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7.(南京中考)某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)分别是180，184，188，190，192，194.现用一名身高为186 cm的队员换下场上身高为192 cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（
A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大
A
）A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大
答案
7. A 解析:原本 6 名队员身高的平均数为 $(180+184+188+190+192+194)÷6=188$,
∵ $186＜192$ 且 $|186-188|＜|192-188|$,
∴ 与换人前相比,场上队员的身高平均数变小,方差变小.
∵ $186＜192$ 且 $|186-188|＜|192-188|$,
∴ 与换人前相比,场上队员的身高平均数变小,方差变小.
解析
【分析】
要判断换人与换人前的身高平均数和方差变化，需先分别计算换人前、后的平均数，再计算两者的方差，通过比较得出结论。首先，平均数与总和、人数有关，换人后总和减少，人数不变，可直接判断平均数变化；方差反映数据波动，需计算数据与平均数的差的平方和，再除以人数，比较平方和的变化即可判断方差变化。
【解析】
1. 计算换人前的平均数：
换人前6名队员身高总和为 $180+184+188+190+192+194 = 1128$，
平均数为 $1128÷6 = 188$。
2. 计算换人后的平均数：
换人后身高总和为 $1128 - 192 + 186 = 1122$，
平均数为 $1122÷6 = 187$，因此平均数变小。
3. 计算换人前的方差：
换人前方差 $s_1^2 = \frac{1}{6}[(180-188)^2 + (184-188)^2 + (188-188)^2 + (190-188)^2 + (192-188)^2 + (194-188)^2]$
$= \frac{1}{6}[64 + 16 + 0 + 4 + 16 + 36] = \frac{136}{6} = \frac{68}{3}$。
4. 计算换人后的方差：
换人后方差 $s_2^2 = \frac{1}{6}[(180-187)^2 + (184-187)^2 + (188-187)^2 + (190-187)^2 + (186-187)^2 + (194-187)^2]$
$= \frac{1}{6}[49 + 9 + 1 + 9 + 1 + 49] = \frac{118}{6} = \frac{59}{3}$，因此方差变小。
综上，平均数变小，方差变小，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数，方差
【点评】
本题考查统计中平均数与方差的计算，属于基础题型，需掌握两者的计算公式，通过计算或差值分析判断数据变化，难度适中。
【难度系数】
0.6
要判断换人与换人前的身高平均数和方差变化，需先分别计算换人前、后的平均数，再计算两者的方差，通过比较得出结论。首先，平均数与总和、人数有关，换人后总和减少，人数不变，可直接判断平均数变化；方差反映数据波动，需计算数据与平均数的差的平方和，再除以人数，比较平方和的变化即可判断方差变化。
【解析】
1. 计算换人前的平均数：
换人前6名队员身高总和为 $180+184+188+190+192+194 = 1128$，
平均数为 $1128÷6 = 188$。
2. 计算换人后的平均数：
换人后身高总和为 $1128 - 192 + 186 = 1122$，
平均数为 $1122÷6 = 187$，因此平均数变小。
3. 计算换人前的方差：
换人前方差 $s_1^2 = \frac{1}{6}[(180-188)^2 + (184-188)^2 + (188-188)^2 + (190-188)^2 + (192-188)^2 + (194-188)^2]$
$= \frac{1}{6}[64 + 16 + 0 + 4 + 16 + 36] = \frac{136}{6} = \frac{68}{3}$。
4. 计算换人后的方差：
换人后方差 $s_2^2 = \frac{1}{6}[(180-187)^2 + (184-187)^2 + (188-187)^2 + (190-187)^2 + (186-187)^2 + (194-187)^2]$
$= \frac{1}{6}[49 + 9 + 1 + 9 + 1 + 49] = \frac{118}{6} = \frac{59}{3}$，因此方差变小。
综上，平均数变小，方差变小，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数，方差
【点评】
本题考查统计中平均数与方差的计算，属于基础题型，需掌握两者的计算公式，通过计算或差值分析判断数据变化，难度适中。
【难度系数】
0.6
8. (2024·常州中考)小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩(单位:m)，此时这组成绩的平均数是 20 m，方差是 $s_{1}^{2}\ \mathrm{m}^2$. 若第 10 次投掷标枪的落点恰好在 20 m 线上，且投掷结束后这组成绩的方差是 $s_{2}^{2}\ \mathrm{m}^2$，则 $s_{1}^{2}$
＞
$s_{2}^{2}$(填“＞”“=”或“＜”).答案
8. ＞ 解析:设这组数据前 9 个数分别为 $x_1,x_2,\dots,x_9$,由题意可知,$s_1^2=\dfrac{1}{9}[(x_1-20)^2+(x_2-20)^2+\dots+(x_9-20)^2]$,$s_2^2=\dfrac{1}{10}[(x_1-20)^2+(x_2-20)^2+\dots+(x_9-20)^2+(20-20)^2]=\dfrac{1}{10}[(x_1-20)^2+(x_2-20)^2+\dots+(x_9-20)^2],\therefore s_1^2＞s_2^2$.
解析
【分析】
要比较$s_1^2$和$s_2^2$的大小，需先明确方差的计算公式。已知前9次成绩的平均数为20，先写出前9次方差的表达式；再根据第10次成绩为20，写出10次成绩的方差表达式，通过对比两个表达式的结构即可得出结论。
【解析】
设前9次成绩为$x_1,x_2,\dots,x_9$，由题意，前9次成绩的平均数是20。
根据方差公式：
前9次的方差$s_1^2=\frac{1}{9}[(x_1 - 20)^2 + (x_2 - 20)^2 + \dots + (x_9 - 20)^2]$；
第10次成绩为20，因此10次成绩的方差：
$s_2^2=\frac{1}{10}[(x_1 - 20)^2 + (x_2 - 20)^2 + \dots + (x_9 - 20)^2 + (20 - 20)^2]$，
因为$(20 - 20)^2=0$，所以$s_2^2=\frac{1}{10}[(x_1 - 20)^2 + \dots + (x_9 - 20)^2]$。
对比两个方差：$s_1^2=\frac{1}{9}S$（其中$S=(x_1 - 20)^2 + \dots + (x_9 - 20)^2$），$s_2^2=\frac{1}{10}S$，由于$\frac{1}{9}＞\frac{1}{10}$，故$s_1^2＞s_2^2$。
【答案】
＞
【知识点】
方差、平均数
【点评】
本题考查方差的计算，核心是掌握方差公式，通过对比添加数据前后方差的表达式判断大小，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.5
要比较$s_1^2$和$s_2^2$的大小，需先明确方差的计算公式。已知前9次成绩的平均数为20，先写出前9次方差的表达式；再根据第10次成绩为20，写出10次成绩的方差表达式，通过对比两个表达式的结构即可得出结论。
【解析】
设前9次成绩为$x_1,x_2,\dots,x_9$，由题意，前9次成绩的平均数是20。
根据方差公式：
前9次的方差$s_1^2=\frac{1}{9}[(x_1 - 20)^2 + (x_2 - 20)^2 + \dots + (x_9 - 20)^2]$；
第10次成绩为20，因此10次成绩的方差：
$s_2^2=\frac{1}{10}[(x_1 - 20)^2 + (x_2 - 20)^2 + \dots + (x_9 - 20)^2 + (20 - 20)^2]$，
因为$(20 - 20)^2=0$，所以$s_2^2=\frac{1}{10}[(x_1 - 20)^2 + \dots + (x_9 - 20)^2]$。
对比两个方差：$s_1^2=\frac{1}{9}S$（其中$S=(x_1 - 20)^2 + \dots + (x_9 - 20)^2$），$s_2^2=\frac{1}{10}S$，由于$\frac{1}{9}＞\frac{1}{10}$，故$s_1^2＞s_2^2$。
【答案】
＞
【知识点】
方差、平均数
【点评】
本题考查方差的计算，核心是掌握方差公式，通过对比添加数据前后方差的表达式判断大小，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.5
9. (1) (2026·宿迁校级月考)若一组数据 4,$x$,5,$y$,7,9 的平均数为 6,众数为 5,则这组数据的方差为
(2) (菏泽中考)一组数据 4,5,6,$x$ 的众数与中位数相等,则这组数据的方差是
$\dfrac{8}{3}$
.(2) (菏泽中考)一组数据 4,5,6,$x$ 的众数与中位数相等,则这组数据的方差是
$\dfrac{1}{2}$
.答案
9. (1)$\dfrac{8}{3}$ 解析:由题意知 $4+x+5+y+7+9=6×6$,$\therefore x+y=11$,又这组数据的众数为 5,
∴ 这组数据为 4,5,5,6,7,9,则这组数据的方差为 $\dfrac{1}{6}×[(4-6)^2+2×(5-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(9-6)^2]=\dfrac{8}{3}$.
(2)$\dfrac{1}{2}$ 解析:若众数为 4,则数据为 4,4,5,6,此时中位数为 4.5,不符合题意;若众数为 5,则数据为 4,5,5,6,中位数为 5,符合题意,此时平均数为 $\dfrac{4+5+5+6}{4}=5$,方差为 $\dfrac{1}{4}×[(4-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2]=\dfrac{1}{2}$;若众数为 6,则数据为 4,5,6,6,此时中位数为 5.5,不符合题意.
∴ 这组数据为 4,5,5,6,7,9,则这组数据的方差为 $\dfrac{1}{6}×[(4-6)^2+2×(5-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(9-6)^2]=\dfrac{8}{3}$.
(2)$\dfrac{1}{2}$ 解析:若众数为 4,则数据为 4,4,5,6,此时中位数为 4.5,不符合题意;若众数为 5,则数据为 4,5,5,6,中位数为 5,符合题意,此时平均数为 $\dfrac{4+5+5+6}{4}=5$,方差为 $\dfrac{1}{4}×[(4-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2]=\dfrac{1}{2}$;若众数为 6,则数据为 4,5,6,6,此时中位数为 5.5,不符合题意.
解析
【分析】
第(1)问：已知数据的平均数为6，根据平均数公式可求出x与y的和；再由众数为5，确定x、y的值，最后代入方差公式计算方差。第(2)问：众数是出现次数最多的数，分情况讨论众数为4、5、6时，对应的中位数是否与众数相等，找到符合条件的情况后，计算平均数，再代入方差公式求方差。
【解析】
(1) 由平均数的定义，得：
$\frac{4 + x + 5 + y + 7 + 9}{6} = 6$，
化简得：$25 + x + y = 36$，即$x + y = 11$。
因为众数为5，所以5在数据中出现次数最多，结合$x + y =11$，可得数据为4,5,5,6,7,9。
根据方差公式：
$s^2 = \frac{1}{6}[(4-6)^2 + 2×(5-6)^2 + (6-6)^2 + (7-6)^2 + (9-6)^2]$
$= \frac{1}{6}[4 + 2×1 + 0 + 1 + 9] = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$。
(2) 数据4,5,6,x的众数可能为4、5、6，分情况讨论：
① 若众数为4，则数据为4,4,5,6，此时中位数为$\frac{4+5}{2}=4.5≠4$，不符合题意；
② 若众数为5，则数据为4,5,5,6，此时中位数为$\frac{5+5}{2}=5$，符合题意。此时平均数为$\frac{4+5+5+6}{4}=5$，方差为：
$s^2 = \frac{1}{4}[(4-5)^2 + (5-5)^2 + (5-5)^2 + (6-5)^2] = \frac{1}{4}[1 + 0 + 0 +1] = \frac{1}{2}$；
③ 若众数为6，则数据为4,5,6,6，此时中位数为$\frac{5+6}{2}=5.5≠6$，不符合题意。
【答案】
(1)$\dfrac{8}{3}$；(2)$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
平均数、众数、中位数、方差
【点评】
本题综合考查统计中核心统计量的计算，需熟练掌握各统计量的定义与公式，分情况讨论的思想是解题关键，属于统计模块的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)问：已知数据的平均数为6，根据平均数公式可求出x与y的和；再由众数为5，确定x、y的值，最后代入方差公式计算方差。第(2)问：众数是出现次数最多的数，分情况讨论众数为4、5、6时，对应的中位数是否与众数相等，找到符合条件的情况后，计算平均数，再代入方差公式求方差。
【解析】
(1) 由平均数的定义，得：
$\frac{4 + x + 5 + y + 7 + 9}{6} = 6$，
化简得：$25 + x + y = 36$，即$x + y = 11$。
因为众数为5，所以5在数据中出现次数最多，结合$x + y =11$，可得数据为4,5,5,6,7,9。
根据方差公式：
$s^2 = \frac{1}{6}[(4-6)^2 + 2×(5-6)^2 + (6-6)^2 + (7-6)^2 + (9-6)^2]$
$= \frac{1}{6}[4 + 2×1 + 0 + 1 + 9] = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$。
(2) 数据4,5,6,x的众数可能为4、5、6，分情况讨论：
① 若众数为4，则数据为4,4,5,6，此时中位数为$\frac{4+5}{2}=4.5≠4$，不符合题意；
② 若众数为5，则数据为4,5,5,6，此时中位数为$\frac{5+5}{2}=5$，符合题意。此时平均数为$\frac{4+5+5+6}{4}=5$，方差为：
$s^2 = \frac{1}{4}[(4-5)^2 + (5-5)^2 + (5-5)^2 + (6-5)^2] = \frac{1}{4}[1 + 0 + 0 +1] = \frac{1}{2}$；
③ 若众数为6，则数据为4,5,6,6，此时中位数为$\frac{5+6}{2}=5.5≠6$，不符合题意。
【答案】
(1)$\dfrac{8}{3}$；(2)$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
平均数、众数、中位数、方差
【点评】
本题综合考查统计中核心统计量的计算，需熟练掌握各统计量的定义与公式，分情况讨论的思想是解题关键，属于统计模块的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
10. (1) 根据所给数据计算并填空：
A:$1,2,3,4,5,\overline{x}_A=$
B:$6,7,8,9,10,\overline{x}_B=$
C:$2,4,6,8,10,\overline{x}_C=$
(2) 仔细观察(1)中的各组数据的计算结果，由此可以发现：
(3) 根据你的发现,猜想:如果一组数据 $x_1$,$x_2,···,x_{10}$ 的平均数是 $\overline{x}$,方差是 $s^2$,那么另一组新数据 $10x_1+3,10x_2+3,···,10x_{10}+3$ 的平均数是
(4) 应用:某次数学测验满分为 100,某班的平均成绩为 75,方差为 10. 若把每位同学的成绩按满分 120 进行换算,则换算后的平均成绩与方差分别是
A:$1,2,3,4,5,\overline{x}_A=$
3
,$s_A^2=$2
；B:$6,7,8,9,10,\overline{x}_B=$
8
,$s_B^2=$2
；C:$2,4,6,8,10,\overline{x}_C=$
6
,$s_C^2=$8
.(2) 仔细观察(1)中的各组数据的计算结果，由此可以发现：
比较A组与B组数据,发现B组数据是A组每个数据都加5得到的,$\overline{x}_B=\overline{x}_A+5=8$,$s_B^2=s_A^2$;比较A组与C组数据,发现C组数据是A组每个数据都乘2得到的,$\overline{x}_C=2\overline{x}_A=6$,$s_C^2=4s_A^2=2^2s_A^2$(合理即可)
.(3) 根据你的发现,猜想:如果一组数据 $x_1$,$x_2,···,x_{10}$ 的平均数是 $\overline{x}$,方差是 $s^2$,那么另一组新数据 $10x_1+3,10x_2+3,···,10x_{10}+3$ 的平均数是
$10\overline{x}+3$
,方差是$100s^2$
.(4) 应用:某次数学测验满分为 100,某班的平均成绩为 75,方差为 10. 若把每位同学的成绩按满分 120 进行换算,则换算后的平均成绩与方差分别是
90,14.4
.答案
10. (1)3 2 8 2 6 8 解析:A:1,2,3,4,5,$\overline{x}_A=\dfrac{1+2+3+4+5}{5}=3$,$s_A^2=\dfrac{(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2}{5}=2$；
B:6,7,8,9,10,$\overline{x}_B=\dfrac{6+7+8+9+10}{5}=8$,
$s_B^2=\dfrac{(6-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2}{5}=2$；
C:2,4,6,8,10,$\overline{x}_C=\dfrac{2+4+6+8+10}{5}=6$,
$s_C^2=\dfrac{(2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2}{5}=8$.
(2) 比较 A 组与 B 组数据,发现 B 组数据是 A 组每个数据都加 5 得到的,$\overline{x}_B=\overline{x}_A+5=8$,$s_B^2=s_A^2$;比较 A 组与 C 组数据,发现 C 组数据是 A 组每个数据都乘 2 得到的,$\overline{x}_C=2\overline{x}_A=6$,$s_C^2=4s_A^2=2^2s_A^2$(合理即可)
(3)$10\overline{x}+3$ $100s^2$ 解析:由规律可得新数据的平均数为 $10\overline{x}+3$,方差为 $10^2· s^2=100s^2$.
(4)90,14.4 解析:设成绩分别为 $x_1,x_2,\dots,x_n$,平均成绩 $\overline{x}=\dfrac{1}{n}(x_1+x_2+x_3+\dots+x_n)=75$,方差 $s^2=\dfrac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=10$.换算后成绩分别为 $1.2x_1,1.2x_2,\dots,1.2x_n$,平均成绩 $\overline{x}'=\dfrac{1}{n}(1.2x_1+1.2x_2+\dots+1.2x_n)=1.2×\dfrac{1}{n}(x_1+x_2+x_3+\dots+x_n)=1.2\overline{x}=1.2×75=90$,方差 $s'^2=\dfrac{1}{n}[(1.2x_1-1.2\overline{x})^2+(1.2x_2-1.2\overline{x})^2+\dots+(1.2x_n-1.2\overline{x})^2]=1.2^2×\dfrac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=1.44×10=14.4$.故答案为 90,14.4.
B:6,7,8,9,10,$\overline{x}_B=\dfrac{6+7+8+9+10}{5}=8$,
$s_B^2=\dfrac{(6-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2}{5}=2$；
C:2,4,6,8,10,$\overline{x}_C=\dfrac{2+4+6+8+10}{5}=6$,
$s_C^2=\dfrac{(2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2}{5}=8$.
(2) 比较 A 组与 B 组数据,发现 B 组数据是 A 组每个数据都加 5 得到的,$\overline{x}_B=\overline{x}_A+5=8$,$s_B^2=s_A^2$;比较 A 组与 C 组数据,发现 C 组数据是 A 组每个数据都乘 2 得到的,$\overline{x}_C=2\overline{x}_A=6$,$s_C^2=4s_A^2=2^2s_A^2$(合理即可)
(3)$10\overline{x}+3$ $100s^2$ 解析:由规律可得新数据的平均数为 $10\overline{x}+3$,方差为 $10^2· s^2=100s^2$.
(4)90,14.4 解析:设成绩分别为 $x_1,x_2,\dots,x_n$,平均成绩 $\overline{x}=\dfrac{1}{n}(x_1+x_2+x_3+\dots+x_n)=75$,方差 $s^2=\dfrac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=10$.换算后成绩分别为 $1.2x_1,1.2x_2,\dots,1.2x_n$,平均成绩 $\overline{x}'=\dfrac{1}{n}(1.2x_1+1.2x_2+\dots+1.2x_n)=1.2×\dfrac{1}{n}(x_1+x_2+x_3+\dots+x_n)=1.2\overline{x}=1.2×75=90$,方差 $s'^2=\dfrac{1}{n}[(1.2x_1-1.2\overline{x})^2+(1.2x_2-1.2\overline{x})^2+\dots+(1.2x_n-1.2\overline{x})^2]=1.2^2×\dfrac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=1.44×10=14.4$.故答案为 90,14.4.
解析
【分析】
本题分为四个小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：明确平均数公式$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$和方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$，分别计算A、B、C三组数据的平均数和方差；
2. 第(2)问：对比A与B组（B组是A组每个数据加5）、A与C组（C组是A组每个数据乘2）的计算结果，归纳数据变换（加常数、乘常数）时平均数和方差的变化规律；
3. 第(3)问：将第(2)问总结的规律推广到一般情况，推导新数据$10x_i+3$的平均数和方差；
4. 第(4)问：将满分换算问题转化为“每个成绩乘1.2”的数据变换，应用第(3)问的规律计算换算后的平均成绩和方差。
【解析】
(1) 计算三组数据的平均数和方差：
A组（1,2,3,4,5）：$\overline{x}_A=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$，$s_A^2=\frac{(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$；
B组（6,7,8,9,10）：$\overline{x}_B=\frac{6+7+8+9+10}{5}=8$，$s_B^2=\frac{(6-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$；
C组（2,4,6,8,10）：$\overline{x}_C=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6$，$s_C^2=\frac{(2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2}{5}=\frac{16+4+0+4+16}{5}=8$；
(2) 对比规律：B组是A组每个数据加5，$\overline{x}_B=\overline{x}_A+5$，$s_B^2=s_A^2$；C组是A组每个数据乘2，$\overline{x}_C=2\overline{x}_A$，$s_C^2=2^2s_A^2$；即：一组数据每个数加常数$a$，平均数加$a$，方差不变；每个数乘常数$k$，平均数乘$k$，方差乘$k^2$；
(3) 新数据为$10x_i+3$，根据规律：平均数为$10\overline{x}+3$，方差为$10^2s^2=100s^2$；
(4) 满分从100换算为120，即每个成绩乘$\frac{120}{100}=1.2$，则换算后的平均成绩为$1.2×75=90$，方差为$1.2^2×10=1.44×10=14.4$；
【答案】
(1) $3$，$2$；$8$，$2$；$6$，$8$
(2) 一组数据每个数加常数，平均数加该常数，方差不变；每个数乘常数$k$，平均数乘$k$，方差乘$k^2$（合理即可）
(3) $10\overline{x}+3$，$100s^2$
(4) $90$，$14.4$
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，数据变换的统计规律
【点评】
本题是统计知识的基础应用题，通过具体数据计算归纳规律，再应用规律解决实际问题，体现了从特殊到一般的数学思想，考察学生对平均数、方差公式的掌握及规律的应用能力，是巩固统计基础知识的典型题目。
【难度系数】
0.7
本题分为四个小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：明确平均数公式$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$和方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$，分别计算A、B、C三组数据的平均数和方差；
2. 第(2)问：对比A与B组（B组是A组每个数据加5）、A与C组（C组是A组每个数据乘2）的计算结果，归纳数据变换（加常数、乘常数）时平均数和方差的变化规律；
3. 第(3)问：将第(2)问总结的规律推广到一般情况，推导新数据$10x_i+3$的平均数和方差；
4. 第(4)问：将满分换算问题转化为“每个成绩乘1.2”的数据变换，应用第(3)问的规律计算换算后的平均成绩和方差。
【解析】
(1) 计算三组数据的平均数和方差：
A组（1,2,3,4,5）：$\overline{x}_A=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$，$s_A^2=\frac{(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$；
B组（6,7,8,9,10）：$\overline{x}_B=\frac{6+7+8+9+10}{5}=8$，$s_B^2=\frac{(6-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$；
C组（2,4,6,8,10）：$\overline{x}_C=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6$，$s_C^2=\frac{(2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2}{5}=\frac{16+4+0+4+16}{5}=8$；
(2) 对比规律：B组是A组每个数据加5，$\overline{x}_B=\overline{x}_A+5$，$s_B^2=s_A^2$；C组是A组每个数据乘2，$\overline{x}_C=2\overline{x}_A$，$s_C^2=2^2s_A^2$；即：一组数据每个数加常数$a$，平均数加$a$，方差不变；每个数乘常数$k$，平均数乘$k$，方差乘$k^2$；
(3) 新数据为$10x_i+3$，根据规律：平均数为$10\overline{x}+3$，方差为$10^2s^2=100s^2$；
(4) 满分从100换算为120，即每个成绩乘$\frac{120}{100}=1.2$，则换算后的平均成绩为$1.2×75=90$，方差为$1.2^2×10=1.44×10=14.4$；
【答案】
(1) $3$，$2$；$8$，$2$；$6$，$8$
(2) 一组数据每个数加常数，平均数加该常数，方差不变；每个数乘常数$k$，平均数乘$k$，方差乘$k^2$（合理即可）
(3) $10\overline{x}+3$，$100s^2$
(4) $90$，$14.4$
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，数据变换的统计规律
【点评】
本题是统计知识的基础应用题，通过具体数据计算归纳规律，再应用规律解决实际问题，体现了从特殊到一般的数学思想，考察学生对平均数、方差公式的掌握及规律的应用能力，是巩固统计基础知识的典型题目。
【难度系数】
0.7
11. (2025·南通期中)如图所示,山脚下有两条上山的石阶路(图中的数表示每一级的高度,单位:cm).
(1)请你用学过的统计知识来判断走哪条路更舒适些;
(2)若为了方便游客,在保持石阶的个数不变,山的竖直高度不变的情况下,重新整修一下,请你帮助计算一下石阶的高度定为多少时走此路最舒适.(石阶的高低起伏小时,走路人会感到舒适)
(1)请你用学过的统计知识来判断走哪条路更舒适些;
(2)若为了方便游客,在保持石阶的个数不变,山的竖直高度不变的情况下,重新整修一下,请你帮助计算一下石阶的高度定为多少时走此路最舒适.(石阶的高低起伏小时,走路人会感到舒适)
答案
11. (1)$\overline{x}_甲=\dfrac{1}{6}×(21+20+21+19+19+20)=\dfrac{1}{6}×120=20(\mathrm{cm})$,
$\overline{x}_乙=\dfrac{1}{6}×(17+24+20+17+19+23)=\dfrac{1}{6}×120=20(\mathrm{cm})$,
$s_甲^2=\dfrac{1}{6}×[(21-20)^2+(20-20)^2+(21-20)^2+(19-20)^2+(19-20)^2+(20-20)^2]=\dfrac{1}{6}×(1+0+1+1+1+0)=\dfrac{2}{3}$,
$s_乙^2=\dfrac{1}{6}×[(17-20)^2+(24-20)^2+(20-20)^2+(17-20)^2+(19-20)^2+(23-20)^2]=\dfrac{1}{6}×(9+16+0+9+1+9)=\dfrac{22}{3}$.
$\because \dfrac{2}{3}＜\dfrac{22}{3}$,$\therefore$ 走甲石阶路更舒适些.
(2)将每一级台阶高度均整修为 20 cm(原数据的平均数),使得方差为 0,此时游客行走最舒适.
$\overline{x}_乙=\dfrac{1}{6}×(17+24+20+17+19+23)=\dfrac{1}{6}×120=20(\mathrm{cm})$,
$s_甲^2=\dfrac{1}{6}×[(21-20)^2+(20-20)^2+(21-20)^2+(19-20)^2+(19-20)^2+(20-20)^2]=\dfrac{1}{6}×(1+0+1+1+1+0)=\dfrac{2}{3}$,
$s_乙^2=\dfrac{1}{6}×[(17-20)^2+(24-20)^2+(20-20)^2+(17-20)^2+(19-20)^2+(23-20)^2]=\dfrac{1}{6}×(9+16+0+9+1+9)=\dfrac{22}{3}$.
$\because \dfrac{2}{3}＜\dfrac{22}{3}$,$\therefore$ 走甲石阶路更舒适些.
(2)将每一级台阶高度均整修为 20 cm(原数据的平均数),使得方差为 0,此时游客行走最舒适.
解析
【分析】要判断哪条路更舒适，需依据统计知识中“数据波动越小越稳定”的规律，用方差衡量台阶高度的波动程度，方差越小则起伏越小，走路越舒适。步骤：①计算甲、乙两条路台阶高度的平均数；②分别计算两条路台阶高度的方差；③比较方差大小，得出哪条路更舒适。第(2)问，保持总高度和台阶数不变，总高度等于平均数×台阶数，要让台阶最舒适需方差为0，即每个台阶高度等于平均数。
【解析】(1) 计算甲路台阶高度的平均数：$\overline{x}_甲=\frac{1}{6}×(21+20+21+19+19+20)=\frac{1}{6}×120=20(\mathrm{cm})$；乙路台阶高度的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{1}{6}×(17+24+20+17+19+23)=\frac{1}{6}×120=20(\mathrm{cm})$。计算方差：甲的方差$s_甲^2=\frac{1}{6}×[(21-20)^2+(20-20)^2+(21-20)^2+(19-20)^2+(19-20)^2+(20-20)^2]=\frac{1}{6}×(1+0+1+1+1+0)=\frac{2}{3}$；乙的方差$s_乙^2=\frac{1}{6}×[(17-20)^2+(24-20)^2+(20-20)^2+(17-20)^2+(19-20)^2+(23-20)^2]=\frac{1}{6}×(9+16+0+9+1+9)=\frac{22}{3}$。因为$\frac{2}{3}＜\frac{22}{3}$，所以走甲石阶路更舒适。(2) 总高度为$6×20=120\mathrm{cm}$，台阶数不变为6，要使台阶起伏最小（方差为0），则每个台阶高度为平均数20cm，此时游客行走最舒适。
【答案】(1) 走甲石阶路更舒适；(2) 石阶的高度定为20cm时走此路最舒适。
【知识点】平均数计算、方差计算、方差的意义
【点评】本题结合实际生活场景，考查统计知识在生活中的应用，通过平均数和方差判断数据稳定性，体现了数学与生活的联系，属于基础统计应用题。
【难度系数】0.6
【解析】(1) 计算甲路台阶高度的平均数：$\overline{x}_甲=\frac{1}{6}×(21+20+21+19+19+20)=\frac{1}{6}×120=20(\mathrm{cm})$；乙路台阶高度的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{1}{6}×(17+24+20+17+19+23)=\frac{1}{6}×120=20(\mathrm{cm})$。计算方差：甲的方差$s_甲^2=\frac{1}{6}×[(21-20)^2+(20-20)^2+(21-20)^2+(19-20)^2+(19-20)^2+(20-20)^2]=\frac{1}{6}×(1+0+1+1+1+0)=\frac{2}{3}$；乙的方差$s_乙^2=\frac{1}{6}×[(17-20)^2+(24-20)^2+(20-20)^2+(17-20)^2+(19-20)^2+(23-20)^2]=\frac{1}{6}×(9+16+0+9+1+9)=\frac{22}{3}$。因为$\frac{2}{3}＜\frac{22}{3}$，所以走甲石阶路更舒适。(2) 总高度为$6×20=120\mathrm{cm}$，台阶数不变为6，要使台阶起伏最小（方差为0），则每个台阶高度为平均数20cm，此时游客行走最舒适。
【答案】(1) 走甲石阶路更舒适；(2) 石阶的高度定为20cm时走此路最舒适。
【知识点】平均数计算、方差计算、方差的意义
【点评】本题结合实际生活场景，考查统计知识在生活中的应用，通过平均数和方差判断数据稳定性，体现了数学与生活的联系，属于基础统计应用题。
【难度系数】0.6
