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14. 如图所示,刻度尺的中间位置紧贴桌子边缘,将橡皮放在刻度尺上,其右端与桌子边缘齐平,若橡皮的质量为$m_{1}$,刻度尺的质量为$m_{2}$,橡皮的长为$l$,当水平向右缓慢推动刻度尺的距离超过
$\frac {m_{1}l}{2(m_{1}+m_{2})}$
(用$m_{1}$、$m_{2}$、$l$表示)时,刻度尺会翻倒.答案
14. $\frac {m_{1}l}{2(m_{1}+m_{2})}$ 解析:当刻度尺刚好没有翻倒时,则以桌子边缘为支点,由于橡皮和刻度尺的重心在物体的几何中心上,则水平向右缓缓推动刻度尺的距离为刻度尺重力的力臂$L_{2}$,橡皮重力的力臂为$L_{1}=\frac {1}{2}l-L_{2}$,根据杠杆的平衡条件可得$G_{1}L_{1}=G_{2}L_{2}$,即$m_{1}g\left (\frac {1}{2}l-L_{2} \right )=m_{2}g×L_{2}$,解得$L_{2}=\frac {m_{1}l}{2(m_{1}+m_{2})}$.
解析
【分析】
这道题是杠杆平衡条件的实际应用，我们首先要明确刻度尺即将翻倒的临界状态：此时以桌子边缘作为杠杆的支点，系统刚好满足力矩平衡，一旦超过这个状态刻度尺就会翻倒。首先梳理初始位置的几何关系：初始时刻刻度尺中点紧贴桌边，说明刻度尺的重心初始就在支点处；橡皮右端和桌边齐平，橡皮总长为l，所以橡皮的重心初始位置在支点左侧、距离支点l/2的位置。当向右推动刻度尺的距离为x时，刻度尺的重心会向右移动x，此时刻度尺的重力产生使刻度尺绕支点向外翻倒的力矩，力臂就是x；同时橡皮随刻度尺向右移动x，橡皮的重心此时距离支点的距离为(l/2 - x)，在支点左侧，橡皮的重力产生阻碍刻度尺翻倒的力矩。临界状态下两个力矩平衡，代入杠杆平衡公式就可以解出临界的推动距离x。
【解析】
设向右推动刻度尺的临界距离为x，此时刻度尺刚好达到翻倒的临界状态，以桌子边缘为支点，根据杠杆平衡条件分析：
1. 刻度尺的重心在自身几何中心，向右移动x后，刻度尺重力的力臂为x，其产生的顺时针力矩为$G_2 x = m_2 g x$
2. 橡皮随刻度尺向右移动x，橡皮的重心原本在支点左侧l/2处，移动后橡皮重心距离支点的距离为$\frac{l}{2} - x$，橡皮重力产生的逆时针力矩为$G_1 · (\frac{l}{2} - x) = m_1 g (\frac{l}{2} - x)$
3. 临界平衡时顺时针力矩等于逆时针力矩：
$m_1 g ( \frac{1}{2}l - x ) = m_2 g x$
两边约去g，整理得：
$\frac{1}{2}m_1 l - m_1 x = m_2 x$
$\frac{1}{2}m_1 l = x(m_1 + m_2)$
解得：
$x = \frac{m_1 l}{2(m_1 + m_2)}$
【答案】
$\frac{m_1 l}{2(m_1 + m_2)}$
【知识点】
杠杆平衡条件，重心
【点评】
本题属于杠杆平衡的创新应用题型，核心是找准临界状态下支点两侧的力臂，易错点是容易搞错橡皮移动后对应的力臂长度，需要结合几何位置关系推导两个物体的重力力矩，避免直接代入错误的力臂导致结果出错。
【难度系数】
0.4
这道题是杠杆平衡条件的实际应用，我们首先要明确刻度尺即将翻倒的临界状态：此时以桌子边缘作为杠杆的支点，系统刚好满足力矩平衡，一旦超过这个状态刻度尺就会翻倒。首先梳理初始位置的几何关系：初始时刻刻度尺中点紧贴桌边，说明刻度尺的重心初始就在支点处；橡皮右端和桌边齐平，橡皮总长为l，所以橡皮的重心初始位置在支点左侧、距离支点l/2的位置。当向右推动刻度尺的距离为x时，刻度尺的重心会向右移动x，此时刻度尺的重力产生使刻度尺绕支点向外翻倒的力矩，力臂就是x；同时橡皮随刻度尺向右移动x，橡皮的重心此时距离支点的距离为(l/2 - x)，在支点左侧，橡皮的重力产生阻碍刻度尺翻倒的力矩。临界状态下两个力矩平衡，代入杠杆平衡公式就可以解出临界的推动距离x。
【解析】
设向右推动刻度尺的临界距离为x，此时刻度尺刚好达到翻倒的临界状态，以桌子边缘为支点，根据杠杆平衡条件分析：
1. 刻度尺的重心在自身几何中心，向右移动x后，刻度尺重力的力臂为x，其产生的顺时针力矩为$G_2 x = m_2 g x$
2. 橡皮随刻度尺向右移动x，橡皮的重心原本在支点左侧l/2处，移动后橡皮重心距离支点的距离为$\frac{l}{2} - x$，橡皮重力产生的逆时针力矩为$G_1 · (\frac{l}{2} - x) = m_1 g (\frac{l}{2} - x)$
3. 临界平衡时顺时针力矩等于逆时针力矩：
$m_1 g ( \frac{1}{2}l - x ) = m_2 g x$
两边约去g，整理得：
$\frac{1}{2}m_1 l - m_1 x = m_2 x$
$\frac{1}{2}m_1 l = x(m_1 + m_2)$
解得：
$x = \frac{m_1 l}{2(m_1 + m_2)}$
【答案】
$\frac{m_1 l}{2(m_1 + m_2)}$
【知识点】
杠杆平衡条件，重心
【点评】
本题属于杠杆平衡的创新应用题型，核心是找准临界状态下支点两侧的力臂，易错点是容易搞错橡皮移动后对应的力臂长度，需要结合几何位置关系推导两个物体的重力力矩，避免直接代入错误的力臂导致结果出错。
【难度系数】
0.4
15. 图甲是脚踏式翻盖垃圾桶的实物图,翻盖由两个杠杆组合而成,图乙为两水平杠杆$AO_{1}B$、$DCO_{2}$组合的示意图.已知桶盖重5 N,重心位于DC中点的正上方,$AO_{1}=30\ \mathrm{cm}$,$O_{1}B=20\ \mathrm{cm}$,桶盖和连接杆的尺寸如图乙所示,脚踏杆$AO_{1}B$和竖直连接杆BC的质量不计.
(1)杠杆$AO_{1}B$是______(填“省力”或“费力”)杠杆.
(2)若要把桶盖翻开,脚对踏板A处的压力至少为______N.
(1)杠杆$AO_{1}B$是______(填“省力”或“费力”)杠杆.
(2)若要把桶盖翻开,脚对踏板A处的压力至少为______N.
答案
15. (1)省力 (2)20
解析:(1)杠杆$AO_{1}B$支点为$O_{1}$,动力在A点处,阻力在B点处,作用力在竖直方向上,此时动力臂大于阻力臂,故此杠杆为省力杠杆.
(2)如题图所示,在杠杆$DCO_{2}$中,阻力臂为$l_{1}=\frac {1}{2}DC+CO_{2}=\frac {1}{2}×50\ \mathrm{cm}+5\ \mathrm{cm}=30\ \mathrm{cm}$,动力臂为$l_{2}=5\ \mathrm{cm}$,根据杠杆平衡条件可得C点处作用力为$F_{C}=\frac {Gl_{1}}{l_{2}}=\frac {5\ \mathrm{N}×30\ \mathrm{cm}}{5\ \mathrm{cm}}=30\ \mathrm{N}$.若要把桶盖翻开,根据杠杆平衡条件,在杠杆$AO_{1}B$中,脚对踏板A处的压力至少为$F_{A}=\frac {F_{C}· O_{1}B}{O_{1}A}=\frac {30\ \mathrm{N}×20\ \mathrm{cm}}{30\ \mathrm{cm}}=20\ \mathrm{N}$.
解析:(1)杠杆$AO_{1}B$支点为$O_{1}$,动力在A点处,阻力在B点处,作用力在竖直方向上,此时动力臂大于阻力臂,故此杠杆为省力杠杆.
(2)如题图所示,在杠杆$DCO_{2}$中,阻力臂为$l_{1}=\frac {1}{2}DC+CO_{2}=\frac {1}{2}×50\ \mathrm{cm}+5\ \mathrm{cm}=30\ \mathrm{cm}$,动力臂为$l_{2}=5\ \mathrm{cm}$,根据杠杆平衡条件可得C点处作用力为$F_{C}=\frac {Gl_{1}}{l_{2}}=\frac {5\ \mathrm{N}×30\ \mathrm{cm}}{5\ \mathrm{cm}}=30\ \mathrm{N}$.若要把桶盖翻开,根据杠杆平衡条件,在杠杆$AO_{1}B$中,脚对踏板A处的压力至少为$F_{A}=\frac {F_{C}· O_{1}B}{O_{1}A}=\frac {30\ \mathrm{N}×20\ \mathrm{cm}}{30\ \mathrm{cm}}=20\ \mathrm{N}$.
解析
【分析】
这道题是生活中的组合杠杆应用题，解题思路可以分步梳理：第一问判断杠杆类型，先找到杠杆$AO_1B$的支点，分别确定动力臂和阻力臂的长度，对比二者大小就能直接判断杠杆的省力/费力属性。第二问需要先后对两个杠杆应用杠杆平衡条件：首先以上方的桶盖杠杆$DCO_2$为研究对象，确定它的支点$O_2$，找出桶盖重力对应的阻力臂、连接杆BC对C点的动力对应的动力臂，用杠杆平衡条件算出C点需要的作用力；再以下方的脚踏杠杆$AO_1B$为研究对象，把刚才算出的C点作用力作为B点的阻力，再次应用杠杆平衡条件，就能算出脚在A点的最小压力。
【解析】
(1) 对于杠杆$AO_1B$，支点为$O_1$，脚在A点施加的力是动力，对应的动力臂为$AO_1=30\ \mathrm{cm}$，连接杆在B点施加的力是阻力，对应的阻力臂为$O_1B=20\ \mathrm{cm}$。由于动力臂大于阻力臂，因此杠杆$AO_1B$是省力杠杆。
(2) 先分析杠杆$DCO_2$：
支点为$O_2$，桶盖的重力$G=5\ \mathrm{N}$是阻力，重心在DC中点正上方，因此阻力臂为重心到$O_2$的水平距离：$L_G=\frac{1}{2}DC + CO_2=\frac{1}{2}×50\ \mathrm{cm}+5\ \mathrm{cm}=30\ \mathrm{cm}$；
连接杆BC对C点的动力对应的动力臂$L_C=CO_2=5\ \mathrm{cm}$。
根据杠杆平衡条件$F_1L_1=F_2L_2$，可得：
$F_C × L_C = G × L_G$
代入数据：$F_C × 5\ \mathrm{cm}=5\ \mathrm{N} × 30\ \mathrm{cm}$，解得$F_C=30\ \mathrm{N}$。
再分析杠杆$AO_1B$：
脚在A点的压力$F_A$为动力，动力臂$L_A=AO_1=30\ \mathrm{cm}$，B点受到连接杆向下的阻力大小等于$F_C=30\ \mathrm{N}$，阻力臂$L_B=O_1B=20\ \mathrm{cm}$。
根据杠杆平衡条件：
$F_A × L_A = F_C × L_B$
代入数据：$F_A × 30\ \mathrm{cm}=30\ \mathrm{N} × 20\ \mathrm{cm}$，解得$F_A=20\ \mathrm{N}$。
【答案】
(1) 省力 (2) 20
【知识点】
杠杆分类，杠杆平衡条件
【点评】
本题结合生活中脚踏式垃圾桶的真实场景，考察组合杠杆的实际应用，第一问难度较低，第二问需要依次对两个联动杠杆进行受力分析，易错点是准确找出桶盖重力对应的阻力臂长度，要注意两个杠杆之间通过连接杆传递的力大小相等，理清力臂关系后即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
这道题是生活中的组合杠杆应用题，解题思路可以分步梳理：第一问判断杠杆类型，先找到杠杆$AO_1B$的支点，分别确定动力臂和阻力臂的长度，对比二者大小就能直接判断杠杆的省力/费力属性。第二问需要先后对两个杠杆应用杠杆平衡条件：首先以上方的桶盖杠杆$DCO_2$为研究对象，确定它的支点$O_2$，找出桶盖重力对应的阻力臂、连接杆BC对C点的动力对应的动力臂，用杠杆平衡条件算出C点需要的作用力；再以下方的脚踏杠杆$AO_1B$为研究对象，把刚才算出的C点作用力作为B点的阻力，再次应用杠杆平衡条件，就能算出脚在A点的最小压力。
【解析】
(1) 对于杠杆$AO_1B$，支点为$O_1$，脚在A点施加的力是动力，对应的动力臂为$AO_1=30\ \mathrm{cm}$，连接杆在B点施加的力是阻力，对应的阻力臂为$O_1B=20\ \mathrm{cm}$。由于动力臂大于阻力臂，因此杠杆$AO_1B$是省力杠杆。
(2) 先分析杠杆$DCO_2$：
支点为$O_2$，桶盖的重力$G=5\ \mathrm{N}$是阻力，重心在DC中点正上方，因此阻力臂为重心到$O_2$的水平距离：$L_G=\frac{1}{2}DC + CO_2=\frac{1}{2}×50\ \mathrm{cm}+5\ \mathrm{cm}=30\ \mathrm{cm}$；
连接杆BC对C点的动力对应的动力臂$L_C=CO_2=5\ \mathrm{cm}$。
根据杠杆平衡条件$F_1L_1=F_2L_2$，可得：
$F_C × L_C = G × L_G$
代入数据：$F_C × 5\ \mathrm{cm}=5\ \mathrm{N} × 30\ \mathrm{cm}$，解得$F_C=30\ \mathrm{N}$。
再分析杠杆$AO_1B$：
脚在A点的压力$F_A$为动力，动力臂$L_A=AO_1=30\ \mathrm{cm}$，B点受到连接杆向下的阻力大小等于$F_C=30\ \mathrm{N}$，阻力臂$L_B=O_1B=20\ \mathrm{cm}$。
根据杠杆平衡条件：
$F_A × L_A = F_C × L_B$
代入数据：$F_A × 30\ \mathrm{cm}=30\ \mathrm{N} × 20\ \mathrm{cm}$，解得$F_A=20\ \mathrm{N}$。
【答案】
(1) 省力 (2) 20
【知识点】
杠杆分类，杠杆平衡条件
【点评】
本题结合生活中脚踏式垃圾桶的真实场景，考察组合杠杆的实际应用，第一问难度较低，第二问需要依次对两个联动杠杆进行受力分析，易错点是准确找出桶盖重力对应的阻力臂长度，要注意两个杠杆之间通过连接杆传递的力大小相等，理清力臂关系后即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
16. (2025·南通通州区一模)如图为我国古代投石机的简化图，O为支点.发射石弹前用力将A端拉下并放好石弹，发射时撤掉A端外力即可，请在图中画出装弹前人施加在A端的最小力$F_{1}$及其力臂$l_{1}$.
答案
16. 如图所示
解析:由杠杆平衡条件可知,动力臂越长,动力越小,所以施加在A端的最小力的力臂最长,即力臂为OA,故连接OA,为力臂$l_{1}$,过A点作OA的垂线,方向向下,即为最小力$F_{1}$.
解析
【分析】
要画出A端的最小力，首先结合杠杆平衡规律思考：根据杠杆平衡条件$F_1l_1=F_2l_2$，当阻力和阻力臂的乘积固定时，动力臂越长，所需的动力就越小。本题中动力作用点已经确定在A点，支点为O，那么支点O到作用点A的连线OA就是能取到的最长动力臂，这是得到最小动力的核心。接下来只需要过A点作垂直于OA的力，结合装弹时需要向下拉A端的实际操作，确定力的方向为垂直OA向下，就可以完成作图。
【解析】
1. 确定最长动力臂：已知支点为O，动力作用点为A，用实线连接OA，OA就是最长的动力臂，将其标注为$l_1$；
2. 确定最小动力的方向：为了拉下A端完成装弹，动力方向需要垂直于OA向下，过A点作垂直于OA的向下的带箭头线段，标注为$F_1$，即为施加在A端的最小力。
根据杠杆平衡条件，此时动力臂达到最大值，对应的动力就是A端可施加的最小力。
【答案】
【知识点】
杠杆平衡条件，杠杆最小力作图
【点评】
本题是杠杆作图的经典基础题型，核心考点是最长动力臂的判断，只要牢记“支点到动力作用点的连线为该作用点处最长的动力臂”的规律即可快速解题，需要注意力的方向要结合实际使用场景判断，避免画反方向。
【难度系数】
0.7
要画出A端的最小力，首先结合杠杆平衡规律思考：根据杠杆平衡条件$F_1l_1=F_2l_2$，当阻力和阻力臂的乘积固定时，动力臂越长，所需的动力就越小。本题中动力作用点已经确定在A点，支点为O，那么支点O到作用点A的连线OA就是能取到的最长动力臂，这是得到最小动力的核心。接下来只需要过A点作垂直于OA的力，结合装弹时需要向下拉A端的实际操作，确定力的方向为垂直OA向下，就可以完成作图。
【解析】
1. 确定最长动力臂：已知支点为O，动力作用点为A，用实线连接OA，OA就是最长的动力臂，将其标注为$l_1$；
2. 确定最小动力的方向：为了拉下A端完成装弹，动力方向需要垂直于OA向下，过A点作垂直于OA的向下的带箭头线段，标注为$F_1$，即为施加在A端的最小力。
根据杠杆平衡条件，此时动力臂达到最大值，对应的动力就是A端可施加的最小力。
【答案】
【知识点】
杠杆平衡条件，杠杆最小力作图
【点评】
本题是杠杆作图的经典基础题型，核心考点是最长动力臂的判断，只要牢记“支点到动力作用点的连线为该作用点处最长的动力臂”的规律即可快速解题，需要注意力的方向要结合实际使用场景判断，避免画反方向。
【难度系数】
0.7
17. (2025·南京建邺区期中)如图所示为可调节式落地灯,高为0.6 m 的立柱 OA 与底座为一整体.重心为 O,总重为 100 N,O 到底座边缘最远的距离 OD 为 0.2 m,轻质杆 AB 既可绕 A 点转动又可以伸缩调节长度,最长可调节为 2 m.立柱 OA 与灯中轴线的距离称为跨度,若灯的质量为 2 kg,则该灯的最大跨度为
1.2
m;若将 B 点到地面的高度调为1.5 m,则轻质杆 AB 最长可调为1.5
m;要增加灯的最大跨度,可有增大底座配重
和减小灯的质量
等方法.(g 取 10 N/kg)答案
17. 1.2 1.5 增大底座配重 减小灯的质量 解析:根据题意画出动力和动力臂、阻力和阻力臂,如图所示.动力为灯的重力$G=mg=2\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=20\ \mathrm{N}$,阻力为总重100 N,阻力臂$l_{1}$为0.2 m,根据杠杆平衡条件$F_{1}l_{1}=F_{2}l_{2}$,求出动力臂$l_{2}$,再计算跨度,则$L_{跨度}=l_{1}+l_{2}=l_{1}+\frac {F_{1}l_{1}}{F_{2}}=0.2\ \mathrm{m}+\frac {100\ \mathrm{N}×0.2\ \mathrm{m}}{20\ \mathrm{N}}=1.2\ \mathrm{m}$;根据题意可知,在$△ ABC$中$l_{AC}=1.2\ \mathrm{m}$,$l_{BC}=1.5\ \mathrm{m}-0.6\ \mathrm{m}=0.9\ \mathrm{m}$,根据勾股定理求得$l_{AB}=\sqrt {l_{AC}^{2}+l_{BC}^{2}}=\sqrt {(1.2\ \mathrm{m})^{2}+(0.9\ \mathrm{m})^{2}}=1.5\ \mathrm{m}$;根据题意,要让灯在保持平衡的前提下增加灯的最大跨度,由杠杆平衡条件$F_{1}l_{1}=F_{2}l_{2}$,可以增大阻力大小,即增大底座配重,或者减小动力大小,即减小灯的质量.
解析
【分析】
这是一道结合杠杆平衡条件与几何勾股定理的实际应用题，解题思路如下：
1. 首先判断落地灯刚好不发生翻倒时的支点为底座最外侧边缘D点，将底座整体的重力作为阻力，灯的重力作为动力，明确阻力臂就是OD的长度，动力臂是灯的中轴线到支点D的水平距离，代入杠杆平衡条件即可求出对应的动力臂，再加上OD的长度就能得到最大跨度。
2. 第二空计算AB的最长可调长度时，先算出A、B两点的竖直高度差，结合第一空得到的水平跨度，将AB看作直角三角形的斜边，用勾股定理即可算出AB的长度。
3. 最后分析增加最大跨度的方法，结合杠杆平衡公式，在灯的重力不变时可以增大底座的总配重，在底座总重不变时可以减小灯自身的质量，都可以实现增大最大跨度的效果。
【解析】
解：
(1) 先计算灯的重力：$G_{\mathrm{灯}}=mg=2\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg}=20\ \mathrm{N}$
当落地灯刚好要翻倒时，支点为底座边缘D点，根据杠杆平衡条件$F_1l_1=F_2l_2$：
$G_{\mathrm{总}} × OD = G_{\mathrm{灯}} × (L_{\mathrm{跨度}} - OD)$
代入已知数值$G_{\mathrm{总}}=100\ \mathrm{N}$，$OD=0.2\ \mathrm{m}$：
$100\ \mathrm{N} × 0.2\ \mathrm{m} = 20\ \mathrm{N} × (L_{\mathrm{跨度}} - 0.2\ \mathrm{m})$
解得$L_{\mathrm{跨度}}=1.2\ \mathrm{m}$。
(2) 已知OA高度为0.6m，B点到地面高度为1.5m，因此A、B两点的竖直高度差：
$h=1.5\ \mathrm{m} - 0.6\ \mathrm{m}=0.9\ \mathrm{m}$
A、B两点的水平距离等于最大跨度1.2m，由勾股定理可得AB的长度：
$l_{AB}=\sqrt{(1.2\ \mathrm{m})^2 + (0.9\ \mathrm{m})^2}=\sqrt{2.25}\ \mathrm{m}=1.5\ \mathrm{m}$。
(3) 根据杠杆平衡条件，要增大灯的最大跨度，在其他条件不变时，可以增大底座配重（增大阻力），也可以减小灯的质量（减小动力），都能让灯在翻倒前允许更大的水平跨度。
【答案】
1.2；1.5；增大底座配重；减小灯的质量
【知识点】
杠杆平衡条件；勾股定理
【点评】
本题以生活中的可调节落地灯为场景，将物理杠杆知识和数学几何计算结合，考察了学生对杠杆支点、力臂的判断能力，以及运用跨学科知识解决实际问题的能力，解题的易错点是容易误将OA所在竖直线作为支点计算力臂，忽略翻倒时支点在底座边缘的特点。
【难度系数】
0.5
这是一道结合杠杆平衡条件与几何勾股定理的实际应用题，解题思路如下：
1. 首先判断落地灯刚好不发生翻倒时的支点为底座最外侧边缘D点，将底座整体的重力作为阻力，灯的重力作为动力，明确阻力臂就是OD的长度，动力臂是灯的中轴线到支点D的水平距离，代入杠杆平衡条件即可求出对应的动力臂，再加上OD的长度就能得到最大跨度。
2. 第二空计算AB的最长可调长度时，先算出A、B两点的竖直高度差，结合第一空得到的水平跨度，将AB看作直角三角形的斜边，用勾股定理即可算出AB的长度。
3. 最后分析增加最大跨度的方法，结合杠杆平衡公式，在灯的重力不变时可以增大底座的总配重，在底座总重不变时可以减小灯自身的质量，都可以实现增大最大跨度的效果。
【解析】
解：
(1) 先计算灯的重力：$G_{\mathrm{灯}}=mg=2\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg}=20\ \mathrm{N}$
当落地灯刚好要翻倒时，支点为底座边缘D点，根据杠杆平衡条件$F_1l_1=F_2l_2$：
$G_{\mathrm{总}} × OD = G_{\mathrm{灯}} × (L_{\mathrm{跨度}} - OD)$
代入已知数值$G_{\mathrm{总}}=100\ \mathrm{N}$，$OD=0.2\ \mathrm{m}$：
$100\ \mathrm{N} × 0.2\ \mathrm{m} = 20\ \mathrm{N} × (L_{\mathrm{跨度}} - 0.2\ \mathrm{m})$
解得$L_{\mathrm{跨度}}=1.2\ \mathrm{m}$。
(2) 已知OA高度为0.6m，B点到地面高度为1.5m，因此A、B两点的竖直高度差：
$h=1.5\ \mathrm{m} - 0.6\ \mathrm{m}=0.9\ \mathrm{m}$
A、B两点的水平距离等于最大跨度1.2m，由勾股定理可得AB的长度：
$l_{AB}=\sqrt{(1.2\ \mathrm{m})^2 + (0.9\ \mathrm{m})^2}=\sqrt{2.25}\ \mathrm{m}=1.5\ \mathrm{m}$。
(3) 根据杠杆平衡条件，要增大灯的最大跨度，在其他条件不变时，可以增大底座配重（增大阻力），也可以减小灯的质量（减小动力），都能让灯在翻倒前允许更大的水平跨度。
【答案】
1.2；1.5；增大底座配重；减小灯的质量
【知识点】
杠杆平衡条件；勾股定理
【点评】
本题以生活中的可调节落地灯为场景，将物理杠杆知识和数学几何计算结合，考察了学生对杠杆支点、力臂的判断能力，以及运用跨学科知识解决实际问题的能力，解题的易错点是容易误将OA所在竖直线作为支点计算力臂，忽略翻倒时支点在底座边缘的特点。
【难度系数】
0.5
18. 核心素养 科学思维 如图是测量质量的磅秤的构造示意图.AB是一根不等臂杠杆,支点为$O_1$,CD和EF都是可看作杠杆的两块平板,分别以$O_2$、$O_3$为支点,CD板用竖直杆HC悬于H点,EF板用竖直杆EB悬于B点,EB穿过CD板的小孔,且与CD板无摩擦.(除重物G和秤码P,其他物件重力不计)
(1)重物G放置在秤台CD板上,则重物G的摆放位置对测量结果
(2)若$HB$、$O_1H$、$O_1A$、$O_2E$、$O_2F$的长度分别用$L_1$、$L_2$、$L_3$、$l_1$、$l_2$表示,而且$L_1=10\ \mathrm{cm}$,$L_2=1\ \mathrm{cm}$,$L_3=60\ \mathrm{cm}$,$l_1=40\ \mathrm{cm}$,$l_2=4\ \mathrm{cm}$.磅秤平衡时,秤码P重力$G_P=50\ \mathrm{N}$.则秤台CD上的重物的重力G为多少?
(1)重物G放置在秤台CD板上,则重物G的摆放位置对测量结果
无
(填“有”或“无”)影响.(2)若$HB$、$O_1H$、$O_1A$、$O_2E$、$O_2F$的长度分别用$L_1$、$L_2$、$L_3$、$l_1$、$l_2$表示,而且$L_1=10\ \mathrm{cm}$,$L_2=1\ \mathrm{cm}$,$L_3=60\ \mathrm{cm}$,$l_1=40\ \mathrm{cm}$,$l_2=4\ \mathrm{cm}$.磅秤平衡时,秤码P重力$G_P=50\ \mathrm{N}$.则秤台CD上的重物的重力G为多少?
答案
18. (1)无 (2)3 000 N
解析:(1)CD板自身重力不计,受到物体G的压力,C端杆的拉力$F_{C}$,D端向上的支持力$F_{D}$,由受力平衡有:$G=F_{C}+F_{D}$.
对于杠杆AB,由平衡条件有:$G_{P}L_{3}=F_{H}L_{2}+F_{B}(L_{1}+L_{2})$;
对于杠杆EF,由平衡条件有:$F_{E}(l_{1}+l_{2})=F_{D}l_{2}$;
因为力的作用是相互的,且杆的重力忽略不计,故$F_{H}$与$F_{C}$大小相等,$F_{B}$与$F_{E}$大小相等,代入上式,可得:
$F_{D}\frac {l_{2}(L_{1}+L_{2})}{l_{1}+l_{2}}+F_{C}L_{2}=G_{P}L_{3}$;
将$L_{1}=10\ \mathrm{cm}$,$L_{2}=1\ \mathrm{cm}$,$L_{3}=60\ \mathrm{cm}$,$l_{1}=40\ \mathrm{cm}$,$l_{2}=4\ \mathrm{cm}$代入,可得$F_{D}+F_{C}=60G_{P}$,而$G=F_{C}+F_{D}$,故有$G=60G_{P}$,这一等式成立与物体G摆放在CD板上的位置无关,所以物体G的摆放位置对测量结果无影响.
(2)根据(1)的结论,代入数据$G_{P}=50\ \mathrm{N}$,解得:$G=3\ 000\ \mathrm{N}$.
难点突破 本题注意到$L_{1}$、$L_{2}$与$l_{1}$、$l_{2}$之间均是$10:1$的比例关系,故分析时可以先不考虑杠杆CD,直接利用杠杆AB、杠杆EF的平衡条件,求出秤砣重与$F_{C}$、$F_{D}$之间的关系,将几个长度数据代入后,会发现$F_{C}$、$F_{D}$前的系数都是1,再由CD板的受力平衡可知,物体摆放位置与测量无关.该结构的实质是利用杠杆AB对秤砣重力进行6倍放大,再利用杠杆EF进行10倍放大.
那么如果要求我们设计这样的杠杆,应如何确定H点和$O_{2}$点的位置呢? 我们只需将重物放在C点位置,此时$F_{C}=G$,再根据物重G和秤砣重$G_{P}$的关系确定H点的位置;再将重物放在D点位置,再根据杠杆EF的平衡条件,即可确定$O_{2}$点的位置.这是极限法的体现.
解析:(1)CD板自身重力不计,受到物体G的压力,C端杆的拉力$F_{C}$,D端向上的支持力$F_{D}$,由受力平衡有:$G=F_{C}+F_{D}$.
对于杠杆AB,由平衡条件有:$G_{P}L_{3}=F_{H}L_{2}+F_{B}(L_{1}+L_{2})$;
对于杠杆EF,由平衡条件有:$F_{E}(l_{1}+l_{2})=F_{D}l_{2}$;
因为力的作用是相互的,且杆的重力忽略不计,故$F_{H}$与$F_{C}$大小相等,$F_{B}$与$F_{E}$大小相等,代入上式,可得:
$F_{D}\frac {l_{2}(L_{1}+L_{2})}{l_{1}+l_{2}}+F_{C}L_{2}=G_{P}L_{3}$;
将$L_{1}=10\ \mathrm{cm}$,$L_{2}=1\ \mathrm{cm}$,$L_{3}=60\ \mathrm{cm}$,$l_{1}=40\ \mathrm{cm}$,$l_{2}=4\ \mathrm{cm}$代入,可得$F_{D}+F_{C}=60G_{P}$,而$G=F_{C}+F_{D}$,故有$G=60G_{P}$,这一等式成立与物体G摆放在CD板上的位置无关,所以物体G的摆放位置对测量结果无影响.
(2)根据(1)的结论,代入数据$G_{P}=50\ \mathrm{N}$,解得:$G=3\ 000\ \mathrm{N}$.
难点突破 本题注意到$L_{1}$、$L_{2}$与$l_{1}$、$l_{2}$之间均是$10:1$的比例关系,故分析时可以先不考虑杠杆CD,直接利用杠杆AB、杠杆EF的平衡条件,求出秤砣重与$F_{C}$、$F_{D}$之间的关系,将几个长度数据代入后,会发现$F_{C}$、$F_{D}$前的系数都是1,再由CD板的受力平衡可知,物体摆放位置与测量无关.该结构的实质是利用杠杆AB对秤砣重力进行6倍放大,再利用杠杆EF进行10倍放大.
那么如果要求我们设计这样的杠杆,应如何确定H点和$O_{2}$点的位置呢? 我们只需将重物放在C点位置,此时$F_{C}=G$,再根据物重G和秤砣重$G_{P}$的关系确定H点的位置;再将重物放在D点位置,再根据杠杆EF的平衡条件,即可确定$O_{2}$点的位置.这是极限法的体现.
解析
【分析】
我们可以分步骤推导解题：第一问要判断重物摆放位置是否影响测量结果，首先对CD平板受力分析，得到重物重力等于HC杆的拉力与D点支持力之和；接着对EF杠杆列力矩平衡方程，得到EB杆的拉力和D点支持力的关系；再对AB杠杆列力矩平衡方程，将前面得到的力的关系代入，代入给定的长度数值后，会发现最终重物重力的表达式和重物在CD上的位置无关，即可得出第一问结论。第二问直接将秤码重力代入推导得到的比例关系，就能算出重物G的大小。
【解析】
(1) 对重力不计的CD板受力分析：CD板受到重物G向下的压力、HC杆向上的拉力$F_C$、D点EF板向上的支持力$F_D$，由受力平衡可得：
$G = F_C + F_D$
对以$O_3$为支点的EF杠杆列杠杆平衡条件：
$F_E · (l_1 + l_2) = F_D · l_2$，可得EB杆对EF板的向下拉力$F_E = \frac{F_D l_2}{l_1 + l_2}$
对以$O_1$为支点的AB杠杆列杠杆平衡条件：
$G_P · L_3 = F_H · L_2 + F_B · (L_1 + L_2)$
由于杆的重力不计，力的作用是相互的，因此HC杆对AB的向下拉力$F_H=F_C$，EB杆对AB的向下拉力$F_B=F_E$，代入上式得：
$G_P L_3 = F_C L_2 + \frac{F_D l_2}{l_1 + l_2} · (L_1 + L_2)$
将已知长度$L_1=10\ \mathrm{cm}$，$L_2=1\ \mathrm{cm}$，$L_3=60\ \mathrm{cm}$，$l_1=40\ \mathrm{cm}$，$l_2=4\ \mathrm{cm}$代入：
左边：$G_P × 60$
右边：$F_C × 1 + \frac{F_D × 4}{40+4} × (10+1) = F_C + F_D$
因此可得$60 G_P = F_C + F_D = G$，该式中没有和重物G在CD板上摆放位置相关的变量，因此重物G的摆放位置对测量结果无影响。
(2) 将$G_P=50\ \mathrm{N}$代入$G=60 G_P$，解得：
$G=60 × 50\ \mathrm{N} = 3000\ \mathrm{N}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{无}$；(2) $\boldsymbol{3000\ \mathrm{N}}$
【知识点】
杠杆平衡条件；受力分析；复合杠杆应用
【点评】
本题是生活中磅秤的原理拓展题，属于多杠杆组合的平衡问题，需要对三个不同的杠杆逐一进行受力分析、联立平衡方程推导，容易陷入“重物位置不同力臂不同就会影响结果”的思维误区，通过代入给定长度数值消去位置相关变量后，就能得到重物重力和秤码重力的固定比例关系，很好地考察了学生的科学推导思维。
【难度系数】
0.3
我们可以分步骤推导解题：第一问要判断重物摆放位置是否影响测量结果，首先对CD平板受力分析，得到重物重力等于HC杆的拉力与D点支持力之和；接着对EF杠杆列力矩平衡方程，得到EB杆的拉力和D点支持力的关系；再对AB杠杆列力矩平衡方程，将前面得到的力的关系代入，代入给定的长度数值后，会发现最终重物重力的表达式和重物在CD上的位置无关，即可得出第一问结论。第二问直接将秤码重力代入推导得到的比例关系，就能算出重物G的大小。
【解析】
(1) 对重力不计的CD板受力分析：CD板受到重物G向下的压力、HC杆向上的拉力$F_C$、D点EF板向上的支持力$F_D$，由受力平衡可得：
$G = F_C + F_D$
对以$O_3$为支点的EF杠杆列杠杆平衡条件：
$F_E · (l_1 + l_2) = F_D · l_2$，可得EB杆对EF板的向下拉力$F_E = \frac{F_D l_2}{l_1 + l_2}$
对以$O_1$为支点的AB杠杆列杠杆平衡条件：
$G_P · L_3 = F_H · L_2 + F_B · (L_1 + L_2)$
由于杆的重力不计，力的作用是相互的，因此HC杆对AB的向下拉力$F_H=F_C$，EB杆对AB的向下拉力$F_B=F_E$，代入上式得：
$G_P L_3 = F_C L_2 + \frac{F_D l_2}{l_1 + l_2} · (L_1 + L_2)$
将已知长度$L_1=10\ \mathrm{cm}$，$L_2=1\ \mathrm{cm}$，$L_3=60\ \mathrm{cm}$，$l_1=40\ \mathrm{cm}$，$l_2=4\ \mathrm{cm}$代入：
左边：$G_P × 60$
右边：$F_C × 1 + \frac{F_D × 4}{40+4} × (10+1) = F_C + F_D$
因此可得$60 G_P = F_C + F_D = G$，该式中没有和重物G在CD板上摆放位置相关的变量，因此重物G的摆放位置对测量结果无影响。
(2) 将$G_P=50\ \mathrm{N}$代入$G=60 G_P$，解得：
$G=60 × 50\ \mathrm{N} = 3000\ \mathrm{N}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{无}$；(2) $\boldsymbol{3000\ \mathrm{N}}$
【知识点】
杠杆平衡条件；受力分析；复合杠杆应用
【点评】
本题是生活中磅秤的原理拓展题，属于多杠杆组合的平衡问题，需要对三个不同的杠杆逐一进行受力分析、联立平衡方程推导，容易陷入“重物位置不同力臂不同就会影响结果”的思维误区，通过代入给定长度数值消去位置相关变量后，就能得到重物重力和秤码重力的固定比例关系，很好地考察了学生的科学推导思维。
【难度系数】
0.3
