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9. 如图是甲、乙两组数据的统计图,则较为稳定
的数据是
的数据是
乙
组(填“甲”或“乙”).答案
9.乙 解析:根据统计图可得乙的数据值波动范围是4~7,甲的数据值波动范围是2~6,乙的数据值波动小,数据更稳定,则较为稳定的数据是乙组.
解析
【分析】
要判断哪组数据更稳定，需明确：数据的稳定性由数据的波动程度决定，波动越小，数据越稳定。解题时先从统计图中提取甲、乙两组的所有数据，分别计算它们的波动范围（最大值与最小值的差），通过比较波动范围的大小，得出更稳定的数据组。
【解析】
从统计图中提取数据：
甲组数据为：2，3，4，5，6；
乙组数据为：4，5，6，7，7；
计算两组数据的波动范围：
甲组波动范围 = 最大值 - 最小值 = 6 - 2 = 4；
乙组波动范围 = 最大值 - 最小值 = 7 - 4 = 3；
因为3 ＜ 4，乙组数据的波动更小，所以乙组数据更稳定。
【答案】
乙
【知识点】
数据的稳定性、波动程度
【点评】
本题考查数据稳定性的判断，核心是掌握“波动越小，数据越稳定”的判断方法，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
要判断哪组数据更稳定，需明确：数据的稳定性由数据的波动程度决定，波动越小，数据越稳定。解题时先从统计图中提取甲、乙两组的所有数据，分别计算它们的波动范围（最大值与最小值的差），通过比较波动范围的大小，得出更稳定的数据组。
【解析】
从统计图中提取数据：
甲组数据为：2，3，4，5，6；
乙组数据为：4，5，6，7，7；
计算两组数据的波动范围：
甲组波动范围 = 最大值 - 最小值 = 6 - 2 = 4；
乙组波动范围 = 最大值 - 最小值 = 7 - 4 = 3；
因为3 ＜ 4，乙组数据的波动更小，所以乙组数据更稳定。
【答案】
乙
【知识点】
数据的稳定性、波动程度
【点评】
本题考查数据稳定性的判断，核心是掌握“波动越小，数据越稳定”的判断方法，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
10. 两组数据 $m,6,n$ 与 $1,m,2n,7$ 的平均数都是8,若将这两组数据合并成一组数据,则这组新数据的离差平方和是
106
.答案
10.106 解析:$\because$ 两组数据$m,6,n$与$1,m,2n,7$的平均数都是8,$\therefore \begin{cases} m+6+n=3×8,\\1+m+2n+7=4×8,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=12,\\n=6,\end{cases}$故这两组数据合并成一组数据:12,6,6,1,12,12,7,计算每个数据与平均数8的离差平方:$(12-8)^2=16$,$(6-8)^2=4$,$(6-8)^2=4$,$(1-8)^2=49$,$(12-8)^2=16$,$(12-8)^2=16$,$(7-8)^2=1$,离差平方和:$16+4+4+49+16+16+1=106$.
解析
【分析】
要解决该问题，需分三步：首先利用平均数的定义求出未知参数$m$和$n$；再合并两组数据得到新数据组；最后根据离差平方和的定义计算结果。具体思路：1. 根据两组数据的平均数均为8，分别列出关于$m$、$n$的方程，解方程组得到$m$、$n$的值；2. 将两组数据合并为一组新数据；3. 计算新数据组中每个数据与平均数的差的平方，求和得到离差平方和。
【解析】
1. 根据平均数公式：数据总和=平均数×数据个数。
第一组数据$m,6,n$共3个，平均数为8，故总和为$3×8=24$，即：
$m + 6 + n = 24$ ①
第二组数据$1,m,2n,7$共4个，平均数为8，故总和为$4×8=32$，即：
$1 + m + 2n + 7 = 32$ ②
2. 化简并解方程组：
化简①得：$m + n = 18$
化简②得：$m + 2n = 24$
用② - ①得：$n = 6$，代入①得：$m = 18 - 6 = 12$
3. 合并两组数据得新数据：$12,6,6,1,12,12,7$
4. 计算离差平方和：
$(12-8)^2 + (6-8)^2 + (6-8)^2 + (1-8)^2 + (12-8)^2 + (12-8)^2 + (7-8)^2$
$=16 + 4 + 4 + 49 + 16 + 16 + 1 = 106$
【答案】106
【知识点】平均数、离差平方和
【点评】本题考查统计中基础公式的应用，核心是先通过平均数求出未知参数，再按定义计算离差平方和，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
要解决该问题，需分三步：首先利用平均数的定义求出未知参数$m$和$n$；再合并两组数据得到新数据组；最后根据离差平方和的定义计算结果。具体思路：1. 根据两组数据的平均数均为8，分别列出关于$m$、$n$的方程，解方程组得到$m$、$n$的值；2. 将两组数据合并为一组新数据；3. 计算新数据组中每个数据与平均数的差的平方，求和得到离差平方和。
【解析】
1. 根据平均数公式：数据总和=平均数×数据个数。
第一组数据$m,6,n$共3个，平均数为8，故总和为$3×8=24$，即：
$m + 6 + n = 24$ ①
第二组数据$1,m,2n,7$共4个，平均数为8，故总和为$4×8=32$，即：
$1 + m + 2n + 7 = 32$ ②
2. 化简并解方程组：
化简①得：$m + n = 18$
化简②得：$m + 2n = 24$
用② - ①得：$n = 6$，代入①得：$m = 18 - 6 = 12$
3. 合并两组数据得新数据：$12,6,6,1,12,12,7$
4. 计算离差平方和：
$(12-8)^2 + (6-8)^2 + (6-8)^2 + (1-8)^2 + (12-8)^2 + (12-8)^2 + (7-8)^2$
$=16 + 4 + 4 + 49 + 16 + 16 + 1 = 106$
【答案】106
【知识点】平均数、离差平方和
【点评】本题考查统计中基础公式的应用，核心是先通过平均数求出未知参数，再按定义计算离差平方和，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
11.(泰安中考改编)某单位若干名职工参加普法知识竞赛,将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图,根据图中提供的信息,这些职工成绩的中位数是
96
分,平均数是96.4
分.答案
11.96 96.4 解析:总人数为$6÷10\%=60$,则94分的有$60×20\%=12$(人),98分的有$60-6-12-15-9=18$(人),第30与31个数据都是96分,这些职工成绩的中位数是$(96+96)÷2=96$(分);这些职工成绩的平均数是$(92×6+94×12+96×15+98×18+100×9)÷60=96.4$(分).
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合扇形统计图和条形统计图的信息，先求出总人数，再计算各分数段的人数，接着根据中位数的定义确定中位数，最后通过加权平均数公式计算平均数。具体思路：1. 利用92分的人数和对应占比算出总人数；2. 求出94分的人数，再用总人数减去其他分数段人数得到98分的人数；3. 根据总数据个数找到中间位置的数，计算中位数；4. 用各分数乘对应人数求和，除以总人数得到平均数。
【解析】
1. 计算总人数：由扇形图可知92分的人数占总人数的10%，结合条形图中92分有6人，得总人数为 $6 ÷ 10\% = 60$（人）。
2. 计算各分数段人数：94分的人数为 $60 × 20\% = 12$（人）；98分的人数为 $60 - 6 - 12 - 15 - 9 = 18$（人）。
3. 求中位数：总共有60个成绩数据，将数据从小到大排列后，第30和第31个数据均为96分，因此中位数为 $(96 + 96) ÷ 2 = 96$（分）。
4. 求平均数：加权平均数为 $\frac{92 × 6 + 94 × 12 + 96 × 15 + 98 × 18 + 100 × 9}{60} = \frac{552 + 1128 + 1440 + 1764 + 900}{60} = \frac{5784}{60} = 96.4$（分）。
【答案】
96；96.4
【知识点】
扇形统计图、中位数、平均数
【点评】
本题结合两种统计图考查统计量的计算，需先从统计图中提取关键数据，再结合中位数、平均数的定义和公式求解，重点考查学生对统计知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需结合扇形统计图和条形统计图的信息，先求出总人数，再计算各分数段的人数，接着根据中位数的定义确定中位数，最后通过加权平均数公式计算平均数。具体思路：1. 利用92分的人数和对应占比算出总人数；2. 求出94分的人数，再用总人数减去其他分数段人数得到98分的人数；3. 根据总数据个数找到中间位置的数，计算中位数；4. 用各分数乘对应人数求和，除以总人数得到平均数。
【解析】
1. 计算总人数：由扇形图可知92分的人数占总人数的10%，结合条形图中92分有6人，得总人数为 $6 ÷ 10\% = 60$（人）。
2. 计算各分数段人数：94分的人数为 $60 × 20\% = 12$（人）；98分的人数为 $60 - 6 - 12 - 15 - 9 = 18$（人）。
3. 求中位数：总共有60个成绩数据，将数据从小到大排列后，第30和第31个数据均为96分，因此中位数为 $(96 + 96) ÷ 2 = 96$（分）。
4. 求平均数：加权平均数为 $\frac{92 × 6 + 94 × 12 + 96 × 15 + 98 × 18 + 100 × 9}{60} = \frac{552 + 1128 + 1440 + 1764 + 900}{60} = \frac{5784}{60} = 96.4$（分）。
【答案】
96；96.4
【知识点】
扇形统计图、中位数、平均数
【点评】
本题结合两种统计图考查统计量的计算，需先从统计图中提取关键数据，再结合中位数、平均数的定义和公式求解，重点考查学生对统计知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
12. 已知一组数据 $x_1,x_2,···,x_n$ 的方差是 $s^2$,则新的一组数据 $ax_1+1,ax_2+1,···,ax_n+1$($a$ 为常数,$a ≠ 0$)的方差是
$a^2s^2$
.(用含 $a,s^2$ 的代数式表示)答案
12.$a^2s^2$ 解析:由方差规律可得,增加了系数$a$,方差变为$a^2s^2$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需回忆方差的运算性质：当一组数据中的每个数据乘以常数$a$时，新数据的方差是原方差的$a^2$倍；当每个数据加上常数时，方差不变。题目中新数据是原数据乘以$a$后加1，因此只需根据方差的这一性质即可推导结果。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,···,x_n$的平均数为$\overline{x}$，则其方差为$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$。
新数据$ax_1+1,ax_2+1,···,ax_n+1$的平均数为：$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (ax_i+1)=a·\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i +1=a\overline{x}+1$。
新数据的方差为：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n [(ax_i+1)-(a\overline{x}+1)]^2\\&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (ax_i - a\overline{x})^2\\&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a^2(x_i - \overline{x})^2\\&=a^2·\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2\\&=a^2s^2\end{aligned}$
【答案】
$a^2s^2$
【知识点】
方差的性质
【点评】
本题考查方差的基本性质，属于基础题型，核心是掌握数据线性变换（乘常数、加常数）对方差的影响，直接应用性质即可快速求解。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，需回忆方差的运算性质：当一组数据中的每个数据乘以常数$a$时，新数据的方差是原方差的$a^2$倍；当每个数据加上常数时，方差不变。题目中新数据是原数据乘以$a$后加1，因此只需根据方差的这一性质即可推导结果。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,···,x_n$的平均数为$\overline{x}$，则其方差为$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$。
新数据$ax_1+1,ax_2+1,···,ax_n+1$的平均数为：$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (ax_i+1)=a·\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i +1=a\overline{x}+1$。
新数据的方差为：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n [(ax_i+1)-(a\overline{x}+1)]^2\\&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (ax_i - a\overline{x})^2\\&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a^2(x_i - \overline{x})^2\\&=a^2·\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2\\&=a^2s^2\end{aligned}$
【答案】
$a^2s^2$
【知识点】
方差的性质
【点评】
本题考查方差的基本性质，属于基础题型，核心是掌握数据线性变换（乘常数、加常数）对方差的影响，直接应用性质即可快速求解。
【难度系数】
0.4
13. (南京中考)某工程队有 14 名员工,他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：
现该工程队进行了人员调整:减少木工2 名,增加电工和瓦工各 1 名.与调整前相比,该工程队员工月工资的方差
现该工程队进行了人员调整:减少木工2 名,增加电工和瓦工各 1 名.与调整前相比,该工程队员工月工资的方差
变大
.(填“变小”“不变”或“变大”)答案
13.变大 解析:调整之前的工资平均数为$(5×7\ 000+4×6\ 000+5×5\ 000)÷14=6\ 000$(元),调整之前的方差为$[5×(7\ 000-6\ 000)^2+4×(6\ 000-6\ 000)^2+5×(5\ 000-6\ 000)^2]÷14\approx714\ 286$;$\because$ 减少木工2名,增加电工、瓦工各1名,$\therefore$ 调整之后的工资平均数为$(6×7\ 000+2×6\ 000+6×5\ 000)÷14=6\ 000$(元),调整之后的方差为$[6×(7\ 000-6\ 000)^2+2×(6\ 000-6\ 000)^2+6×(5\ 000-6\ 000)^2]÷14\approx857\ 143$.$\because 714\ 286＜857\ 143$,$\therefore$ 该工程队员工月工资的方差变大.
解析
【分析】要判断调整后工资的方差变化，需先计算调整前后的平均数和方差。首先根据表格数据算出调整前的总工资，除以总人数得到平均数；再根据方差公式计算调整前的方差。人员调整后，电工、木工、瓦工人数变化，总人数不变，重新计算调整后的总工资，发现平均数不变，再计算调整后的方差，比较两个方差的大小即可得出结论。
【解析】1. 计算调整前的平均数：
调整前总工资 = $5×7000 + 4×6000 +5×5000 = 84000$元，总人数14人，因此平均数 = $84000÷14 = 6000$元。
调整前的方差：
$s_1^2=\frac{5×(7000-6000)^2 +4×(6000-6000)^2 +5×(5000-6000)^2}{14}=\frac{5×1000000 +0 +5×1000000}{14}=\frac{10000000}{14}\approx714286$
2. 计算调整后的情况：
调整后，电工人数为$5+1=6$，木工人数为$4-2=2$，瓦工人数为$5+1=6$，总人数仍为14人。
调整后总工资 = $6×7000 +2×6000 +6×5000 =84000$元，因此平均数 = $84000÷14=6000$元，与调整前相同。
调整后的方差：
$s_2^2=\frac{6×(7000-6000)^2 +2×(6000-6000)^2 +6×(5000-6000)^2}{14}=\frac{6×1000000 +0 +6×1000000}{14}=\frac{12000000}{14}\approx857143$
3. 比较方差：因为$714286 ＜857143$，所以调整后方差变大。
【答案】变大
【知识点】方差、平均数
【点评】本题考查方差的计算，核心是掌握方差公式，先确定调整前后的平均数是否变化，再通过计算方差比较数据的离散程度，属于基础统计应用题，需细心计算避免出错。
【难度系数】0.5
【解析】1. 计算调整前的平均数：
调整前总工资 = $5×7000 + 4×6000 +5×5000 = 84000$元，总人数14人，因此平均数 = $84000÷14 = 6000$元。
调整前的方差：
$s_1^2=\frac{5×(7000-6000)^2 +4×(6000-6000)^2 +5×(5000-6000)^2}{14}=\frac{5×1000000 +0 +5×1000000}{14}=\frac{10000000}{14}\approx714286$
2. 计算调整后的情况：
调整后，电工人数为$5+1=6$，木工人数为$4-2=2$，瓦工人数为$5+1=6$，总人数仍为14人。
调整后总工资 = $6×7000 +2×6000 +6×5000 =84000$元，因此平均数 = $84000÷14=6000$元，与调整前相同。
调整后的方差：
$s_2^2=\frac{6×(7000-6000)^2 +2×(6000-6000)^2 +6×(5000-6000)^2}{14}=\frac{6×1000000 +0 +6×1000000}{14}=\frac{12000000}{14}\approx857143$
3. 比较方差：因为$714286 ＜857143$，所以调整后方差变大。
【答案】变大
【知识点】方差、平均数
【点评】本题考查方差的计算，核心是掌握方差公式，先确定调整前后的平均数是否变化，再通过计算方差比较数据的离散程度，属于基础统计应用题，需细心计算避免出错。
【难度系数】0.5
14. (镇江中考改编)第1组数据为0,0,0,1,1,
1, 第 2 组数据为 $\underbrace{0,0,···,0}_{m个0}$ , $\underbrace{1,1,···,1}_{n个1}$ , 其中 $m,n$ 是正整数. 下列结论: ①当 $m=n$ 时,两组数据的平均数相等; ②当 $m＞n$ 时,第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数;③当 $m＜n$ 时,第 1 组数据的中位数小于第2组数据的中位数; ④当 $m=n$ 时,第 2 组数据的方差小于第1组数据的方差.其中正确的结论是
1, 第 2 组数据为 $\underbrace{0,0,···,0}_{m个0}$ , $\underbrace{1,1,···,1}_{n个1}$ , 其中 $m,n$ 是正整数. 下列结论: ①当 $m=n$ 时,两组数据的平均数相等; ②当 $m＞n$ 时,第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数;③当 $m＜n$ 时,第 1 组数据的中位数小于第2组数据的中位数; ④当 $m=n$ 时,第 2 组数据的方差小于第1组数据的方差.其中正确的结论是
①③
.(填序号)答案
14.①③ 解析:①第1组数据的平均数为$\frac{0+0+0+1+1+1}{6}=0.5$,当$m=n$时,第2组数据的平均数为$\frac{0× m+1× n}{m+n}=\frac{m}{2m}=0.5$,故①正确；②第1组数据的平均数为$\frac{0+0+0+1+1+1}{6}=0.5$,当$m＞n$时,$m+n＞2n$,则第2组数据的平均数为$\frac{0× m+1× n}{m+n}=\frac{n}{m+n}＜\frac{n}{2n}=0.5$,$\therefore$ 第1组数据的平均数大于第2组数据的平均数,故②错误；③第1组数据的中位数是$\frac{0+1}{2}=0.5$,当$m＜n$时,若$m+n$是奇数,则第2组数据的中位数是1;若$m+n$是偶数,则第2组数据的中位数是$\frac{1+1}{2}=1$;即当$m＜n$时,第2组数据的中位数是1,$\therefore$ 当$m＜n$时,第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数,故③正确；④第1组数据的方差为$\frac{(0-0.5)^2×3+(1-0.5)^2×3}{6}=0.25$,当$m=n$时,第2组数据的方差为$\frac{(0-0.5)^2× m+(1-0.5)^2× n}{m+n}=0.25$,$\therefore$ 当$m=n$时,第2组数据的方差等于第1组数据的方差,故④错误.综上所述,其中正确的结论是①③.
解析
【分析】
要判断四个结论的正确性，需先明确平均数、中位数、方差的计算方法，再计算第1组数据的对应统计量，结合第2组数据中m、n的关系，逐一对比两组数据的统计量，进而判断每个结论是否成立。
【解析】
首先计算第1组数据的统计量：
第1组数据为0,0,0,1,1,1，共6个数据，其中0有3个，1有3个。
平均数：$\bar{x}_1 = \frac{0×3 + 1×3}{6} = 0.5$；
中位数：排序后第3个数据为0，第4个数据为1，故中位数为$\frac{0+1}{2}=0.5$；
方差：$s_1^2 = \frac{3×(0-0.5)^2 + 3×(1-0.5)^2}{6} = \frac{3×0.25 + 3×0.25}{6} = 0.25$。
再分析第2组数据（共m个0，n个1，m、n为正整数）的统计量，逐一判断结论：
1. 结论①：当$m=n$时，第2组数据的平均数$\bar{x}_2 = \frac{0×m +1×n}{m+n} = \frac{m}{2m}=0.5$，与$\bar{x}_1=0.5$相等，故①正确；
2. 结论②：当$m＞n$时，第2组数据的平均数$\bar{x}_2 = \frac{n}{m+n}$，因$m+n＞2n$，故$\frac{n}{m+n} ＜ \frac{n}{2n}=0.5$，即$\bar{x}_2 ＜ \bar{x}_1=0.5$，第1组平均数更大，故②错误；
3. 结论③：第1组中位数为0.5；当$m＜n$时，第2组数据中0的个数为m，1的个数为n，因$m＜n$，排序后所有0在前、所有1在后，总数据个数为$m+n$：
若$m+n$为奇数，中位数为第$\frac{m+n+1}{2}$个数据，因$m＜n$，该位置大于m，对应数据为1；
若$m+n$为偶数，中位数为第$\frac{m+n}{2}$和$\frac{m+n}{2}+1$个数据，均为1；
故当$m＜n$时，第2组中位数为1，大于第1组的0.5，③正确；
4. 结论④：当$m=n$时，第2组方差$s_2^2 = \frac{m×(0-0.5)^2 +n×(1-0.5)^2}{m+n} = \frac{m×0.25 +m×0.25}{2m}=0.25$，与$s_1^2=0.25$相等，故④错误。
综上，正确结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
平均数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计量的计算与应用，需熟练掌握平均数、中位数、方差的定义，针对不同参数关系分析对应统计量，尤其注意中位数的位置判断，避免因总个数奇偶性导致的错误。
【难度系数】
0.6
要判断四个结论的正确性，需先明确平均数、中位数、方差的计算方法，再计算第1组数据的对应统计量，结合第2组数据中m、n的关系，逐一对比两组数据的统计量，进而判断每个结论是否成立。
【解析】
首先计算第1组数据的统计量：
第1组数据为0,0,0,1,1,1，共6个数据，其中0有3个，1有3个。
平均数：$\bar{x}_1 = \frac{0×3 + 1×3}{6} = 0.5$；
中位数：排序后第3个数据为0，第4个数据为1，故中位数为$\frac{0+1}{2}=0.5$；
方差：$s_1^2 = \frac{3×(0-0.5)^2 + 3×(1-0.5)^2}{6} = \frac{3×0.25 + 3×0.25}{6} = 0.25$。
再分析第2组数据（共m个0，n个1，m、n为正整数）的统计量，逐一判断结论：
1. 结论①：当$m=n$时，第2组数据的平均数$\bar{x}_2 = \frac{0×m +1×n}{m+n} = \frac{m}{2m}=0.5$，与$\bar{x}_1=0.5$相等，故①正确；
2. 结论②：当$m＞n$时，第2组数据的平均数$\bar{x}_2 = \frac{n}{m+n}$，因$m+n＞2n$，故$\frac{n}{m+n} ＜ \frac{n}{2n}=0.5$，即$\bar{x}_2 ＜ \bar{x}_1=0.5$，第1组平均数更大，故②错误；
3. 结论③：第1组中位数为0.5；当$m＜n$时，第2组数据中0的个数为m，1的个数为n，因$m＜n$，排序后所有0在前、所有1在后，总数据个数为$m+n$：
若$m+n$为奇数，中位数为第$\frac{m+n+1}{2}$个数据，因$m＜n$，该位置大于m，对应数据为1；
若$m+n$为偶数，中位数为第$\frac{m+n}{2}$和$\frac{m+n}{2}+1$个数据，均为1；
故当$m＜n$时，第2组中位数为1，大于第1组的0.5，③正确；
4. 结论④：当$m=n$时，第2组方差$s_2^2 = \frac{m×(0-0.5)^2 +n×(1-0.5)^2}{m+n} = \frac{m×0.25 +m×0.25}{2m}=0.25$，与$s_1^2=0.25$相等，故④错误。
综上，正确结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
平均数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计量的计算与应用，需熟练掌握平均数、中位数、方差的定义，针对不同参数关系分析对应统计量，尤其注意中位数的位置判断，避免因总个数奇偶性导致的错误。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共44分)
15. (8分)(2026·鹰潭期末)甲、乙两组的测试成绩如下：
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98;
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1)求甲组数据的四分位数；
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图,观察图中乙组的箱线图,绘制甲组的箱线图;
(3)根据箱线图和对四分位数的理解可得
15. (8分)(2026·鹰潭期末)甲、乙两组的测试成绩如下：
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98;
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1)求甲组数据的四分位数；
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图,观察图中乙组的箱线图,绘制甲组的箱线图;
(3)根据箱线图和对四分位数的理解可得
甲
组成绩波动大.答案
15.(1)将甲组的成绩从小到大排列为60,70,70,80,89,91,92,96,98,100,则$m_{25}=70$,$m_{50}=\frac{89+91}{2}=90$,$m_{75}=96$.
(2)如图所示.
(3)甲 解析:根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同,甲组成绩明显比乙组的波动大.
解析
【分析】
要解决本题，需分三步进行：①计算甲组的四分位数，首先将甲组数据从小到大排序，再根据四分位数的位置公式（i=n×p，p为分位比例，n为数据个数）确定分位数，若i为整数，分位数为第i项与第i+1项数据的平均数；若i非整数，向上取整后对应位置的数据即为分位数；②绘制甲组箱线图，需先确定甲组数据的最小值、第一四分位数（Q₁）、中位数（Q₂）、第三四分位数（Q₃）、最大值，再对应箱线图的结构绘制；③判断成绩波动大小，通过箱线图的离散程度（如数据范围、四分位距）对比两组数据，离散程度越大则波动越大。
【解析】
(1) 先将甲组数据从小到大排列：60,70,70,80,89,91,92,96,98,100，共10个数据。
25%分位数：i=10×25%=2.5，向上取整为3，第3个数据为70，故$m_{25}=70$；
50%分位数（中位数）：i=10×50%=5，为整数，取第5、6个数据的平均数，即$\frac{89+91}{2}=90$，故$m_{50}=90$；
75%分位数：i=10×75%=7.5，向上取整为8，第8个数据为96，故$m_{75}=96$。
(2) 甲组箱线图的五个特征值为：最小值60，$Q_1=70$，中位数90，$Q_3=96$，最大值100，绘制的箱线图如下：
(3) 对比两组箱线图，甲组数据的范围（60~100）大于乙组（70~96），四分位距（$Q_3-Q_1$）甲组为$96-70=26$，乙组为$93-80=13$，甲组数据更分散，故甲组成绩波动大。
【答案】
(1) 甲组的25%分位数为70，50%分位数为90，75%分位数为96；
(2)；
(3) 甲
【知识点】
四分位数计算、箱线图、数据离散程度
【点评】
本题考查统计中四分位数的计算、箱线图的绘制及数据波动的判断，是统计模块的基础应用题型，需掌握四分位数的计算规则和箱线图的意义，整体难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需分三步进行：①计算甲组的四分位数，首先将甲组数据从小到大排序，再根据四分位数的位置公式（i=n×p，p为分位比例，n为数据个数）确定分位数，若i为整数，分位数为第i项与第i+1项数据的平均数；若i非整数，向上取整后对应位置的数据即为分位数；②绘制甲组箱线图，需先确定甲组数据的最小值、第一四分位数（Q₁）、中位数（Q₂）、第三四分位数（Q₃）、最大值，再对应箱线图的结构绘制；③判断成绩波动大小，通过箱线图的离散程度（如数据范围、四分位距）对比两组数据，离散程度越大则波动越大。
【解析】
(1) 先将甲组数据从小到大排列：60,70,70,80,89,91,92,96,98,100，共10个数据。
25%分位数：i=10×25%=2.5，向上取整为3，第3个数据为70，故$m_{25}=70$；
50%分位数（中位数）：i=10×50%=5，为整数，取第5、6个数据的平均数，即$\frac{89+91}{2}=90$，故$m_{50}=90$；
75%分位数：i=10×75%=7.5，向上取整为8，第8个数据为96，故$m_{75}=96$。
(2) 甲组箱线图的五个特征值为：最小值60，$Q_1=70$，中位数90，$Q_3=96$，最大值100，绘制的箱线图如下：
(3) 对比两组箱线图，甲组数据的范围（60~100）大于乙组（70~96），四分位距（$Q_3-Q_1$）甲组为$96-70=26$，乙组为$93-80=13$，甲组数据更分散，故甲组成绩波动大。
【答案】
(1) 甲组的25%分位数为70，50%分位数为90，75%分位数为96；
(2)
；(3) 甲
【知识点】
四分位数计算、箱线图、数据离散程度
【点评】
本题考查统计中四分位数的计算、箱线图的绘制及数据波动的判断，是统计模块的基础应用题型，需掌握四分位数的计算规则和箱线图的意义，整体难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
16.（10分）新趋势 开放性试题 某公司欲招聘一名部门经理,对甲、乙、丙三名候选人进行了三项素质测试.各项测试成绩如表格所示(单位:分):
(1)根据实际需要,公司将专业知识、语言能力和综合素质三项测试得分按$4:3:1$的比例确定每个人的测试总成绩,此时谁将被录用?
(2)若最终乙被录取,设该公司专业知识、语言能力和综合素质三项测试得分按$x:y:1$的比例确定每个人的测试总成绩,则$x=$
(1)根据实际需要,公司将专业知识、语言能力和综合素质三项测试得分按$4:3:1$的比例确定每个人的测试总成绩,此时谁将被录用?
(2)若最终乙被录取,设该公司专业知识、语言能力和综合素质三项测试得分按$x:y:1$的比例确定每个人的测试总成绩,则$x=$
1
,$y=$8
.(写出$x$与$y$的一组整数值即可)答案
16.(1)甲的总成绩:$\frac{74×4+58×3+87×1}{4+3+1}=69.625$(分),乙的总成绩:$\frac{87×4+74×3+43×1}{4+3+1}=76.625$(分),丙的总成绩:$\frac{90×4+70×3+50×1}{4+3+1}=77.5$(分),$\because 77.5＞76.625＞69.625$,$\therefore$ 丙的总成绩最高,故此时丙将被录用.
(2)1 8(答案不唯一) 解析:$\because$ 乙的专业知识为87分,位于第二,语言能力为74分,位于第一,而综合素质为43分,位于第三,$\therefore$ 要使得乙被录用,则语言能力所占的权重要尽可能大,即$y$尽可能大.经过计算得当$x=1$,$y=8$时,甲的总成绩:$\frac{74×1+58×8+87×1}{1+8+1}=62.5$(分),乙的总成绩:$\frac{87×1+74×8+43×1}{1+8+1}=72.2$(分),丙的总成绩:$\frac{90×1+70×8+50×1}{1+8+1}=70$(分),符合要求.
(2)1 8(答案不唯一) 解析:$\because$ 乙的专业知识为87分,位于第二,语言能力为74分,位于第一,而综合素质为43分,位于第三,$\therefore$ 要使得乙被录用,则语言能力所占的权重要尽可能大,即$y$尽可能大.经过计算得当$x=1$,$y=8$时,甲的总成绩:$\frac{74×1+58×8+87×1}{1+8+1}=62.5$(分),乙的总成绩:$\frac{87×1+74×8+43×1}{1+8+1}=72.2$(分),丙的总成绩:$\frac{90×1+70×8+50×1}{1+8+1}=70$(分),符合要求.
解析
【分析】
本题分为两小问，均考查加权平均数的实际应用。第(1)问需根据给定的权重比例，利用加权平均数公式分别计算三人的总成绩，比较后确定录用者；第(2)问要使乙被录取，需结合三人成绩的排名特点，调整权重比例，找到满足乙总成绩最高的一组整数x、y。
【解析】
(1) 加权平均数公式为：总成绩 = $\frac{专业知识成绩×权重1 + 语言能力成绩×权重2 + 综合素质成绩×权重3}{权重和}$，已知权重比为4:3:1，权重和为8，分别计算三人总成绩：
甲的总成绩：$\frac{74×4 + 58×3 + 87×1}{8} = \frac{296 + 174 + 87}{8} = 69.625$（分）；
乙的总成绩：$\frac{87×4 + 74×3 + 43×1}{8} = \frac{348 + 222 + 43}{8} = 76.625$（分）；
丙的总成绩：$\frac{90×4 + 70×3 + 50×1}{8} = \frac{360 + 210 + 50}{8} = 77.5$（分）；
因为 $77.5＞76.625＞69.625$，所以丙的总成绩最高，此时丙将被录用。
(2) 要使乙被录取，需让乙的加权总成绩最高。观察成绩：乙的语言能力成绩（74分）是三人中最高的，专业知识排第二，综合素质排第三，因此增大语言能力的权重（y尽可能大），取整数x=1，y=8，计算三人总成绩：
甲的总成绩：$\frac{74×1 + 58×8 + 87×1}{1+8+1} = \frac{74 + 464 + 87}{10} = 62.5$（分）；
乙的总成绩：$\frac{87×1 + 74×8 + 43×1}{10} = \frac{87 + 592 + 43}{10} = 72.2$（分）；
丙的总成绩：$\frac{90×1 + 70×8 + 50×1}{10} = \frac{90 + 560 + 50}{10} = 70$（分）；
此时乙的总成绩最高，满足条件，故x=1，y=8（答案不唯一）。
【答案】
(1) 丙将被录用；(2) 1，8（答案不唯一）
【知识点】
加权平均数，比例分配
【点评】
本题结合招聘场景考查加权平均数的应用，第(1)问是基础计算，第(2)问需结合数据分析权重的影响，具有开放性，能考查学生的数据分析能力。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，均考查加权平均数的实际应用。第(1)问需根据给定的权重比例，利用加权平均数公式分别计算三人的总成绩，比较后确定录用者；第(2)问要使乙被录取，需结合三人成绩的排名特点，调整权重比例，找到满足乙总成绩最高的一组整数x、y。
【解析】
(1) 加权平均数公式为：总成绩 = $\frac{专业知识成绩×权重1 + 语言能力成绩×权重2 + 综合素质成绩×权重3}{权重和}$，已知权重比为4:3:1，权重和为8，分别计算三人总成绩：
甲的总成绩：$\frac{74×4 + 58×3 + 87×1}{8} = \frac{296 + 174 + 87}{8} = 69.625$（分）；
乙的总成绩：$\frac{87×4 + 74×3 + 43×1}{8} = \frac{348 + 222 + 43}{8} = 76.625$（分）；
丙的总成绩：$\frac{90×4 + 70×3 + 50×1}{8} = \frac{360 + 210 + 50}{8} = 77.5$（分）；
因为 $77.5＞76.625＞69.625$，所以丙的总成绩最高，此时丙将被录用。
(2) 要使乙被录取，需让乙的加权总成绩最高。观察成绩：乙的语言能力成绩（74分）是三人中最高的，专业知识排第二，综合素质排第三，因此增大语言能力的权重（y尽可能大），取整数x=1，y=8，计算三人总成绩：
甲的总成绩：$\frac{74×1 + 58×8 + 87×1}{1+8+1} = \frac{74 + 464 + 87}{10} = 62.5$（分）；
乙的总成绩：$\frac{87×1 + 74×8 + 43×1}{10} = \frac{87 + 592 + 43}{10} = 72.2$（分）；
丙的总成绩：$\frac{90×1 + 70×8 + 50×1}{10} = \frac{90 + 560 + 50}{10} = 70$（分）；
此时乙的总成绩最高，满足条件，故x=1，y=8（答案不唯一）。
【答案】
(1) 丙将被录用；(2) 1，8（答案不唯一）
【知识点】
加权平均数，比例分配
【点评】
本题结合招聘场景考查加权平均数的应用，第(1)问是基础计算，第(2)问需结合数据分析权重的影响，具有开放性，能考查学生的数据分析能力。
【难度系数】
0.5
