登录
7. 如果 $ a ÷ b = 8 $（$ a $，$ b $ 都是不为 0 的自然数），它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
答案
b；a
解析
已知a和b都是不为0的自然数，且a÷b=8，说明a是b的8倍，a和b属于倍数关系。根据倍数关系下两个数的最大公因数和最小公倍数的规律：当两个非0自然数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数，较大的数是它们的最小公倍数。这里b是较小数，a是较大数，因此它们的最大公因数是b，最小公倍数是a。
8. 自然数a和b的最大公因数是1，那a和b的最小公倍数是（$\boldsymbol{ab}$）。
答案
ab
解析
自然数a和b的最大公因数是1，说明a和b是互质数，二者除了1之外没有其他的公因数，根据互质数的最小公倍数的计算规律，互质的两个数的最小公倍数等于这两个数的乘积，因此a和b的最小公倍数为a×b，也就是ab。
二、我会判。
1. 所有偶数的公因数是 2。 ()
2. 最小的质数是 2。 ()
3. 两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。 ()
4. 个位上是 3，6，9 的数都是 3 的倍数。 ()
5. 自然数越大，它的因数的个数就越多。 ()
1. 所有偶数的公因数是 2。 ()
2. 最小的质数是 2。 ()
3. 两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。 ()
4. 个位上是 3，6，9 的数都是 3 的倍数。 ()
5. 自然数越大，它的因数的个数就越多。 ()
答案
1. × 2. √ 3. × 4. × 5. ×
解析
1. 我们在非零自然数范围内研究因数和倍数，所有偶数的公因数除了2之外还有1，因此该说法错误。
2. 质数指只有1和它本身两个因数的数，比2小的自然数0、1都不符合质数的定义，因此最小的质数是2，该说法正确。
3. 当两个数为倍数关系时，它们的最小公倍数是两个数中较大的那个数，比如2和4的最小公倍数是4，并不比4大，因此该说法错误。
4. 3的倍数的特征是各个数位上的数字之和是3的倍数，和个位数字没有直接关系，比如13的个位是3，但它不是3的倍数，因此该说法错误。
5. 因数的个数和自然数的大小没有必然关联，比如101是比100大的质数，它只有2个因数，比100的因数总个数少，因此该说法错误。
2. 质数指只有1和它本身两个因数的数，比2小的自然数0、1都不符合质数的定义，因此最小的质数是2，该说法正确。
3. 当两个数为倍数关系时，它们的最小公倍数是两个数中较大的那个数，比如2和4的最小公倍数是4，并不比4大，因此该说法错误。
4. 3的倍数的特征是各个数位上的数字之和是3的倍数，和个位数字没有直接关系，比如13的个位是3，但它不是3的倍数，因此该说法错误。
5. 因数的个数和自然数的大小没有必然关联，比如101是比100大的质数，它只有2个因数，比100的因数总个数少，因此该说法错误。
1. 两个数的最大公因数是 4，最小公倍数是 24，这两个数不可能是（）。
A.4 和 24
B.8 和 12
C.8 和 24
A.4 和 24
B.8 和 12
C.8 和 24
答案
C
解析
分别计算各选项两个数的最大公因数和最小公倍数：
1. A选项：4和24的最大公因数是4，最小公倍数是24，符合已知条件；
2. B选项：8和12的最大公因数是4，最小公倍数是24，符合已知条件；
3. C选项：8和24的最大公因数是8，最小公倍数是24，不符合“最大公因数是4”的要求，因此这两个数不可能是C选项的数。
1. A选项：4和24的最大公因数是4，最小公倍数是24，符合已知条件；
2. B选项：8和12的最大公因数是4，最小公倍数是24，符合已知条件；
3. C选项：8和24的最大公因数是8，最小公倍数是24，不符合“最大公因数是4”的要求，因此这两个数不可能是C选项的数。
2. $a+1=b$（$a$和$b$是不为0的自然数），$a$和$b$的最小公倍数是（）。
A.$a$
B.$b$
C.$ab$
A.$a$
B.$b$
C.$ab$
答案
C
解析
已知a和b是不为0的自然数，且a+1=b，说明a和b是相邻的自然数，相邻的两个非0自然数只有公因数1，二者互质。互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积，也就是ab。
3. 一张长24厘米、宽18厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余。最少可以分成（）。
A.12个
B.15个
C.9个
D.6个
A.12个
B.15个
C.9个
D.6个
答案
A
解析
要分出数量最少的大小相等小正方形且没有剩余，小正方形的边长需要是24和18的最大公因数。先列举找公因数：24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，18的因数有1、2、3、6、9、18，二者的最大公因数是6，即小正方形最大边长为6厘米。长方向可分24÷6=4个，宽方向可分18÷6=3个，总个数为4×3=12个。
4. 2是8和12的（）。
A.公倍数
B.最小公倍数
C.公因数
D.最大公因数
A.公倍数
B.最小公倍数
C.公因数
D.最大公因数
答案
C
解析
先分别列举出8和12的所有因数：8的因数有1、2、4、8；12的因数有1、2、3、4、6、12。可以发现2是8和12共有的因数，属于公因数。同时8和12的最大公因数是4，最小公倍数是24，所有公倍数都大于等于24，因此排除A、B、D选项。
5. 每次选出两张数字卡片，分别按要求组成一个两位数。
9 4 1 0
（1）组成的数是最大的奇数：
（2）组成的数是最小的偶数：
（3）组成的数是5的倍数：
（4）组成的数既是2的倍数，又是3的倍数：
9 4 1 0
（1）组成的数是最大的奇数：
（2）组成的数是最小的偶数：
（3）组成的数是5的倍数：
（4）组成的数既是2的倍数，又是3的倍数：
答案
（1）91 （2）10 （3）10、40、90 （4）90
解析
我们结合奇数、偶数、2/3/5的倍数的特征逐一求解：
1. 求最大的奇数：奇数的个位只能是1、9，要得到最大的两位数，优先让十位数字尽可能大，十位选最大数9时，个位选奇数1得到91，是所有符合要求的奇数里最大的。
2. 求最小的偶数：偶数的个位只能是0、4，十位不能为0，要得到最小的两位数，优先让十位数字尽可能小，十位选最小的非0数1时，个位选0得到10，是所有符合要求的偶数里最小的。
3. 求5的倍数：5的倍数的个位只能是0或5，本题没有数字5，因此个位必须是0，对应的符合要求的两位数为10、40、90。
4. 求既是2的倍数又是3的倍数的数：先满足2的倍数特征（个位是0、4），同时满足3的倍数特征（两个数位的数字和是3的倍数），逐一验证后只有90符合要求。
1. 求最大的奇数：奇数的个位只能是1、9，要得到最大的两位数，优先让十位数字尽可能大，十位选最大数9时，个位选奇数1得到91，是所有符合要求的奇数里最大的。
2. 求最小的偶数：偶数的个位只能是0、4，十位不能为0，要得到最小的两位数，优先让十位数字尽可能小，十位选最小的非0数1时，个位选0得到10，是所有符合要求的偶数里最小的。
3. 求5的倍数：5的倍数的个位只能是0或5，本题没有数字5，因此个位必须是0，对应的符合要求的两位数为10、40、90。
4. 求既是2的倍数又是3的倍数的数：先满足2的倍数特征（个位是0、4），同时满足3的倍数特征（两个数位的数字和是3的倍数），逐一验证后只有90符合要求。
1. 求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。在（）里写每组的最大公因数，在［ ］里写每组的最小公倍数。
45 和 63 12 和 32 30 和 45 28 和 42
（） （） （） （）
［ ］ ［ ］ ［ ］ ［ ］
45 和 63 12 和 32 30 和 45 28 和 42
（） （） （） （）
［ ］ ［ ］ ［ ］ ［ ］
答案
最大公因数依次为（9）、（4）、（15）、（14）；对应的最小公倍数依次为［315］、［96］、［90］、［84］
解析
我们用五年级学习的短除法/分解质因数法计算每组数的最大公因数和最小公倍数：
1. 45和63：分解质因数得45=3×3×5，63=3×3×7，公有质因数的乘积3×3=9为最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的乘积3×3×5×7=315为最小公倍数。
2. 12和32：分解质因数得12=2×2×3，32=2×2×2×2×2，公有质因数的乘积2×2=4为最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的乘积2×2×3×2×2×2=96为最小公倍数。
3. 30和45：分解质因数得30=2×3×5，45=3×3×5，公有质因数的乘积3×5=15为最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的乘积2×3×3×5=90为最小公倍数。
4. 28和42：分解质因数得28=2×2×7，42=2×3×7，公有质因数的乘积2×7=14为最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的乘积2×7×2×3=84为最小公倍数。
1. 45和63：分解质因数得45=3×3×5，63=3×3×7，公有质因数的乘积3×3=9为最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的乘积3×3×5×7=315为最小公倍数。
2. 12和32：分解质因数得12=2×2×3，32=2×2×2×2×2，公有质因数的乘积2×2=4为最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的乘积2×2×3×2×2×2=96为最小公倍数。
3. 30和45：分解质因数得30=2×3×5，45=3×3×5，公有质因数的乘积3×5=15为最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的乘积2×3×3×5=90为最小公倍数。
4. 28和42：分解质因数得28=2×2×7，42=2×3×7，公有质因数的乘积2×7=14为最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的乘积2×7×2×3=84为最小公倍数。
2. 解决实际问题。
（1）把两根分别长24分米和30分米的木料锯成若干相等的小段而没有剩余，每段最长是多少分米？
（2）
（1）把两根分别长24分米和30分米的木料锯成若干相等的小段而没有剩余，每段最长是多少分米？
（2）
答案
（1）每段最长是6分米。
（2）买5千克规格的比较合适，因为95刚好能被5整除，购买19瓶正好是95千克，没有剩余，其余两种规格都无法通过整瓶购买刚好得到95千克油。
（2）买5千克规格的比较合适，因为95刚好能被5整除，购买19瓶正好是95千克，没有剩余，其余两种规格都无法通过整瓶购买刚好得到95千克油。
解析
（1）本题实质是求24和30的最大公因数：
先分别列举两个数的因数：
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30
两个数的公因数为1、2、3、6，其中最大的公因数是6，因此每段最长为6分米。
（2）要选择合适的规格，需满足购买整瓶后总重量刚好为95千克，没有剩余，分别计算95除以三种规格的结果：
① 95÷2=47（瓶）……1（千克），有余数，无法刚好凑出95千克；
② 95÷3=31（瓶）……2（千克），有余数，无法刚好凑出95千克；
③ 95÷5=19（瓶），没有余数，刚好可以用19瓶凑出95千克，没有多余的油。
因此选5千克规格的最合适。
先分别列举两个数的因数：
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30
两个数的公因数为1、2、3、6，其中最大的公因数是6，因此每段最长为6分米。
（2）要选择合适的规格，需满足购买整瓶后总重量刚好为95千克，没有剩余，分别计算95除以三种规格的结果：
① 95÷2=47（瓶）……1（千克），有余数，无法刚好凑出95千克；
② 95÷3=31（瓶）……2（千克），有余数，无法刚好凑出95千克；
③ 95÷5=19（瓶），没有余数，刚好可以用19瓶凑出95千克，没有多余的油。
因此选5千克规格的最合适。
