1. (2026·南京期末)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交$\overset{\frown}{AB}$于点C,测出$AB=40\ \mathrm{cm},CD=10\ \mathrm{cm}$,则圆形工件的半径为（）


A.50 cm
B.35 cm
C.25 cm
D.20 cm

1. C 解析:
∵ CD是线段AB的垂直平分线,
∴ 直线CD经过圆心,设圆心为O,连接OB,如图.在Rt△OBD中,BD=$\frac{1}{2}$AB=20 cm,根据勾股定理得OD²+BD²=OB²,即(OB-10)²+20²=OB²,解得OB=25.
∴ 圆形工件的半径为25 cm,故选C.

【分析】
要计算残缺圆形工件的半径，需利用垂径定理确定圆心位置，结合勾股定理构造方程求解：AB的垂直平分线CD必过圆心，设圆心为O，连接OB构造直角三角形OBD，利用勾股定理建立关于半径的方程即可算出结果。
【解析】
∵ CD是线段AB的垂直平分线，
∴ 直线CD经过圆心，设圆心为O，连接OB，如图。
设圆形工件的半径为$ r \ \mathrm{cm} $，则$ OB = r $，$ OD = OC - CD = r - 10 $。
已知$ AB = 40 \ \mathrm{cm} $，由垂径定理得$ BD = \frac{1}{2}AB = 20 \ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OBD $中，根据勾股定理：
$ OD^2 + BD^2 = OB^2 $，
代入得：$ (r - 10)^2 + 20^2 = r^2 $，
展开计算：$ r^2 - 20r + 100 + 400 = r^2 $，
化简得：$ -20r + 500 = 0 $，
解得：$ r = 25 $。
【答案】
C 解析:
∵ CD是线段AB的垂直平分线,
∴ 直线CD经过圆心,设圆心为O,连接OB,如图.在Rt△OBD中,BD=$\frac{1}{2}$AB=20 cm,根据勾股定理得OD²+BD²=OB²,即(OB-10)²+20²=OB²,解得OB=25.
∴ 圆形工件的半径为25 cm,故选C.
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合垂径定理与勾股定理，通过构造直角三角形，利用方程思想求解圆的半径，是圆相关计算的基础题型，考查学生对核心定理的应用能力。
【难度系数】
0.6

2. (2026·镇江期末)水车是中国古代重要的灌溉工具,图①是某种型号水车的示意图,其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘,它的边缘平均分布了12个水斗,这些水斗随轮盘转动而升降.如图②,在水车顺时针转动时,其中的1个水斗在点A处放空水,同时有1个水斗刚好在点B处接触水面,中间还有2个水斗,已知外围轮盘半径OA为5 m,点A到水面的距离为7 m,则水面宽度CB为 （）


A.6 m
B.7 m
C.7 m或9 m
D.6 m或8 m

2. D 解析:如图,作OD⊥CB,AE⊥CB分别交CB于点D,E,作OF⊥AE于点F,设OD=x m,
∵ OD⊥CB,AE⊥CB,OF⊥AE,
∴ ∠ODE = ∠DEA = ∠OFE = ∠OFA = 90°,
∴ 四边形ODEF是矩形,
∴ ∠DOF=90°,OD=EF=x m.
∵ 点A到水面的距离为7 m,
∴ AE=7 m,则AF=AE-EF=(7-x) m.
∵ 圆形轮盘分布了12个水斗,水斗A和B中间还有2个水斗,
∴ ∠AOB=$\frac{3}{12}$×360°=90°,
∴ ∠FOA + ∠BOF = 90°.又
∵ ∠DOF=90°,即∠DOB+∠BOF=90°,
∴ ∠DOB = ∠FOA.
在△DOB 和 △FOA 中,$\begin{cases} ∠ODE=∠OFA, \\ ∠DOB=∠FOA, \\ OB=OA, \end{cases}$
∴ △DOB ≌ △FOA,
∴ DB=AF=(7-x) m,在Rt△DOB中,OB=5 m,则DB²+OD²=OB²,即(7-x)²+x²=5²,解得x₁=3,x₂=4,
∴ DB=7-x=3 或 4.
∵ OD⊥BC,
∴ 点D是BC的中点,即BC=2DB,
∴ BC=6 m 或 8 m.故选D.

【分析】
要解决这个问题，需先根据12个水斗的分布确定圆心角∠AOB的度数，再通过作辅助线构造矩形和全等三角形，结合勾股定理建立方程求解，最后利用垂径定理计算水面宽度CB。具体思路：1. 计算∠AOB的度数；2. 作OD⊥CB、AE⊥CB、OF⊥AE构造矩形和全等三角形；3. 设OD为未知数，用未知数表示相关线段长度，利用全等关系转化线段，结合勾股定理列方程；4. 解方程后根据垂径定理计算CB的两种可能结果。
【解析】
如图，作OD⊥CB，AE⊥CB分别交CB于点D，E，作OF⊥AE于点F。
∵ OD⊥CB，AE⊥CB，OF⊥AE，
∴ ∠ODE=∠DEA=∠OFE=∠OFA=90°，
∴ 四边形ODEF是矩形，
∴ ∠DOF=90°，OD=EF=x m（设OD=x m）。
∵ 点A到水面的距离为7 m，
∴ AE=7 m，则AF=AE - EF=(7 - x) m。
∵ 圆形轮盘边缘平均分布12个水斗，水斗A和B中间还有2个水斗，
∴ 圆心角∠AOB = $\frac{3}{12}$×360°=90°，
∴ ∠FOA + ∠BOF=90°。
又
∵ ∠DOF=90°，即∠DOB + ∠BOF=90°，
∴ ∠DOB=∠FOA。
在△DOB和△FOA中，
$\begin{cases}∠ODB=∠OFA=90° \\∠DOB=∠FOA \\OB=OA=5 m\end{cases}$
∴ △DOB≌△FOA（AAS），
∴ DB=AF=(7 - x) m。
在Rt△DOB中，OB=5 m，由勾股定理得：
DB² + OD² = OB²，即(7 - x)² + x² = 5²，
整理得：x² -7x +12=0，
解得x₁=3，x₂=4。
∵ OD⊥BC，根据垂径定理，点D是BC的中点，即BC=2DB，
当x=3时，DB=7 -3=4，BC=2×4=8 m；
当x=4时，DB=7 -4=3，BC=2×3=6 m；
故水面宽度CB为6 m或8 m。
【答案】
D
【知识点】
圆的性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】
本题结合水车的实际场景，考查圆的性质、全等三角形与勾股定理的综合应用，需合理构造辅助线，利用圆心角和垂径定理解决问题，体现了数学与实际生活的联系。
【难度系数】
0.5

3. (2025·南京期中) 如图，$\odot O$的直径为10，弦$AD,BC$在圆心的两侧，且$AD// BC$，$AD = 6$，$BC = 8$，则图中阴影部分的面积为。

3. 25π-49 解析:如图,过点O作OF⊥BC于点F,交AD于点E,连接OA,OB,
∵ AD//BC,
∴ AD⊥EF.
∵ AD=6,BC=8,⊙O的直径为10,
∴ AE=3,BF=4,OA=OB=5,
∴ OE=$\sqrt{5^2-3^2}$=4,OF=$\sqrt{5^2-4^2}$=3,
∴ EF=7,
∴ S阴影=S⊙O-S梯形ABCD=π×5²-$\frac{1}{2}$×(6+8)×7=25π-49.

【分析】
要计算阴影部分面积，可利用“不规则图形面积=规则图形面积差”的转化思想，将阴影面积转化为圆的面积减去梯形ABCD的面积。需先通过垂径定理和勾股定理求出梯形的高，再分别计算圆和梯形的面积，最终得到阴影面积。
【解析】
1. 确定圆的半径：已知$\odot O$的直径为10，因此半径$OA=OB=5$。
2. 利用垂径定理作辅助线：过点$O$作$OF ⊥ BC$于点$F$，交$AD$于点$E$，因为$AD // BC$，所以$OE ⊥ AD$。根据垂径定理，$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2} × 6=3$，$BF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 8=4$。
3. 用勾股定理求线段长度：
在$Rt△ OAE$中，$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$；
在$Rt△ OBF$中，$OF=\sqrt{OB^2 - BF^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
4. 计算梯形的高：由于$AD$、$BC$在圆心两侧，梯形$ABCD$的高$EF=OE+OF=4+3=7$。
5. 计算面积：
圆的面积：$S_{\odot O}=π × 5^2=25π$；
梯形$ABCD$的面积：$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2} × (6+8) × 7=49$；
阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{\odot O}-S_{梯形ABCD}=25π - 49$。
【答案】25π-49
【知识点】垂径定理、勾股定理、圆的面积
【点评】本题通过转化思想将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，核心是利用垂径定理和勾股定理求出梯形的高，解题关键在于辅助线的构造，属于几何面积计算的典型中等题。
【难度系数】0.5

4. (2026·宿迁期末) 如图，$\odot O$ 是 $△ ABC$ 的外接圆，若 $∠ CAB=45°$，$S_{△ ABC}=6$，$S_{△ OCA}=1$，则 $CA=$。

4. $2\sqrt{5}$ 解析:如图,作OE⊥AC于点E,作BF⊥EO交EO的延长线于点F,作BD⊥AC于点D,
∴ 四边形BDEF是矩形,
∴ BD=EF,BF=DE.
∵ OE⊥AC,
∴ AE=EC,设AE=EC=a,BF=DE=b,
∵ ∠CAB=45°,OB=OC,
∴ △ABD是等腰直角三角形,∠BOC=90°,
∴ BD=AD=a+b,△OBC是等腰直角三角形.
∵ ∠OEC=∠OFB=∠BOC=90°,
∴ ∠OCE=90°-∠COE=∠BOF,
∴ △OCE≌△BOF(AAS),
∴ OE=BF=b.
∵ S△ABC=6,
∴ $\frac{1}{2}$×AC×BD=$\frac{1}{2}$×2a(a+b)=6,
∴ a²+ab=6.
∵ S△OCA=1,
∴ $\frac{1}{2}$×AC×OE=$\frac{1}{2}$×2a·b=1,
∴ ab=1,
∴ a²=5,
∴ a=$\sqrt{5}$(负值已舍),
∴ AC=2a=$2\sqrt{5}$.

【分析】
要解决本题，需结合圆周角定理、垂径定理，通过作辅助线构造全等三角形与矩形，利用三角形面积公式建立线段关系求解。首先由圆周角定理得圆心角∠BOC=90°，再利用垂径定理得到AC的中点，通过作辅助线构造全等三角形确定线段间的等量关系，最后结合两个三角形的面积公式列方程，求出CA的长度。
【解析】
如图，作OE⊥AC于点E，作BF⊥EO交EO的延长线于点F，作BD⊥AC于点D。
∴ 四边形BDEF是矩形，故BD=EF，BF=DE。
∵ OE⊥AC，根据垂径定理，AE=EC，设AE=EC=a，BF=DE=b。
∵ ∠CAB=45°，在Rt△ABD中，△ABD是等腰直角三角形，得BD=AD。又AD=AE+ED=a+b，因此BD=a+b。
根据圆周角定理，同弧BC所对的圆心角是圆周角的2倍，故∠BOC=2∠CAB=90°。
∵ ∠OEC=∠OFB=∠BOC=90°，
∴ ∠OCE=∠BOF，结合OC=OB，可得△OCE≌△BOF（AAS），因此OE=BF=b。
已知$S_{△ABC}=6$，由三角形面积公式：
$\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×2a×(a+b)=a(a+b)=6$，即$a^2+ab=6$。
又$S_{△OCA}=1$，同理：
$\frac{1}{2}×AC×OE=\frac{1}{2}×2a×b=ab=1$。
将$ab=1$代入$a^2+ab=6$，得$a^2=5$，解得$a=\sqrt{5}$（负值舍去），因此$CA=2a=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查圆的性质、全等三角形与矩形的应用，解题核心是通过辅助线构造等量关系，结合面积公式列方程求解，对几何逻辑推导能力要求较高，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5

5. 在同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于 C,D两点.
(1) 如图①,若大圆、小圆的半径分别为 13 和7,$AB=24$,则 CD 的长为;
(2) 如图②,大圆的另一条弦 EF 交小圆于G,H 两点,若$AB=EF$,求证:$CD=GH$.

5. (1)$4\sqrt{6}$ 解析:连接OA,OC,过点O作OH⊥AB于点H,则H为AB,CD的中点,
∵ AB=24,
∴ AH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×24=12,CH=$\frac{1}{2}$CD.
∵ OH⊥AB,
∴ OH²=OA²-AH²,OH²=OC²-CH²,
∴ OA²-AH²=OC²-CH²,
∴ 13²-12²=7²-CH²,
∴ CH=$2\sqrt{6}$,
∴ CD=2CH=$4\sqrt{6}$.
(2)如图,过点O作OM⊥AB,ON⊥EF,垂足分别为M,N
∴ DM=$\frac{1}{2}$CD,HN=$\frac{1}{2}$GH,AM=$\frac{1}{2}$AB,EN=$\frac{1}{2}$EF.又
∵ AB=EF,
∴ AM=EN.连接OA,OE,OD,OH,在Rt△OAM 和 Rt△OEN中,$\begin{cases} OA=OE, \\ AM=EN, \end{cases}$
∴ Rt△OAM≌Rt△OEN,
∴ OM=ON.
在Rt△ODM 和 Rt△OHN 中,$\begin{cases} OD=OH, \\ OM=ON, \end{cases}$
∴ Rt△ODM≌Rt△OHN,
∴ DM=HN,
∴ CD=GH.

【分析】
第(1)问：要计算CD的长度，需利用垂径定理，过圆心O作AB的垂线，根据垂径定理，该垂线平分AB和CD，再结合勾股定理，分别在以OA、AH和OC、CH为边的直角三角形中表示出OH²，建立等式求出CH，进而得到CD。
第(2)问：要证明CD=GH，根据垂径定理，CD=2DM，GH=2HN，故只需证明DM=HN；通过作OM⊥AB、ON⊥EF，结合AB=EF，利用直角三角形全等得到OM=ON，再证明Rt△ODM≌Rt△OHN，即可得DM=HN，从而证得CD=GH。
【解析】
(1) 连接OA、OC，过点O作OH⊥AB于点H，根据垂径定理，H为AB、CD的中点，因此：
AH = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×24 = 12$，CH = $\frac{1}{2}CD$。
在Rt△OAH中，由勾股定理得：OH² = OA² - AH²；
在Rt△OCH中，由勾股定理得：OH² = OC² - CH²；
因此OA² - AH² = OC² - CH²，代入OA=13，OC=7，AH=12：
$13² - 12² = 7² - CH²$，
计算得：169 - 144 = 49 - CH² → 25 = 49 - CH² → CH² = 24 → CH = $2\sqrt{6}$，
所以CD = 2CH = $4\sqrt{6}$。
(2) 过点O作OM⊥AB，ON⊥EF，垂足分别为M、N，根据垂径定理：
AM = $\frac{1}{2}AB$，DM = $\frac{1}{2}CD$；EN = $\frac{1}{2}EF$，HN = $\frac{1}{2}GH$。
已知AB=EF，故AM=EN。
连接OA、OE、OD、OH，在Rt△OAM和Rt△OEN中：
$\begin{cases} OA = OE \\ AM = EN \end{cases}$，
所以Rt△OAM ≌ Rt△OEN（HL），得OM=ON。
在Rt△ODM和Rt△OHN中：
$\begin{cases} OD = OH \\ OM = ON \end{cases}$，
所以Rt△ODM ≌ Rt△OHN（HL），得DM=HN。
因为CD=2DM，GH=2HN，所以CD=GH。
【答案】
(1) $4\sqrt{6}$；(2) 证明如上。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直角三角形全等判定
【点评】
本题是圆章节的基础题型，结合垂径定理、勾股定理和全等三角形知识解决同心圆的弦长问题，需熟练掌握垂径定理的性质，是对圆中弦相关计算与证明的典型考查。
【难度系数】
0.6

6. (2025·苏州期末)如图,已知锐角三角形$ABC$内接于圆$O,OD ⊥ BC$于点$D$,连接$OA$,点$E$在线段$OA$上,$OE=OD$,连接$DE$,若$∠ ABC=75^{ \circ }$,$∠ OED=20^{ \circ }$,则$∠ ACB$的度数是 （）


A.$30^{ \circ }$
B.$35^{ \circ }$
C.$45^{ \circ }$
D.$50^{ \circ }$

6. B 解析:如图,延长DO交圆O于点F,连接AF,OB,OC,
∵ ∠ABC=75°,
∴ ∠AOC=150°.
∵ OE=OD,
∴ ∠OED=∠ODE=20°,
∴ ∠AOF=2∠OED=40°,
∴ ∠COF=150°-40°=110°.
∵ 圆O中OD⊥BC于点D,根据垂径定理可得$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BF}$,
∴ ∠BOF=∠COF=110°,
∴ ∠AOB=110°-40°=70°,
∴ ∠ACB=70°×$\frac{1}{2}$=35°,故选B.

【分析】要解决本题，需运用圆周角定理、等腰三角形性质、垂径定理逐步推导。首先利用圆周角定理由已知的∠ABC求出圆心角∠AOC；再根据OE=OD得到等腰三角形的底角，结合辅助线求出∠AOF；接着利用垂径定理得到弧对应的圆心角相等，求出∠AOB；最后再次用圆周角定理，由圆心角∠AOB求出圆周角∠ACB。
【解析】如图，延长DO交圆O于点F，连接AF，OB，OC。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠ABC=75°，则∠AOC=2∠ABC=2×75°=150°。
2. 因为OE=OD，所以△ODE为等腰三角形，故∠OED=∠ODE=20°，由此可得∠AOF=2∠OED=40°。
3. 计算∠COF：∠COF=∠AOC - ∠AOF=150° - 40°=110°。
4. 由于OD⊥BC，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，因此弧CF=弧BF，对应的圆心角相等，即∠BOF=∠COF=110°。
5. 计算∠AOB：∠AOB=∠BOF - ∠AOF=110° - 40°=70°。
6. 再根据圆周角定理，∠ACB是弧AB所对的圆周角，等于弧AB所对圆心角∠AOB的一半，所以∠ACB=½∠AOB=½×70°=35°。
【答案】B
【知识点】圆周角定理、垂径定理、等腰三角形性质
【点评】本题综合考查圆的核心性质，需通过辅助线构造圆心角，逐步推导各角关系，对逻辑推理能力要求较高，是圆相关知识的典型应用题型。
【难度系数】0.5