathrm{h}$；
甲走完全程的时间$b=270÷60=4.5\ \mathrm{h}$。
(2) 分两种情况：
① 当$2＜x≤3.6$时，两车均在行驶，$y=(60+75)(x-2)=135x-270$；
② 当$3.6＜x≤4.5$时，乙车已到达A地停止，两车距离等于甲车行驶的路程，$y=60x$。
综上，函数关系式为$\begin{cases}135x-270(2＜x≤3.6) \\ 60x(3.6＜x≤4.5)\end{cases}$。
(3) 甲车距B地70km时，甲车行驶的路程为$270-70=200\ \mathrm{km}$，行驶时间$x=200÷60=\frac{10}{3}\ \mathrm{h}$，
因为$2＜\frac{10}{3}＜3.6$，代入$y=135x-270$得：
$y=135×\frac{10}{3}-270=180\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) $\boxed{75}$；$\boxed{3.6}$；$\boxed{4.5}$
(2) $\boxed{y=\begin{cases}135x-270(2＜x≤3.6) \\ 60x(3.6＜x≤4.5)\end{cases}}$
(3) $\boxed{180\mathrm{km}}$
【知识点】
一次函数的实际应用；行程问题；分段函数
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂函数图像各段的实际意义，明确不同时间段内两车的行驶状态，结合路程、速度、时间的关系求解，注意分段函数要准确界定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.65
(1) 观察图像可知x=2时两车相遇，先根据“速度和=总路程÷相遇时间”算出甲乙速度和，减去甲的速度即可得乙的速度；a是乙走完全程的时间，用总路程除以乙的速度计算；b是甲走完全程的时间，用总路程除以甲的速度计算。
(2) 相遇后分两段讨论：①2＜x≤3.6时，两车均未到达目的地，背向行驶，相距路程等于速度和乘相遇后行驶的时间；②3.6＜x≤4.5时，乙已到达A地停止，相距路程等于甲行驶的路程，分别写出两段函数表达式即可。
(3) 先算出甲车距B地70km时的行驶时间，判断所属分段后代入对应函数式，即可求出两车距离。
【解析】
(1) 两车2小时相遇，速度和为$270÷2=135\ \mathrm{km/h}$，则乙车速度为$135-60=75\ \mathrm{km/h}$；
乙走完全程的时间$a=270÷75=3.6\ \mathrm{h}$；
甲走完全程的时间$b=270÷60=4.5\ \mathrm{h}$。
(2) 分两种情况：
① 当$2＜x≤3.6$时，两车均在行驶，$y=(60+75)(x-2)=135x-270$；
② 当$3.6＜x≤4.5$时，乙车已到达A地停止，两车距离等于甲车行驶的路程，$y=60x$。
综上，函数关系式为$\begin{cases}135x-270(2＜x≤3.6) \\ 60x(3.6＜x≤4.5)\end{cases}$。
(3) 甲车距B地70km时，甲车行驶的路程为$270-70=200\ \mathrm{km}$，行驶时间$x=200÷60=\frac{10}{3}\ \mathrm{h}$，
因为$2＜\frac{10}{3}＜3.6$，代入$y=135x-270$得：
$y=135×\frac{10}{3}-270=180\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) $\boxed{75}$；$\boxed{3.6}$；$\boxed{4.5}$
(2) $\boxed{y=\begin{cases}135x-270(2＜x≤3.6) \\ 60x(3.6＜x≤4.5)\end{cases}}$
(3) $\boxed{180\mathrm{km}}$
【知识点】
一次函数的实际应用；行程问题；分段函数
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂函数图像各段的实际意义，明确不同时间段内两车的行驶状态，结合路程、速度、时间的关系求解，注意分段函数要准确界定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.65
7. 在平面直角坐标系中,直线 $l_1:y=-\dfrac{1}{2}x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,直线 $l_2:y=kx+2k$ 与 $x$ 轴交于点 $C$,与直线 $l_1$ 交于点 $P$.
(1) 当 $k=1$ 时,求点 $P$ 的坐标.
(2) 如图,$D$ 为 $PA$ 的中点,过点 $D$ 作 $DE ⊥ x$ 轴于点 $E$,交直线 $l_2$ 于点 $F$.若 $DF=2DE$,求 $k$ 的值.
(1) 当 $k=1$ 时,求点 $P$ 的坐标.
(2) 如图,$D$ 为 $PA$ 的中点,过点 $D$ 作 $DE ⊥ x$ 轴于点 $E$,交直线 $l_2$ 于点 $F$.若 $DF=2DE$,求 $k$ 的值.
答案
7. (1) $P(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3})$ (2) $k=\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
(1) 两条直线的交点坐标同时满足两条直线的解析式，因此求交点只需联立两个解析式解二元一次方程组即可。当k=1时先写出l₂的解析式，再与l₁的解析式联立求解就能得到P点坐标。
(2) 先求出直线l₁与x轴交点A的坐标，再联立l₁和l₂的解析式，用含k的代数式表示交点P的坐标；根据中点坐标公式得到PA中点D的坐标，由于DE⊥x轴，DE的长度等于D点的纵坐标；F点与D点横坐标相同，代入l₂的解析式得到F点纵坐标，结合图像判断F在D上方，故DF长度为F与D的纵坐标差，根据DF=2DE列方程求解，最后舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 当k=1时，直线l₂的解析式为$y=x+2$
联立l₁和l₂的解析式得：
$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x+3\\y=x+2\end{cases}$
将第二个式子代入第一个式子：$x+2=-\dfrac{1}{2}x+3$
移项整理得：$\dfrac{3}{2}x=1$，解得$x=\dfrac{2}{3}$
把$x=\dfrac{2}{3}$代入$y=x+2$得$y=\dfrac{2}{3}+2=\dfrac{8}{3}$
故P点坐标为$(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3})$。
(2) 先求点A坐标：对于直线$l_1:y=-\dfrac{1}{2}x+3$，令y=0，得$-\dfrac{1}{2}x+3=0$，解得x=6，即$A(6,0)$。
联立l₁和l₂的解析式：
$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x+3\\y=kx+2k\end{cases}$
消去y得：$-\dfrac{1}{2}x+3=kx+2k$，整理得$x=\dfrac{6-4k}{2k+1}$
代入l₁解析式得$y_P=\dfrac{8k}{2k+1}$，即$P(\dfrac{6-4k}{2k+1},\dfrac{8k}{2k+1})$
∵D是PA的中点，由中点坐标公式得：
$x_D=\dfrac{\dfrac{6-4k}{2k+1}+6}{2}=\dfrac{4k+6}{2k+1}$，$y_D=\dfrac{\dfrac{8k}{2k+1}+0}{2}=\dfrac{4k}{2k+1}$
∵DE⊥x轴，
∴DE的长度为$y_D=\dfrac{4k}{2k+1}$，且F点横坐标与D相同。
将$x_D=\dfrac{4k+6}{2k+1}$代入l₂解析式，得F点纵坐标：
$y_F=k·\dfrac{4k+6}{2k+1}+2k=\dfrac{8k^2+8k}{2k+1}$
由图可知F在D上方，故$DF=y_F-y_D=\dfrac{8k^2+8k}{2k+1}-\dfrac{4k}{2k+1}=\dfrac{8k^2+4k}{2k+1}$
根据DF=2DE列方程：
$\dfrac{8k^2+4k}{2k+1}=2×\dfrac{4k}{2k+1}$
两边同乘$2k+1$（$2k+1≠0$）得：$8k^2+4k=8k$
整理得$4k(2k-1)=0$，解得$k=0$或$k=\dfrac{1}{2}$
当k=0时，l₂为y=0（即x轴），与l₁仅交于点A，不符合题意，舍去。
故$k=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $P(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3})$；(2) $k=\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一次函数交点求解；中点坐标公式；坐标与线段长度转化
【点评】
本题是一次函数综合题，考察一次函数的基本性质与方程的结合应用，解题关键是学会用参数表示点的坐标，再根据线段的等量关系列方程求解，注意要结合题意舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
(1) 两条直线的交点坐标同时满足两条直线的解析式，因此求交点只需联立两个解析式解二元一次方程组即可。当k=1时先写出l₂的解析式，再与l₁的解析式联立求解就能得到P点坐标。
(2) 先求出直线l₁与x轴交点A的坐标，再联立l₁和l₂的解析式，用含k的代数式表示交点P的坐标；根据中点坐标公式得到PA中点D的坐标，由于DE⊥x轴，DE的长度等于D点的纵坐标；F点与D点横坐标相同，代入l₂的解析式得到F点纵坐标，结合图像判断F在D上方，故DF长度为F与D的纵坐标差，根据DF=2DE列方程求解，最后舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 当k=1时，直线l₂的解析式为$y=x+2$
联立l₁和l₂的解析式得：
$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x+3\\y=x+2\end{cases}$
将第二个式子代入第一个式子：$x+2=-\dfrac{1}{2}x+3$
移项整理得：$\dfrac{3}{2}x=1$，解得$x=\dfrac{2}{3}$
把$x=\dfrac{2}{3}$代入$y=x+2$得$y=\dfrac{2}{3}+2=\dfrac{8}{3}$
故P点坐标为$(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3})$。
(2) 先求点A坐标：对于直线$l_1:y=-\dfrac{1}{2}x+3$，令y=0，得$-\dfrac{1}{2}x+3=0$，解得x=6，即$A(6,0)$。
联立l₁和l₂的解析式：
$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x+3\\y=kx+2k\end{cases}$
消去y得：$-\dfrac{1}{2}x+3=kx+2k$，整理得$x=\dfrac{6-4k}{2k+1}$
代入l₁解析式得$y_P=\dfrac{8k}{2k+1}$，即$P(\dfrac{6-4k}{2k+1},\dfrac{8k}{2k+1})$
∵D是PA的中点，由中点坐标公式得：
$x_D=\dfrac{\dfrac{6-4k}{2k+1}+6}{2}=\dfrac{4k+6}{2k+1}$，$y_D=\dfrac{\dfrac{8k}{2k+1}+0}{2}=\dfrac{4k}{2k+1}$
∵DE⊥x轴，
∴DE的长度为$y_D=\dfrac{4k}{2k+1}$，且F点横坐标与D相同。
将$x_D=\dfrac{4k+6}{2k+1}$代入l₂解析式，得F点纵坐标：
$y_F=k·\dfrac{4k+6}{2k+1}+2k=\dfrac{8k^2+8k}{2k+1}$
由图可知F在D上方，故$DF=y_F-y_D=\dfrac{8k^2+8k}{2k+1}-\dfrac{4k}{2k+1}=\dfrac{8k^2+4k}{2k+1}$
根据DF=2DE列方程：
$\dfrac{8k^2+4k}{2k+1}=2×\dfrac{4k}{2k+1}$
两边同乘$2k+1$（$2k+1≠0$）得：$8k^2+4k=8k$
整理得$4k(2k-1)=0$，解得$k=0$或$k=\dfrac{1}{2}$
当k=0时，l₂为y=0（即x轴），与l₁仅交于点A，不符合题意，舍去。
故$k=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $P(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3})$；(2) $k=\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一次函数交点求解；中点坐标公式；坐标与线段长度转化
【点评】
本题是一次函数综合题，考察一次函数的基本性质与方程的结合应用，解题关键是学会用参数表示点的坐标，再根据线段的等量关系列方程求解，注意要结合题意舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
