10.王老师在黑板上写了7个自然数，让小杰算这几个数的平均数（得数保留两位小数），小杰算出的答案是30.23，王老师说：“得数的最后一个数字错了，其他数字都是对的.”那么正确的得数应该是 （）

A.30.22
B.30.29
C.30.27
D.无法确定

10.B

【分析】
解题的核心是抓住7个自然数的和为整数这一隐含条件。首先根据“得数最后一位错，其他数字都对”，确定正确平均数的取值范围在30.20到30.29之间，再通过平均数乘数量等于总和，算出总和的取值范围，从范围内找到唯一的整数就是7个自然数的正确总和，最后用总和除以7算出保留两位小数的正确平均数即可。
【解析】
解：已知小杰算出的平均数仅最后一位数字错误，因此正确的平均数$a$满足：
$30.20 ≤ a ＜ 30.30$
设7个自然数的和为$S$，则$S=7a$，且$S$为正整数。将不等式两边同时乘7，可得：
$30.20×7 ≤ 7a ＜ 30.30×7$
计算得：$211.4 ≤ S ＜ 212.1$
因为$S$是整数，所以$S=212$
则正确的平均数为：$212÷7\approx30.29$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
近似值取值范围，平均数计算，自然数的性质
【点评】
本题解题的关键是挖掘出“自然数的和为整数”的隐含条件，结合近似值的范围确定总和的唯一取值，考察了对近似值概念的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

11.一个两位小数,用四舍五入法精确到整数是3,这个数最大是,最小是.

11. 3.49 2.50

【分析】
要解决这个问题，需结合四舍五入法取近似数的规则分两种情况讨论：①“四舍”得到近似数3时，原数比3大，此时要找最大的两位小数；②“五入”得到近似数3时，原数比3小，此时要找最小的两位小数。精确到整数时只需看十分位的数字，再结合两位小数的要求确定百分位的取值即可。
【解析】
一个两位小数用四舍五入法精确到整数是3，分两种情况分析：
1. 若为“四舍”得到3：此时该两位小数的整数部分为3，十分位上的数需小于5（舍去十分位及后面的数不进位），要使这个数最大，十分位取最大的符合要求的数4，百分位取最大的一位数9，因此这个数最大是3.49；
2. 若为“五入”得到3：此时该两位小数的整数部分为2，十分位上的数需大于或等于5（向整数位进1得到3），要使这个数最小，十分位取最小的符合要求的数5，百分位取最小的数0，因此这个数最小是2.50。
【答案】
3.49；2.50
【知识点】
四舍五入法；小数的近似数
【点评】
本题考查四舍五入法取近似数的逆向应用，解题关键是分“四舍”“五入”两类情况讨论，易错点是忽略题目中“两位小数”的限定，误将结果写为一位小数。
【难度系数】
0.7

12.对非负实数$x$四舍五入到个位的值记为$(x)$，即当$n$为非负整数时，若$n-0.5≤ x ＜ n+0.5$，则$(x)=n$。如$(1.34)=1$，$(4.86)=5$。若$(0.5x - 1)=7$，则实数$x$的取值范围为________。

12.$15≤x＜17$

【分析】
首先明确题目给出的新定义：若$(x)=n$（$n$为非负整数），则$n-0.5≤ x ＜n+0.5$。本题已知$(0.5x-1)=7$，我们可以把$0.5x-1$看作新定义中的$x$，对应$n=7$，先根据新定义列出关于$0.5x-1$的不等式组，再解不等式组即可求出$x$的取值范围。
【解析】
根据题意，四舍五入到个位的规则为：当$n$为非负整数时，若$n-0.5≤ x ＜n+0.5$，则$(x)=n$。
已知$(0.5x - 1)=7$，将$0.5x-1$代入上述规则，$n=7$，可得不等式组：
$7 - 0.5 ≤ 0.5x - 1 ＜ 7 + 0.5$
化简得：
$6.5 ≤ 0.5x - 1 ＜ 7.5$
不等式三边同时加1，得：
$7.5 ≤ 0.5x ＜ 8.5$
不等式三边同时乘2，不等号方向不变，得：
$15 ≤ x ＜ 17$
【答案】
$15≤ x＜17$
【知识点】
新定义运算、一元一次不等式组求解、近似值定义
【点评】
本题核心是考查对新定义规则的理解和转化能力，解题的关键是将新定义的四舍五入规则转化为对应的不等式关系，求解过程中要注意不等号的方向和边界值的取舍，避免因边界判断错误失分。
【难度系数】
0.7

13.某届博览会参加会展的国家、地区和国际组织从前一届的130个增加到180个，此次博览会交易采购成果丰硕，按一年计，累计意向成交约711.3亿美元，比前一届增长23%."根据以上资料计算：
(1)参加本届博览会的国家、地区和国际组织的数量与前一届相比增加了百分之多少？（精确到0.1%）
(2)前一届博览会的累计意向成交额约多少亿美元？（保留一位小数）

13.解:(1)$\frac{180-130}{130}×100\%≈38.5\%$.
答:与前一届相比增加了38.5%.
(2)$711.3÷(1+23\%)≈578.3$(亿美元).
答:前一届博览会的累计意向成交额约578.3亿美元.

【分析】
（1）本题是求增长率的问题，核心公式为：增长率=（现期量-基期量）÷基期量×100%。首先明确本届数量是现期量180个，前一届数量是基期量130个，先算出增长的数量，再除以基期量，最后按要求精确到0.1%即可。
（2）已知本届成交额和增长率，求前一届成交额，此时前一届成交额为单位“1”，本届成交额是前一届的(1+23%)，已知对应量求单位“1”用除法计算，最后按要求保留一位小数。
【解析】
(1) 先计算较前一届增加的数量：$180-130=50$（个）
根据增长率公式计算：
$\frac{180-130}{130}×100\%=\frac{50}{130}×100\%\approx38.5\%$
答：参加本届博览会的国家、地区和国际组织的数量与前一届相比增加了38.5%。
(2) 本届成交额是前一届的$(1+23\%)$，因此前一届成交额为：
$711.3÷(1+23\%)=711.3÷1.23≈578.3$（亿美元）
答：前一届博览会的累计意向成交额约578.3亿美元。
【答案】
(1) 38.5%；(2) 578.3亿美元
【知识点】
1. 增长率计算 2. 百分数实际应用 3. 近似数取值
【点评】
本题结合真实会展场景考查百分数的实际应用，解题关键是找准单位“1”，明确增长率和基期量的计算逻辑，同时要严格按照题目要求的精确度保留结果，避免因选错运算方法或取值不规范失分。
【难度系数】
0.7

14.阅读下列材料：
(1)学校组织同学们去参观博物馆，一位解说员指着一块化石说：“这块化石距今已有 700003年了.”小明问：“为什么您知道得这么准确呢?”解说员说：“因为 3 年前，一位学者来我们这里，并考察了这块化石，说它距当时已有 70 万年了，因此，3 年后就应该是 700003 年啦!”
(2)小刚和小军在一个问题上发生了争执.小刚说：“6845 精确到百位应该是 $ 6.8× 10^{3} $.”而小军却说：“6845 先精确到十位是 $ 6.85× 10^{3} $，再精确到百位，应该是 $ 6.9× 10^{3} $.”
请你用所学的知识分别对(1),(2)这两段对话进行正确的评价.

14.解:(1)解说员的话比较片面,因为70万年这个说法本身就是一个近似数.
(2)小军的说法错误.6845精确到十位时已经改变了原来的数据,不能用精确过的数据再精确到百位,应像小刚那样直接由原数精确到百位.

【分析】
解题时需结合近似数的相关知识分别分析两个场景：①针对场景(1)，首先要明确近似数的属性：近似值本身存在误差，不是精确值，不能直接进行精确的加减运算推导精确结果，由此判断解说员的说法正误；②针对场景(2)，回忆取近似数的规则：要将一个数精确到某一数位时，需直接对原数该数位的下一位进行四舍五入，不可先精确到更低数位后再向高位精确，否则会累积误差，由此判断两人说法的正误。
【解析】
(1) 解说员的说法错误。3年前学者给出的“70万年”是估算得到的近似数，本身存在误差范围，并不是精确到个位的700000年，因此不能直接在70万的基础上加3年得到“700003年”，这种推导不符合近似数的应用逻辑。
(2) 小军说法错误，小刚说法正确。取近似数时需直接对原数指定数位的下一位四舍五入，6845精确到百位时，直接看十位数字4，四舍后得到$6.8×10^3$。若先精确到十位得到$6.85×10^3$，已经改变了原数的大小，再精确到百位会造成误差累积，得到的结果是错误的，因此不能采用多次递进精确的方式取近似数。
【答案】
(1)解说员的话比较片面,因为70万年这个说法本身就是一个近似数.
(2)小军的说法错误.6845精确到十位时已经改变了原来的数据,不能用精确过的数据再精确到百位,应像小刚那样直接由原数精确到百位.
【知识点】
近似数的概念；近似数的取法
【点评】
本题结合生活实际场景考查近似数的相关应用，能帮助学生辨析近似数和精确数的差异，掌握取近似数的正确规则，避免实际应用中出现逻辑错误。
【难度系数】
0.7

15. 我们把用“四舍五入”法对非负有理数 $ x $ 精确到个位的值记为 $\{x\}$. 如 $\{0\} = \{0.48\} = 0$，$\{0.64\} = \{1.493\} = 1$，$\{2\} = 2$，$\{2.5\} = \{3.12\} = 3$，$···$.
(1)填空:
①若 $\{x\} = 6$ 且 $ x $ 为一位小数,则 $ x $ 的取值范围是 ______;
②若 $\{x\} = \frac{4}{3}x$,则 $ x $ 的值是 ______.
(2)若 $ m $ 为正整数,求证: $\{x + m\} = \{x\} + m$.

15.(1)①$5.5≤x＜6.5$ ②0或$\frac{3}{4}$或$\frac{3}{2}$
(2)证明:设$x=n+a$,其中$n$为$x$的整数部分($n$为非负整数),$a$为$x$的小数部分($0≤a＜1$).
分两种情况:
①当$0≤a＜\frac{1}{2}$时,$\{x\}=n$.
$\because x+m=(n+m)+a$,这时$n+m$为$x+m$的整数部分,
$a$为$x+m$的小数部分,
$\therefore \{x+m\}=n+m$.
又$\{x\}+m=n+m$,$\therefore \{x+m\}=\{x\}+m$.
②当$\frac{1}{2}≤a＜1$时,$\{x\}=n+1$.
$\because x+m=(n+m)+a$,这时$n+m$为$x+m$的整数部分,
$a$为$x+m$的小数部分,
$\therefore \{x+m\}=n+m+1$.
又$\{x\}+m=n+1+m=n+m+1$,$\therefore \{x+m\}=\{x\}+m$.
综上所述,$\{x+m\}=\{x\}+m$.

【分析】
这是一道新定义类题型，核心是理解“$\{x\}$表示将$x$四舍五入到个位的结果”这一规则，解题思路如下：
(1)① 要找$\{x\}=6$的一位小数$x$的范围，结合四舍五入规则：若精确到个位得6，“五入”得到6的最小值是5.5，“四舍”得到6的最大值要小于6.5，结合$x$是一位小数的限制即可确定范围；
② 首先明确$\{x\}$是非负整数，因此$\frac{4}{3}x$必为非负整数，设$\{x\}=k$（$k$为非负整数），可得$x=\frac{3}{4}k$，再代入四舍五入的取值范围$k-0.5≤ x ＜k+0.5$，解不等式求出$k$的非负整数解，即可得到对应的$x$值；
(2)证明等式成立时，将$x$拆为整数部分+小数部分的形式，分小数部分小于0.5（四舍情况）和大于等于0.5（五入情况）两类，分别验证左右两边相等即可，$m$为正整数，仅改变$x$的整数部分，不改变小数部分。
【解析】
(1)① 根据四舍五入精确到个位的规则：
若$\{x\}=6$，则$x$的最小值为“五入”得到6的最小数5.5，最大值小于“四舍”得到6的临界值6.5，又$x$为一位小数，因此$x$的取值范围是$5.5≤ x ＜6.5$；
② 设$\{x\}=k$，$k$为非负整数，由题意得$k=\frac{4}{3}x$，即$x=\frac{3}{4}k$。
根据四舍五入的定义，满足$\{x\}=k$的$x$需满足：$k-0.5≤ x ＜k+0.5$，将$x=\frac{3}{4}k$代入得：
$k-\frac{1}{2}≤ \frac{3}{4}k ＜k+\frac{1}{2}$
解左边不等式：$k-\frac{3}{4}k≤ \frac{1}{2}\implies \frac{1}{4}k≤ \frac{1}{2}\implies k≤ 2$
解右边不等式：$\frac{3}{4}k -k ＜\frac{1}{2}\implies -\frac{1}{4}k ＜\frac{1}{2}\implies k＞-2$
因为$k$为非负整数，所以$k$可取0、1、2，对应$x$的值为$0$、$\frac{3}{4}$、$\frac{3}{2}$；
(2)证明：设$x=n+a$，其中$n$为$x$的非负整数部分，$a$为$x$的小数部分（$0≤ a＜1$），分两种情况讨论：
① 当$0≤ a＜\frac{1}{2}$时，$\{x\}=n$
此时$x+m=(n+m)+a$，$n+m$为$x+m$的整数部分，$a$为小数部分，因此$\{x+m\}=n+m$
又$\{x\}+m=n+m$，故$\{x+m\}=\{x\}+m$；
② 当$\frac{1}{2}≤ a＜1$时，$\{x\}=n+1$
此时$x+m=(n+m)+a$，$n+m$为$x+m$的整数部分，$a$为小数部分，因此$\{x+m\}=n+m+1$
又$\{x\}+m=(n+1)+m=n+m+1$，故$\{x+m\}=\{x\}+m$；
综上，$\{x+m\}=\{x\}+m$成立。
【答案】
(1)①$\boxed{5.5≤ x＜6.5}$；②$\boxed{0}$或$\boxed{\frac{3}{4}}$或$\boxed{\frac{3}{2}}$
(2)证明见上述解析
【知识点】
新定义运算，四舍五入取近似值，分类讨论思想
【点评】
本题以新定义为背景，考查对四舍五入取近似值规则的理解与应用，解题的关键是准确把握新定义的内涵，结合不等式求解、分类讨论思想解决问题，证明类问题要注意分类的完整性，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6