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8.“九宫图”传说源于远古时期洛河中的一只神龟背上的图案，故又称“龟背图”，是中国古代数学的重要研究对象.数学上的“九宫图”所体现的是一个$3×3$表格，其每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，也称为三阶幻方.如图所示是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则$x + y$的值为（
A.0
B.$-4$
C.$-4$或9
D.9
A
）A.0
B.$-4$
C.$-4$或9
D.9
答案
8.A
解析
【分析】
解题的核心是利用三阶幻方“每一行、每一列、两条对角线上的三个数之和相等”的性质。首先观察已知数，发现右上到左下的对角线三个数（3、-1、-5）均已知，先算出这三个数的和（即幻和），再根据第一列的和等于幻和求出x的值，根据左上到右下的对角线的和等于幻和求出y的值，最后计算x+y即可。
【解析】
解：根据三阶幻方的性质，所有行、列、对角线的三个数之和相等。
1. 计算右上到左下对角线的和，得到幻和：
$3 + (-1) + (-5) = -3$
2. 求x的值：第一列三个数的和等于幻和，列方程得
$0 + x + (-5) = -3$
解得 $x = 2$
3. 求y的值：左上到右下对角线的和等于幻和，列方程得
$0 + (-1) + y = -3$
解得 $y = -2$
4. 计算$x+y$的值：
$x+y = 2 + (-2) = 0$
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】三阶幻方性质,一元一次方程求解,有理数加法
【点评】本题解题的突破口是找到三个数均已知的对角线，先算出幻和，再结合幻方性质列方程求解未知数，整体逻辑清晰，掌握幻方基本性质即可快速解题。
【难度系数】0.7
解题的核心是利用三阶幻方“每一行、每一列、两条对角线上的三个数之和相等”的性质。首先观察已知数，发现右上到左下的对角线三个数（3、-1、-5）均已知，先算出这三个数的和（即幻和），再根据第一列的和等于幻和求出x的值，根据左上到右下的对角线的和等于幻和求出y的值，最后计算x+y即可。
【解析】
解：根据三阶幻方的性质，所有行、列、对角线的三个数之和相等。
1. 计算右上到左下对角线的和，得到幻和：
$3 + (-1) + (-5) = -3$
2. 求x的值：第一列三个数的和等于幻和，列方程得
$0 + x + (-5) = -3$
解得 $x = 2$
3. 求y的值：左上到右下对角线的和等于幻和，列方程得
$0 + (-1) + y = -3$
解得 $y = -2$
4. 计算$x+y$的值：
$x+y = 2 + (-2) = 0$
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】三阶幻方性质,一元一次方程求解,有理数加法
【点评】本题解题的突破口是找到三个数均已知的对角线，先算出幻和，再结合幻方性质列方程求解未知数，整体逻辑清晰，掌握幻方基本性质即可快速解题。
【难度系数】0.7
9.在平面直角坐标系中,点$(a^2 + 1, 2026)$一定在第
一
象限.答案
9.一
解析
【分析】
解决判断点所在象限的问题，首先要明确四个象限内点的坐标符号规律：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)。接下来分别判断给定点的横、纵坐标的正负即可：横坐标是$a^2+1$，根据平方的非负性，任意数的平方都大于等于0，因此$a^2+1$一定是正数；纵坐标是2026，显然也是正数，横纵坐标均为正的点对应第一象限。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，
∴ $a^2 + 1≥0 + 1=1＞0$，即该点的横坐标为正数，
又
∵ 该点的纵坐标为$2026＞0$，也是正数，
而第一象限内点的坐标特征为（正，正），
∴ 点$(a^2 + 1, 2026)$一定在第一象限。
【答案】
一
【知识点】
象限内点的坐标特征；平方的非负性
【点评】
本题是基础题型，只要掌握平方的非负性和各象限点的坐标符号规律，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解决判断点所在象限的问题，首先要明确四个象限内点的坐标符号规律：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)。接下来分别判断给定点的横、纵坐标的正负即可：横坐标是$a^2+1$，根据平方的非负性，任意数的平方都大于等于0，因此$a^2+1$一定是正数；纵坐标是2026，显然也是正数，横纵坐标均为正的点对应第一象限。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，
∴ $a^2 + 1≥0 + 1=1＞0$，即该点的横坐标为正数，
又
∵ 该点的纵坐标为$2026＞0$，也是正数，
而第一象限内点的坐标特征为（正，正），
∴ 点$(a^2 + 1, 2026)$一定在第一象限。
【答案】
一
【知识点】
象限内点的坐标特征；平方的非负性
【点评】
本题是基础题型，只要掌握平方的非负性和各象限点的坐标符号规律，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
10.已知$m^2=16$，$|n|=5$，若点$A(m,n)$在第四象限，则$m+n$的值为
-1
.答案
10.-1
解析
【分析】
解题时首先根据平方的运算性质求出m的所有可能取值，再根据绝对值的性质求出n的所有可能取值；然后结合第四象限内点的坐标符号特征（横坐标为正，纵坐标为负），筛选出符合条件的m、n的具体值；最后将m、n的值代入m+n计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$m^2=16$，
∴$m=\pm4$，
∵$|n|=5$，
∴$n=\pm5$，
∵点$A(m,n)$在第四象限，第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴$m＞0$，$n＜0$，
∴$m=4$，$n=-5$，
∴$m+n=4+(-5)=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
平方的性质；绝对值的性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对基础概念的灵活运用，解题时需注意结合限制条件对参数的多个可能取值进行筛选，避免因忽略取值限制出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据平方的运算性质求出m的所有可能取值，再根据绝对值的性质求出n的所有可能取值；然后结合第四象限内点的坐标符号特征（横坐标为正，纵坐标为负），筛选出符合条件的m、n的具体值；最后将m、n的值代入m+n计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$m^2=16$，
∴$m=\pm4$，
∵$|n|=5$，
∴$n=\pm5$，
∵点$A(m,n)$在第四象限，第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴$m＞0$，$n＜0$，
∴$m=4$，$n=-5$，
∴$m+n=4+(-5)=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
平方的性质；绝对值的性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对基础概念的灵活运用，解题时需注意结合限制条件对参数的多个可能取值进行筛选，避免因忽略取值限制出现多解错误。
【难度系数】
0.7
11.已知$0＜x＜1$，则$x,\frac{1}{x},x^2,\sqrt{x}$的大小关系为
$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$
（用“＜”号连接）。答案
11.$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$
解析
【分析】
已知x的取值范围是0＜x＜1，直接抽象比较四个式子的大小难度较高，我们可以采用特殊值法求解：选取一个满足0＜x＜1的具体数值，分别代入四个式子计算出对应结果，再对结果排序即可得到四个式子的大小关系，该方法直观简单，符合现阶段知识要求。
【解析】
选用特殊值法求解，选取符合0＜x＜1的数，例如令x=1/4：
1. 计算$x^2$：$x^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$
2. $x$本身的值为$\frac{1}{4}$
3. 计算$\sqrt{x}$：$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$
4. 计算$\frac{1}{x}$：$\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$
将四个结果从小到大排列为：$\frac{1}{16}＜\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}＜4$，对应替换回原式可得$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$，选取其他0~1之间的数计算结果一致。
【答案】
$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$
【知识点】
实数大小比较、有理数乘方、算术平方根
【点评】
本题考查0到1区间内实数经过不同运算后的大小变化规律，使用特殊值法可以快速得到答案，降低解题难度，也可总结规律直接应用：当0＜x＜1时，乘方次数越高数值越小，倒数大于原数，开平方结果大于原数。
【难度系数】
0.8
已知x的取值范围是0＜x＜1，直接抽象比较四个式子的大小难度较高，我们可以采用特殊值法求解：选取一个满足0＜x＜1的具体数值，分别代入四个式子计算出对应结果，再对结果排序即可得到四个式子的大小关系，该方法直观简单，符合现阶段知识要求。
【解析】
选用特殊值法求解，选取符合0＜x＜1的数，例如令x=1/4：
1. 计算$x^2$：$x^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$
2. $x$本身的值为$\frac{1}{4}$
3. 计算$\sqrt{x}$：$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$
4. 计算$\frac{1}{x}$：$\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$
将四个结果从小到大排列为：$\frac{1}{16}＜\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}＜4$，对应替换回原式可得$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$，选取其他0~1之间的数计算结果一致。
【答案】
$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$
【知识点】
实数大小比较、有理数乘方、算术平方根
【点评】
本题考查0到1区间内实数经过不同运算后的大小变化规律，使用特殊值法可以快速得到答案，降低解题难度，也可总结规律直接应用：当0＜x＜1时，乘方次数越高数值越小，倒数大于原数，开平方结果大于原数。
【难度系数】
0.8
12.某公司历年在某市纯销售额的多少主要取决于该市消费品购买力的大小，已知最近9年该公司的纯销售额和消费品购买力资料如下：
(1)在平面直角坐标系中，用横轴表示消费品购买力，纵轴表示纯销售额，画出表中数据的散点图.
(2)在平面直角坐标系中，画出一条直线，使它能近似地反映纯销售额与消费品购买力的相关关系.
(3)估计当消费品购买力为5.2亿元时，纯销售额是多少亿元.
(1)在平面直角坐标系中，用横轴表示消费品购买力，纵轴表示纯销售额，画出表中数据的散点图.
(2)在平面直角坐标系中，画出一条直线，使它能近似地反映纯销售额与消费品购买力的相关关系.
(3)估计当消费品购买力为5.2亿元时，纯销售额是多少亿元.
答案
12.解:(1)如图所示.
(2)如图所示.
(3)当消费品购买力为5.2亿元时,估计纯销售额是0.43亿元.(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：1. 画散点图：首先把表格里每一组“消费品购买力”作为横坐标、“纯销售额”作为纵坐标，得到对应的坐标点，依次在坐标系中描出即可。2. 画拟合直线：观察散点的分布，所有点大致沿直线趋势分布，画一条直线，使尽量多的点落在直线上，不在直线上的点均匀分布在直线两侧，就能近似反映两者的变化关系。3. 估算数值：在横轴找到5.2亿元的位置，作横轴的垂线与拟合直线相交，交点对应的纵轴数值就是估计的纯销售额，数值合理即可。
【解析】
(1) 从表格中提取9组对应数据，得到坐标点：(1.8,0.19)、(1.9,0.22)、(2.2,0.23)、(2.5,0.25)、(3.1,0.29)、(3.5,0.30)、(4.0,0.35)、(4.4,0.39)、(4.8,0.41)，将这些点依次描在以消费品购买力为横轴、纯销售额为纵轴的坐标系中，即可得到散点图。
(2) 观察描出的散点，整体呈上升的直线趋势，绘制一条直线，使尽可能多的点在直线上，剩余点均匀分布在直线两侧，这条直线即可近似反映纯销售额和消费品购买力的相关关系。
(3) 在横轴上找到表示5.2亿元的点，过该点作横轴的垂线，与第(2)问画出的直线相交，再过交点作纵轴的垂线，读取纵轴对应的数值，可得估计纯销售额约为0.43亿元，结果合理即可。
【答案】
(1)如图所示.
(2)如图所示.
(3)当消费品购买力为5.2亿元时,估计纯销售额是0.43亿元.(答案不唯一,合理即可)
【知识点】
散点图绘制，图像拟合，数值估算
【点评】
本题结合实际销售场景，考查了数据的图像化处理、相关关系的直观表示以及利用图像估算未知量的能力，注重数形结合思想的应用，与生活实际关联度高。
【难度系数】
0.75
本题分为三个小问，解题思路如下：1. 画散点图：首先把表格里每一组“消费品购买力”作为横坐标、“纯销售额”作为纵坐标，得到对应的坐标点，依次在坐标系中描出即可。2. 画拟合直线：观察散点的分布，所有点大致沿直线趋势分布，画一条直线，使尽量多的点落在直线上，不在直线上的点均匀分布在直线两侧，就能近似反映两者的变化关系。3. 估算数值：在横轴找到5.2亿元的位置，作横轴的垂线与拟合直线相交，交点对应的纵轴数值就是估计的纯销售额，数值合理即可。
【解析】
(1) 从表格中提取9组对应数据，得到坐标点：(1.8,0.19)、(1.9,0.22)、(2.2,0.23)、(2.5,0.25)、(3.1,0.29)、(3.5,0.30)、(4.0,0.35)、(4.4,0.39)、(4.8,0.41)，将这些点依次描在以消费品购买力为横轴、纯销售额为纵轴的坐标系中，即可得到散点图。
(2) 观察描出的散点，整体呈上升的直线趋势，绘制一条直线，使尽可能多的点在直线上，剩余点均匀分布在直线两侧，这条直线即可近似反映纯销售额和消费品购买力的相关关系。
(3) 在横轴上找到表示5.2亿元的点，过该点作横轴的垂线，与第(2)问画出的直线相交，再过交点作纵轴的垂线，读取纵轴对应的数值，可得估计纯销售额约为0.43亿元，结果合理即可。
【答案】
(1)如图所示.
(2)如图所示.
(3)当消费品购买力为5.2亿元时,估计纯销售额是0.43亿元.(答案不唯一,合理即可)
【知识点】
散点图绘制，图像拟合，数值估算
【点评】
本题结合实际销售场景，考查了数据的图像化处理、相关关系的直观表示以及利用图像估算未知量的能力，注重数形结合思想的应用，与生活实际关联度高。
【难度系数】
0.75
