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1.在下列实数：$\sqrt{3}$，$\frac{3}{7}$，$\sqrt[3]{-27}$，$\frac{π}{2}$，$-\sqrt{\frac{9}{25}}$，0.121 021 002 100 02…（相邻的1和2之间0的个数逐次加1）中，无理数共有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：①开方开不尽的数；②含π的数；③有规律但不循环的无限小数。解题时先将题目中可以化简的根式先计算化简，再逐个判断每个数是否属于无理数，最后统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析给出的实数：
1. $\sqrt{3}$：3开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
2. $\frac{3}{7}$：是分数，所有分数都属于有理数；
3. $\sqrt[3]{-27}$：化简得$\sqrt[3]{-27}=-3$，是整数，属于有理数；
4. $\frac{π}{2}$：π是无限不循环小数，因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $-\sqrt{\frac{9}{25}}$：化简得$-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5}$，是分数，属于有理数；
6. 0.121 021 002 100 02…（相邻的1和2之间0的个数逐次加1）：是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有3个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 立方根化简
3. 算术平方根化简
【点评】
本题核心考查无理数的识别，解题的关键是不要直接根据带根号就判定为无理数，必须先化简根式再判断，同时要注意分数、整数都属于有理数，含π的数和无限不循环的小数才是无理数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：①开方开不尽的数；②含π的数；③有规律但不循环的无限小数。解题时先将题目中可以化简的根式先计算化简，再逐个判断每个数是否属于无理数，最后统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析给出的实数：
1. $\sqrt{3}$：3开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
2. $\frac{3}{7}$：是分数，所有分数都属于有理数；
3. $\sqrt[3]{-27}$：化简得$\sqrt[3]{-27}=-3$，是整数，属于有理数；
4. $\frac{π}{2}$：π是无限不循环小数，因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $-\sqrt{\frac{9}{25}}$：化简得$-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5}$，是分数，属于有理数；
6. 0.121 021 002 100 02…（相邻的1和2之间0的个数逐次加1）：是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有3个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 立方根化简
3. 算术平方根化简
【点评】
本题核心考查无理数的识别，解题的关键是不要直接根据带根号就判定为无理数，必须先化简根式再判断，同时要注意分数、整数都属于有理数，含π的数和无限不循环的小数才是无理数。
【难度系数】
0.7
2.下列图案中,可以通过其中一个基础图形平移得到的是（
）
）答案
2.C
解析
【分析】
解题前首先要明确平移的核心性质：平移只改变图形的位置，不会改变图形的形状、大小和方向，而旋转会改变图形的方向。解题时我们只需要逐个分析每个选项的图案，判断组成图案的基础图形方向是否一致，即可选出正确答案。
【解析】
根据平移的性质：平移后图形的形状、大小、方向均不发生改变，仅位置改变，逐一分析选项：
1. 选项A：图案由4个方向不同的扇形组成，是基础图形绕圆心旋转得到，不符合平移的特征，排除；
2. 选项B：图案由4个方向不同的三角形组成，是基础图形绕中心旋转得到，不符合平移的特征，排除；
3. 选项C：图案由4个形状、大小、方向完全相同的小正方形组成，仅位置不同，可通过平移其中一个小正方形得到，符合平移的特征；
4. 选项D：图案由6个方向不同的菱形组成，是基础图形绕中心旋转得到，不符合平移的特征，排除。
【答案】
C
【知识点】
平移的特征，图形变换识别
【点评】
本题主要考查平移和旋转的区分，解题的关键是牢记平移不改变图形方向的特点，结合图案的结构特征快速判断，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确平移的核心性质：平移只改变图形的位置，不会改变图形的形状、大小和方向，而旋转会改变图形的方向。解题时我们只需要逐个分析每个选项的图案，判断组成图案的基础图形方向是否一致，即可选出正确答案。
【解析】
根据平移的性质：平移后图形的形状、大小、方向均不发生改变，仅位置改变，逐一分析选项：
1. 选项A：图案由4个方向不同的扇形组成，是基础图形绕圆心旋转得到，不符合平移的特征，排除；
2. 选项B：图案由4个方向不同的三角形组成，是基础图形绕中心旋转得到，不符合平移的特征，排除；
3. 选项C：图案由4个形状、大小、方向完全相同的小正方形组成，仅位置不同，可通过平移其中一个小正方形得到，符合平移的特征；
4. 选项D：图案由6个方向不同的菱形组成，是基础图形绕中心旋转得到，不符合平移的特征，排除。
【答案】
C
【知识点】
平移的特征，图形变换识别
【点评】
本题主要考查平移和旋转的区分，解题的关键是牢记平移不改变图形方向的特点，结合图案的结构特征快速判断，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
3.数学文化《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，问几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（
A.$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ 2x + 1 = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ \dfrac{1}{2}x + 1 = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} y - x = 4.5, \\ 2x - 1 = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ \dfrac{1}{2}x - 1 = y \end{cases}$
B
）A.$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ 2x + 1 = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ \dfrac{1}{2}x + 1 = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} y - x = 4.5, \\ 2x - 1 = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ \dfrac{1}{2}x - 1 = y \end{cases}$
答案
3.B
解析
【分析】要列出正确的方程组，需先从题目中提取两个对应的等量关系。首先分析第一个测量场景：用整根绳子量木，绳子剩余4.5尺，说明绳子长度比木的长度多4.5尺，据此可得第一个等式；再分析对折测量的场景：绳子对折后长度变为原来的$\frac{1}{2}$，此时量木，木还剩余1尺，说明对折后的绳子长度比木的长度少1尺，即对折后的绳长加1尺等于木的长度，据此可得第二个等式，联立两个等式即可得到正确方程组。
【解析】根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺”，绳长减木长等于剩余的绳长，可列方程：$x - y = 4.5$；
根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，对折后绳长为$\frac{1}{2}x$，此时木长比对折后的绳长多1尺，可列方程：$\frac{1}{2}x + 1 = y$；
联立两个方程可得方程组$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ \dfrac{1}{2}x + 1 = y \end{cases}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用；根据实际问题列方程
【点评】本题以古代数学文化为载体，考查从实际问题中提取等量关系的能力，解题核心是准确理解两个测量场景下绳长和木长的数量关系。
【难度系数】0.7
【解析】根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺”，绳长减木长等于剩余的绳长，可列方程：$x - y = 4.5$；
根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，对折后绳长为$\frac{1}{2}x$，此时木长比对折后的绳长多1尺，可列方程：$\frac{1}{2}x + 1 = y$；
联立两个方程可得方程组$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ \dfrac{1}{2}x + 1 = y \end{cases}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用；根据实际问题列方程
【点评】本题以古代数学文化为载体，考查从实际问题中提取等量关系的能力，解题核心是准确理解两个测量场景下绳长和木长的数量关系。
【难度系数】0.7
4.下列命题是假命题的是 （
A.两点之间,线段最短
B.两直线平行,同旁内角互补
C.如果 $a = b$,那么 $a + c = b + c$
D.如果 $a^2 = b^2$,那么 $a = b$
D
）A.两点之间,线段最短
B.两直线平行,同旁内角互补
C.如果 $a = b$,那么 $a + c = b + c$
D.如果 $a^2 = b^2$,那么 $a = b$
答案
4.D
解析
【分析】
这道题要求选出假命题，首先要明确概念：真命题是题设成立时结论一定成立的命题，假命题是题设成立时结论不一定成立的命题。解题时我们可以逐个验证每个选项的命题是否成立，对于存疑的命题可以通过举反例的方式判断是否为假命题。
【解析】
我们逐个分析各选项：
1. 选项A：“两点之间，线段最短”是公认的几何基本事实，属于真命题，不符合题意；
2. 选项B：这是平行线的核心性质之一，两直线平行时同旁内角一定互补，属于真命题，不符合题意；
3. 选项C：符合等式的基本性质1：等式两边同时加上同一个数（或整式），等式仍然成立，属于真命题，不符合题意；
4. 选项D：当$a^2=b^2$时，$a$和$b$可能相等，也可能互为相反数，例如$a=2$，$b=-2$时，$a^2=b^2=4$，但$a≠b$，因此该命题是假命题，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
真假命题判断；平行线的性质；等式的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题关键是熟练掌握教材中的基本公理、性质和结论，学会用举反例的方法快速判断假命题。
【难度系数】
0.8
这道题要求选出假命题，首先要明确概念：真命题是题设成立时结论一定成立的命题，假命题是题设成立时结论不一定成立的命题。解题时我们可以逐个验证每个选项的命题是否成立，对于存疑的命题可以通过举反例的方式判断是否为假命题。
【解析】
我们逐个分析各选项：
1. 选项A：“两点之间，线段最短”是公认的几何基本事实，属于真命题，不符合题意；
2. 选项B：这是平行线的核心性质之一，两直线平行时同旁内角一定互补，属于真命题，不符合题意；
3. 选项C：符合等式的基本性质1：等式两边同时加上同一个数（或整式），等式仍然成立，属于真命题，不符合题意；
4. 选项D：当$a^2=b^2$时，$a$和$b$可能相等，也可能互为相反数，例如$a=2$，$b=-2$时，$a^2=b^2=4$，但$a≠b$，因此该命题是假命题，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
真假命题判断；平行线的性质；等式的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题关键是熟练掌握教材中的基本公理、性质和结论，学会用举反例的方法快速判断假命题。
【难度系数】
0.8
5.下列说法正确的是 （
A.$\sqrt{(-\frac{5}{4})^2}=\pm\frac{5}{4}$
B.$x^2$的算术平方根是$x$
C.$-x^2$一定没有平方根
D.$\sqrt{9}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$
D
）A.$\sqrt{(-\frac{5}{4})^2}=\pm\frac{5}{4}$
B.$x^2$的算术平方根是$x$
C.$-x^2$一定没有平方根
D.$\sqrt{9}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$
答案
5.D
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确平方根和算术平方根的核心概念：算术平方根的结果一定是非负数，只有非负数才有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0。我们只需逐一验证每个选项是否符合上述概念，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根，结果为非负数，因此$\sqrt{(-\frac{5}{4})^2}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$，不是$\pm\frac{5}{4}$，A错误。
B选项：$x^2$的算术平方根是$|x|$，当$x$为负数时，算术平方根不可能等于负数$x$，比如$x=-1$时，$x^2=1$，算术平方根是$1=|-1|$，不等于$x$，B错误。
C选项：当$x=0$时，$-x^2=0$，0有平方根（平方根为0），因此“一定没有平方根”的说法错误，C错误。
D选项：先计算$\sqrt{9}=3$，3的平方根是$\pm\sqrt{3}$，该说法正确，D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质；平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题是易错题，核心考查对平方根和算术平方根概念的辨析，常见误区是混淆二者的符号意义、忽略$x=0$的特殊情况，做题时可结合特殊值代入法验证选项，提升正确率。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先明确平方根和算术平方根的核心概念：算术平方根的结果一定是非负数，只有非负数才有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0。我们只需逐一验证每个选项是否符合上述概念，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根，结果为非负数，因此$\sqrt{(-\frac{5}{4})^2}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$，不是$\pm\frac{5}{4}$，A错误。
B选项：$x^2$的算术平方根是$|x|$，当$x$为负数时，算术平方根不可能等于负数$x$，比如$x=-1$时，$x^2=1$，算术平方根是$1=|-1|$，不等于$x$，B错误。
C选项：当$x=0$时，$-x^2=0$，0有平方根（平方根为0），因此“一定没有平方根”的说法错误，C错误。
D选项：先计算$\sqrt{9}=3$，3的平方根是$\pm\sqrt{3}$，该说法正确，D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质；平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题是易错题，核心考查对平方根和算术平方根概念的辨析，常见误区是混淆二者的符号意义、忽略$x=0$的特殊情况，做题时可结合特殊值代入法验证选项，提升正确率。
【难度系数】
0.6
6.已知$x^3=8$，$|y|=3$，则$x+y$的值为（
A.－5
B.1
C.11
D.－1或5
D
）A.－5
B.1
C.11
D.－1或5
答案
6.D
解析
【分析】
要计算x+y的值，需先分别确定x和y的取值：第一步根据立方运算的特点求x，正数的立方是正数，因此x³=8时x只有唯一解；第二步根据绝对值的性质求y，绝对值等于正数的数有2个，互为相反数，因此y有两种可能取值；最后分两种情况计算x+y的结果，匹配选项即可。
【解析】
解：①求x的取值：
已知$x^3=8$，因为$2^3=8$，所以$x=2$。
②求y的可能取值：
已知$|y|=3$，根据绝对值的性质，互为相反数的两个数绝对值相等，因此$y=3$或$y=-3$。
③分情况计算$x+y$：
当$y=3$时，$x+y=2+3=5$；
当$y=-3$时，$x+y=2+(-3)=-1$。
因此$x+y$的值为-1或5，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
立方根运算、绝对值的性质、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是注意绝对值对应的数值有正负两种情况，避免漏解，通过分情况讨论即可顺利得到答案。
【难度系数】
0.8
要计算x+y的值，需先分别确定x和y的取值：第一步根据立方运算的特点求x，正数的立方是正数，因此x³=8时x只有唯一解；第二步根据绝对值的性质求y，绝对值等于正数的数有2个，互为相反数，因此y有两种可能取值；最后分两种情况计算x+y的结果，匹配选项即可。
【解析】
解：①求x的取值：
已知$x^3=8$，因为$2^3=8$，所以$x=2$。
②求y的可能取值：
已知$|y|=3$，根据绝对值的性质，互为相反数的两个数绝对值相等，因此$y=3$或$y=-3$。
③分情况计算$x+y$：
当$y=3$时，$x+y=2+3=5$；
当$y=-3$时，$x+y=2+(-3)=-1$。
因此$x+y$的值为-1或5，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
立方根运算、绝对值的性质、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是注意绝对值对应的数值有正负两种情况，避免漏解，通过分情况讨论即可顺利得到答案。
【难度系数】
0.8
7.跨学科融合 如图所示，光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射向水中时，会发生折射现象。在相同介质中光线是平行的。如图所示，水面与杯底互相平行，若∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3＋∠4等于（
A.90°
B.105°
C.120°
D.135°
B
）A.90°
B.105°
C.120°
D.135°
答案
7.B
解析
【分析】
解题时先提取题中的平行条件：相同介质中光线平行（即空气中两条入射光线平行、水中两条折射光线平行），水面与杯底互相平行。首先利用空气中光线平行、同位角相等，求出∠4的度数；再利用水面与杯底平行、内错角相等，结合邻补角的性质求出∠3的度数，最后将两个角度相加即可得到结果。
【解析】
解：
1. 求∠4的度数：
∵ 相同介质中光线平行，空气中的两条入射光线互相平行，水面为截线，
根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ 4 = ∠ 1 = 45°$。
2. 求∠3的度数：
∵ 水面与杯底互相平行，左侧的水中光线为截线，
$∠ 2$的邻补角为$180° - ∠ 2 = 180° - 120° = 60°$，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 3 = 60°$。
3. 计算$∠ 3 + ∠ 4$：
$∠ 3 + ∠ 4 = 60° + 45° = 105°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，邻补角的定义
【点评】
本题结合物理的光的折射现象考查平行线性质的实际应用，解题关键是准确识别平行线及对应的截线，判断角的数量关系，体现了跨学科融合的命题思路。
【难度系数】
0.7
解题时先提取题中的平行条件：相同介质中光线平行（即空气中两条入射光线平行、水中两条折射光线平行），水面与杯底互相平行。首先利用空气中光线平行、同位角相等，求出∠4的度数；再利用水面与杯底平行、内错角相等，结合邻补角的性质求出∠3的度数，最后将两个角度相加即可得到结果。
【解析】
解：
1. 求∠4的度数：
∵ 相同介质中光线平行，空气中的两条入射光线互相平行，水面为截线，
根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ 4 = ∠ 1 = 45°$。
2. 求∠3的度数：
∵ 水面与杯底互相平行，左侧的水中光线为截线，
$∠ 2$的邻补角为$180° - ∠ 2 = 180° - 120° = 60°$，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 3 = 60°$。
3. 计算$∠ 3 + ∠ 4$：
$∠ 3 + ∠ 4 = 60° + 45° = 105°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，邻补角的定义
【点评】
本题结合物理的光的折射现象考查平行线性质的实际应用，解题关键是准确识别平行线及对应的截线，判断角的数量关系，体现了跨学科融合的命题思路。
【难度系数】
0.7
