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1. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边长分别为$a$，$b$，$c$。若$a$，$b$，$c$满足$b^2=a^2+c^2$，则（
A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=90°$
C.$∠ C=90°$
D.无法确定
B
）A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=90°$
C.$∠ C=90°$
D.无法确定
答案
1.B
解析
【分析】
要解这道题，首先回忆勾股定理的逆定理内容：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且最长边所对的内角为直角。先观察题干给出的等式$b^2=a^2+c^2$，可确定最长边是$b$，再结合三角形边与角的对应关系：边$b$对应的内角是$∠ B$，即可判断出直角的位置。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，已知$△ ABC$的三边长$a$、$b$、$c$满足$b^2=a^2+c^2$，说明该三角形是直角三角形，且最长边$b$所对的角为直角。在$△ ABC$中，边$b$对应的内角为$∠ B$，因此$∠ B=90°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形边与角的对应关系
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题，解题的关键是明确直角对应的是等式中单独作为平方项的边所对的内角，理清边和角的对应关系即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解这道题，首先回忆勾股定理的逆定理内容：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且最长边所对的内角为直角。先观察题干给出的等式$b^2=a^2+c^2$，可确定最长边是$b$，再结合三角形边与角的对应关系：边$b$对应的内角是$∠ B$，即可判断出直角的位置。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，已知$△ ABC$的三边长$a$、$b$、$c$满足$b^2=a^2+c^2$，说明该三角形是直角三角形，且最长边$b$所对的角为直角。在$△ ABC$中，边$b$对应的内角为$∠ B$，因此$∠ B=90°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形边与角的对应关系
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题，解题的关键是明确直角对应的是等式中单独作为平方项的边所对的内角，理清边和角的对应关系即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 下列各组数为勾股数的是 （
A.2,3,4
B.5,12,13
C.1.5,2,2.5
D.$\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{7}$
B
）A.2,3,4
B.5,12,13
C.1.5,2,2.5
D.$\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{7}$
答案
2.B
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先要牢记勾股数的两个必备条件：①三个数都必须是正整数；②满足较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先排除不符合“正整数”要求的选项，再对剩余选项验证平方和关系即可得出答案。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数。我们逐个分析选项：
选项A：$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13 ≠ 16$，不满足平方和关系，不是勾股数；
选项B：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，满足$5^2 + 12^2 = 13^2$，且5、12、13都是正整数，是勾股数；
选项C：1.5、2.5是小数，不是正整数，不符合勾股数的要求，不是勾股数；
选项D：$\sqrt{3}$、$\sqrt{7}$不是正整数，不符合勾股数的要求，不是勾股数。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 勾股数的定义
2. 勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，只验证平方和关系错选C、D。解题时先筛除非正整数的选项，再验证平方和关系，可提升解题正确率和效率。
【难度系数】
0.8
要判断一组数是不是勾股数，首先要牢记勾股数的两个必备条件：①三个数都必须是正整数；②满足较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先排除不符合“正整数”要求的选项，再对剩余选项验证平方和关系即可得出答案。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数。我们逐个分析选项：
选项A：$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13 ≠ 16$，不满足平方和关系，不是勾股数；
选项B：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，满足$5^2 + 12^2 = 13^2$，且5、12、13都是正整数，是勾股数；
选项C：1.5、2.5是小数，不是正整数，不符合勾股数的要求，不是勾股数；
选项D：$\sqrt{3}$、$\sqrt{7}$不是正整数，不符合勾股数的要求，不是勾股数。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 勾股数的定义
2. 勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，只验证平方和关系错选C、D。解题时先筛除非正整数的选项，再验证平方和关系，可提升解题正确率和效率。
【难度系数】
0.8
3. 一辆汽车从点A出发沿正东方向行驶30 km到达点B，然后转向行驶40 km到达点C，最后从点C沿CA方向直接回到出发点A. 如果汽车从出发到返回共行驶了120 km，那么BC的方向是（
A.正东或正西
B.正南
C.正北
D.正南或正北
D
）A.正东或正西
B.正南
C.正北
D.正南或正北
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先从总行驶路程入手，先算出AC段的长度，再通过三角形三边的长度关系，用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，找到直角的位置，最后结合AB的正东方向，推导BC的可能方向。
【解析】
1. 计算AC的长度：
已知汽车总行驶路程为120km，AB=30km，BC=40km，因此$AC=120-30-40=50\mathrm{km}$。
2. 判定$△ ABC$的形状：
分别计算三边平方：$AB^2=30^2=900$，$BC^2=40^2=1600$，$AC^2=50^2=2500$，可得$AB^2+BC^2=900+1600=2500=AC^2$。
根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$，即$AB⊥ BC$。
3. 判断BC的方向：
AB为正东方向，与正东方向垂直的方向为正南或正北，因此BC的方向是正南或正北。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理，方位判断
【点评】
本题结合行程场景考察几何知识，解题关键是先求出未知边长，再通过勾股定理逆定理判定直角三角形，最后结合方位特征推导结论，能有效考察知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从总行驶路程入手，先算出AC段的长度，再通过三角形三边的长度关系，用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，找到直角的位置，最后结合AB的正东方向，推导BC的可能方向。
【解析】
1. 计算AC的长度：
已知汽车总行驶路程为120km，AB=30km，BC=40km，因此$AC=120-30-40=50\mathrm{km}$。
2. 判定$△ ABC$的形状：
分别计算三边平方：$AB^2=30^2=900$，$BC^2=40^2=1600$，$AC^2=50^2=2500$，可得$AB^2+BC^2=900+1600=2500=AC^2$。
根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$，即$AB⊥ BC$。
3. 判断BC的方向：
AB为正东方向，与正东方向垂直的方向为正南或正北，因此BC的方向是正南或正北。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理，方位判断
【点评】
本题结合行程场景考察几何知识，解题关键是先求出未知边长，再通过勾股定理逆定理判定直角三角形，最后结合方位特征推导结论，能有效考察知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图,小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ACB的度数是
45°
.答案
4.45°
解析
【分析】
要求∠ACB的度数，我们可以先借助网格和勾股定理求出△ABC三边的长度，再用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，最后结合三角形边长关系推导角的度数。第一步：找到各边对应的直角边长度，计算三边的平方；第二步：验证三边平方是否满足勾股定理逆定理，判断是否为直角三角形；第三步：对比边的长度，判断是否为等腰三角形，最终求出对应角的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC三边的平方：
$AB^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，
$BC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，
$AC^2 = 3^2 + 1^2 = 10$，
由此可得$AB^2 + BC^2 = 5 + 5 = 10 = AC^2$，且$AB=BC$。
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是等腰直角三角形，且$∠ ABC=90°$，
因此$∠ ACB = \frac{180° - 90°}{2} = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格中求角度的典型题型，解题核心是通过勾股定理量化边长，结合逆定理判断三角形形状，将求角问题转化为判断三角形类型的问题。
【难度系数】
0.7
要求∠ACB的度数，我们可以先借助网格和勾股定理求出△ABC三边的长度，再用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，最后结合三角形边长关系推导角的度数。第一步：找到各边对应的直角边长度，计算三边的平方；第二步：验证三边平方是否满足勾股定理逆定理，判断是否为直角三角形；第三步：对比边的长度，判断是否为等腰三角形，最终求出对应角的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC三边的平方：
$AB^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，
$BC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，
$AC^2 = 3^2 + 1^2 = 10$，
由此可得$AB^2 + BC^2 = 5 + 5 = 10 = AC^2$，且$AB=BC$。
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是等腰直角三角形，且$∠ ABC=90°$，
因此$∠ ACB = \frac{180° - 90°}{2} = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格中求角度的典型题型，解题核心是通过勾股定理量化边长，结合逆定理判断三角形形状，将求角问题转化为判断三角形类型的问题。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$△ ABC$ 是一块用篱笆围成的三角形空地，沿 $△ ABC$ 的中线 $BD$ 用篱笆将它一分为二。若 $AB=10\ \mathrm{m}$，$AD=6\ \mathrm{m}$，$BD=8\ \mathrm{m}$，则篱笆的总长是 $\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}.$
答案
5.40
解析
【分析】
要计算篱笆总长，首先明确总长为原三角形空地的篱笆周长加上新增的中线BD的长度。解题思路如下：1. 根据三角形中线的性质，由AD的长度求出DC和AC的长度；2. 利用勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，得到BD⊥AC；3. 在Rt△BDC中用勾股定理求出BC的长度；4. 计算△ABC的周长，再加BD的长度得到总篱笆长。
【解析】
解：
∵BD是△ABC的中线，AD=6m
∴DC=AD=6m，AC=AD+DC=12m
在△ABD中，AD=6m，BD=8m，AB=10m
∵$AD^2+BD^2=6^2+8^2=36+64=100$，$AB^2=10^2=100$
∴$AD^2+BD^2=AB^2$，由勾股定理的逆定理可得△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°
∴∠BDC=180°-∠ADB=90°，即BD⊥AC
在Rt△BDC中，由勾股定理得：
$BC^2=BD^2+DC^2=8^2+6^2=100$，
∴$BC=10\ \mathrm{m}$
原△ABC的篱笆周长为$AB+BC+AC=10+10+12=32\ \mathrm{m}$
新增篱笆BD长8m，因此篱笆总长为$32+8=40\ \mathrm{m}$
【答案】
40
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形中线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先通过勾股定理的逆定理推出BD与AC垂直，进而求出BC的长度，计算总长时注意不要遗漏新增的中线BD的长度。
【难度系数】
0.7
要计算篱笆总长，首先明确总长为原三角形空地的篱笆周长加上新增的中线BD的长度。解题思路如下：1. 根据三角形中线的性质，由AD的长度求出DC和AC的长度；2. 利用勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，得到BD⊥AC；3. 在Rt△BDC中用勾股定理求出BC的长度；4. 计算△ABC的周长，再加BD的长度得到总篱笆长。
【解析】
解：
∵BD是△ABC的中线，AD=6m
∴DC=AD=6m，AC=AD+DC=12m
在△ABD中，AD=6m，BD=8m，AB=10m
∵$AD^2+BD^2=6^2+8^2=36+64=100$，$AB^2=10^2=100$
∴$AD^2+BD^2=AB^2$，由勾股定理的逆定理可得△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°
∴∠BDC=180°-∠ADB=90°，即BD⊥AC
在Rt△BDC中，由勾股定理得：
$BC^2=BD^2+DC^2=8^2+6^2=100$，
∴$BC=10\ \mathrm{m}$
原△ABC的篱笆周长为$AB+BC+AC=10+10+12=32\ \mathrm{m}$
新增篱笆BD长8m，因此篱笆总长为$32+8=40\ \mathrm{m}$
【答案】
40
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形中线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先通过勾股定理的逆定理推出BD与AC垂直，进而求出BC的长度，计算总长时注意不要遗漏新增的中线BD的长度。
【难度系数】
0.7
6. 观察下面几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41.
请你根据规律写出第⑤组勾股数是
①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41.
请你根据规律写出第⑤组勾股数是
11,60,61
.答案
6.11,60,61
解析
【分析】
解题时先分部分观察已知勾股数的特征：第一步先看每组的第一个数，3、5、7、9是连续的奇数，每次递增2，可推出第⑤组第一个数为11；第二步观察每组后两个数，发现每组后两个数相差1，且进一步验证可得：每组第一个数的平方等于后两个数的和。根据这两个规律，设第⑤组第二个数为x，第三个数为x+1，列一元一次方程即可求出后两个数，最后验证是否满足勾股定理即可。
【解析】
1. 推导第⑤组第一个数：
观察已知4组勾股数的第一个数：第①组为3=2×1+1，第②组为5=2×2+1，第③组为7=2×3+1，第④组为9=2×4+1，可得第n组勾股数的第一个数为$2n+1$。
当$n=5$时，第一个数为$2×5+1=11$。
2. 推导第⑤组后两个数：
观察每组后两个数的特征：4和5、12和13、24和25、40和41均相差1，且满足第一个数的平方等于后两个数的和，比如$3^2=4+5$、$5^2=12+13$。
设第⑤组第二个数为$x$，则第三个数为$x+1$，可列方程：
$11^2=x+(x+1)$
化简得$121=2x+1$，解得$x=60$，第三个数为$60+1=61$。
3. 验证：$11^2+60^2=121+3600=3721=61^2$，符合勾股数的定义。
【答案】
11,60,61
【知识点】
勾股数，数字规律探究，勾股定理
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心考查学生的观察归纳能力和对勾股数性质的运用，解题的关键是拆分勾股数的三个数字分别找特征，再通过数量关系建立等式求解，是勾股定理相关内容的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时先分部分观察已知勾股数的特征：第一步先看每组的第一个数，3、5、7、9是连续的奇数，每次递增2，可推出第⑤组第一个数为11；第二步观察每组后两个数，发现每组后两个数相差1，且进一步验证可得：每组第一个数的平方等于后两个数的和。根据这两个规律，设第⑤组第二个数为x，第三个数为x+1，列一元一次方程即可求出后两个数，最后验证是否满足勾股定理即可。
【解析】
1. 推导第⑤组第一个数：
观察已知4组勾股数的第一个数：第①组为3=2×1+1，第②组为5=2×2+1，第③组为7=2×3+1，第④组为9=2×4+1，可得第n组勾股数的第一个数为$2n+1$。
当$n=5$时，第一个数为$2×5+1=11$。
2. 推导第⑤组后两个数：
观察每组后两个数的特征：4和5、12和13、24和25、40和41均相差1，且满足第一个数的平方等于后两个数的和，比如$3^2=4+5$、$5^2=12+13$。
设第⑤组第二个数为$x$，则第三个数为$x+1$，可列方程：
$11^2=x+(x+1)$
化简得$121=2x+1$，解得$x=60$，第三个数为$60+1=61$。
3. 验证：$11^2+60^2=121+3600=3721=61^2$，符合勾股数的定义。
【答案】
11,60,61
【知识点】
勾股数，数字规律探究，勾股定理
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心考查学生的观察归纳能力和对勾股数性质的运用，解题的关键是拆分勾股数的三个数字分别找特征，再通过数量关系建立等式求解，是勾股定理相关内容的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在四边形ABCD中,∠D=90°,AB=4,BC=8,CD=AD=2√6,求四边形ABCD的面积.
答案
7.解:$S_{四边形ABCD}=8\sqrt{3}+12.$
解析
【分析】
本题是不规则四边形求面积，可采用分割法求解：首先连接AC，将四边形分成Rt△ADC和△ABC两个部分；先利用直角三角形面积公式计算Rt△ADC的面积，再通过勾股定理求出AC的长度，接着用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，计算出△ABC的面积，最后将两个三角形的面积相加即可得到四边形ABCD的总面积。
【解析】
解：连接AC，
1. 在$Rt△ ADC$中，$∠ D=90°$，$CD=AD=2\sqrt{6}$，
$△ ADC$的面积：$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×2\sqrt{6}×2\sqrt{6}=12$，
由勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=(2\sqrt{6})^2+(2\sqrt{6})^2=24+24=48$，即$AC=4\sqrt{3}$。
2. 在$△ ABC$中，$AB=4$，$BC=8$，
$\because AB^2+AC^2=4^2+(4\sqrt{3})^2=16+48=64$，$BC^2=8^2=64$，
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$，
$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
3. 四边形ABCD的面积：$S_{四边形ABCD}=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}=12+8\sqrt{3}=8\sqrt{3}+12$。
【答案】
$S_{四边形ABCD}=8\sqrt{3}+12$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；分割法求面积
【点评】
本题通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形求解，既考察了勾股定理及逆定理的应用，也考察了不规则图形面积的计算思路，解题的关键是合理作辅助线，准确判断△ABC的形状。
【难度系数】
0.7
本题是不规则四边形求面积，可采用分割法求解：首先连接AC，将四边形分成Rt△ADC和△ABC两个部分；先利用直角三角形面积公式计算Rt△ADC的面积，再通过勾股定理求出AC的长度，接着用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，计算出△ABC的面积，最后将两个三角形的面积相加即可得到四边形ABCD的总面积。
【解析】
解：连接AC，
1. 在$Rt△ ADC$中，$∠ D=90°$，$CD=AD=2\sqrt{6}$，
$△ ADC$的面积：$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×2\sqrt{6}×2\sqrt{6}=12$，
由勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=(2\sqrt{6})^2+(2\sqrt{6})^2=24+24=48$，即$AC=4\sqrt{3}$。
2. 在$△ ABC$中，$AB=4$，$BC=8$，
$\because AB^2+AC^2=4^2+(4\sqrt{3})^2=16+48=64$，$BC^2=8^2=64$，
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$，
$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
3. 四边形ABCD的面积：$S_{四边形ABCD}=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}=12+8\sqrt{3}=8\sqrt{3}+12$。
【答案】
$S_{四边形ABCD}=8\sqrt{3}+12$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；分割法求面积
【点评】
本题通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形求解，既考察了勾股定理及逆定理的应用，也考察了不规则图形面积的计算思路，解题的关键是合理作辅助线，准确判断△ABC的形状。
【难度系数】
0.7
