12. 已知一个正数 $m$ 的两个平方根为 $2n+1$ 和 $4-3n$.
(1)求 $m$ 的值；
(2)若 $|a-1|+\sqrt{b}+(c-n)^2=0$, 则 $a+b+c$ 的平方根是多少？

12.解:(1)由题意,得 $2n+1+4-3n=0,$解得 $n=5,$
$\therefore 2n+1=11,\therefore m=11^2=121.$
(2)$\because |a-1|+\sqrt{b}+(c-n)^2=0,$
$\therefore a-1=0,b=0,c-n=0,\therefore a=1,b=0,c=n=5,$
$\therefore a+b+c=1+0+5=6,\therefore a+b+c$ 的平方根是$\pm\sqrt{6}.$

13. 已知 $a,b,c$ 都是实数,满足 $(2-a)^2+\sqrt{a^2+b+c}+|c+8|=0$, 且 $ax^2+bx+c=0$, 求代数式$3x^2+6x+2$ 的算术平方根.

13.解:$\because (2-a)^2+\sqrt{a^2+b+c}+|c+8|=0,\therefore 2-a=0,$
$a^2+b+c=0,c+8=0,\therefore a=2,c=-8,b=4.$
$\because ax^2+bx+c=0,\therefore 2x^2+4x-8=0,\therefore x^2+2x=4,$
$\therefore 3x^2+6x+2=3(x^2+2x)+2=12+2=14,$
$\therefore 3x^2+6x+2$ 的算术平方根为$\sqrt{14}.$

14. 已知实数 $a,b$ 满足 $b^2-10b+25+\sqrt{a-1}=0.$
(1)求 $a,b$ 的值；
(2)如果一个三角形的三边长分别是 $a,b,c$,请化简 $|5-2c|-\sqrt{c^2-14c+49}.$

14.解:(1)$\because b^2-10b+25+\sqrt{a-1}=0,\therefore (b-5)^2+$
$\sqrt{a-1}=0,\therefore b-5=0,a-1=0,\therefore b=5,a=1.$
(2)$\because a,b,c$ 为三角形的三边长,$a=1,b=5,\therefore 4＜c＜6,$
$\therefore 5-2c＜0,c-7＜0,$
$\therefore |5-2c|-\sqrt{c^2-14c+49}=2c-5-\sqrt{(c-7)^2}=2c-$
$5-(7-c)=2c-5+c-7=3c-12.$

15. 已知实数 $a$ 满足 $|2024-a|+\sqrt{a-2025}=a$, 求 $a-2024^2$ 的值.

15.解:由题意,得 $a-2025≥0,\therefore a≥2025,$
$\therefore |2024-a|=a-2024,$
$\therefore a-2024+\sqrt{a-2025}=a,$即$\sqrt{a-2025}=2024,$
$\therefore a-2025=2024^2,\therefore a-2024^2=2025.$

16. 已知 $a,b$ 满足 $3\sqrt{a}+5|b|=7$, 求 $s=2\sqrt{a}-3|b|$ 的最大值.

16.解:$\because a,b$ 满足 $3\sqrt{a}+5|b|=7,\therefore |b|=\frac{7-3\sqrt{a}}{5}.$
$\because |b|$是非负数,$\therefore \frac{7-3\sqrt{a}}{5}≥0,\therefore \sqrt{a}≤\frac{7}{3}.$
又$\because \sqrt{a}$是非负数,$\therefore 0≤\sqrt{a}≤\frac{7}{3}.$
$\because s=2\sqrt{a}-3|b|=2\sqrt{a}-3×\frac{7-3\sqrt{a}}{5}=\frac{19\sqrt{a}-21}{5},$
$\therefore$当$\sqrt{a}=\frac{7}{3}$时,$s$取得最大值,最大值为$s=\frac{19×\frac{7}{3}-21}{5}=\frac{14}{3}.$