一、填空题
1. 在平面直角坐标系中,若点$M(1,3)$与点$N(x,3)$之间的距离是5,则$x$的值是.

1. -4或6

2. 如图,在平面直角坐标系中,点 B 的坐标为$(0,5)$,以点 B 为圆心,13 个单位长度为半径画弧,交$x$轴于点 A,C,则 AC 的长为.

2. 24

3. 如图,在平面直角坐标系中,点$ C $的坐标为$(3,2)$.若某条直线$ l $经过点$(4,0)$且与$ y $轴平行,$△ A_{1}B_{1}C_{1}$和$△ ABC$关于直线$ l $对称,则点$ C $的对应点$ C_{1} $的坐标为;再将$△ A_{1}B_{1}C_{1}$向上平移1个单位长度,得到$△ A_{2}B_{2}C_{2}$,则点$ C_{1} $的对应点$ C_{2} $的坐标为.

3. (5,2) (5,3)

4. 如图,在平面直角坐标系中,直线$m$经过点$A(1,3)$并且平行于$y$轴.若$△ ABC$关于直线$m$对称,点$B$的坐标为$(-2,1)$,则$△ ABC$的面积为.

4. 6

二、解答题
5. 如图,在平面直角坐标系中,点 A, B, C 的坐标分别为 $(0,a),(b,0),(b,4)$, 其中 a, b 满足 $a-$

(1) 求 a, b 的值.
(2) 如果在第二象限内有一点 $P(m,\dfrac{1}{3})$, 请用含 m 的式子表示四边形 ABOP 的面积.
(3) 在(2)的条件下,是否存在点 P,使四边形 ABOP 的面积与 $△ ABC$ 的面积相等? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

5. (1) 根据题意,得 $b^2-9≥0,9-b^2≥0,b+3≠0,\therefore b^2-9=0,b≠-3.\therefore b=3.$ 把 $b=3$ 代入 $a-2=\dfrac{\sqrt{b^2-9}+\sqrt{9-b^2}}{b+3}$,得 $a=2$
(2) 由(1),得 $a=2,b=3$,则$A(0,2),B(3,0),C(3,4),\therefore CB⊥ x$轴,$OA=2$,$OB=3.$ $\because$ 点 $P(m,\dfrac{1}{3})$在第二象限,$\therefore m＜0$,即点 $P$ 到 $y$ 轴的距离为$-m$. $\therefore S_{\mathrm{四边形}ABOP}=S_{△ AOB}+S_{△ APO}=\dfrac{1}{2}×2×3+\dfrac{1}{2}×(-m)×2=3-m$
(3) 存在 $\because CB⊥ x$轴,$A(0,2),B(3,0),C(3,4),\therefore$ 点 $A$ 到 $BC$ 的距离为$3$,$BC=y_C-y_B=4$. 过点 $A$ 作 $AH⊥ BC$ 于点 $H$,此时$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AH=\dfrac{1}{2}×4×3=6$. 假设存在满足题意的点 $P$. $\because S_{\mathrm{四边形}ABOP}=S_{△ ABC},\therefore 3-m=6$,解得 $m=-3$,符合题意. $\therefore$ 假设成立,此时点 $P$ 的坐标为$(-3,\dfrac{1}{3})$