4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD ⊥ BC$,垂足为$D$,$CE ⊥ AB$,垂足为$E$,$AE=CE$.
求证:(1)$△ AEF ≌ △ CEB$;
(2)$AF=2CD$.

(1)
∵AD⊥BC,
∴∠B+∠BAD=90°.
∵CE⊥AB,
∴∠AEC=∠BEC=90°,
∴∠B+∠BCE=90°,
∴∠EAF=∠ECB.
在△AEF和△CEB中,
$\begin{cases} ∠AEF=∠CEB, \\ AE=CE, \\ ∠EAF=∠ECB, \end{cases}$
∴△AEF≌△CEB(ASA).
(2)
∵△AEF≌△CEB,
∴AF=BC.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴CD=BD,
∴BC=2CD,
∴AF=2CD.

5. 如图,在$△ DBC$中,$DB=DC$,$A$为$△ DBC$外一点,且$∠ BAC=∠ BDC$,$DM⊥ AC$于点$M$,求$\dfrac{AC-AB}{AM}$的值.

解:如答图,在AC上截取CF=AB,连接AD,DF,设AC与BD相交于点E.在△ABE与△CDE中,
∵∠BAC=∠BDC,∠AEB=∠DEC,
∴∠ABD=∠DCA.
在△DCF和△DBA中,
$\begin{cases} DC=DB, \\ ∠DCF=∠DBA, \\ CF=BA, \end{cases}$
∴△DCF≌△DBA(SAS),
∴DF=DA.又
∵DM⊥AF,
∴AM=MF,
∴AC-AB=AC-CF=AF=2AM,
∴$\dfrac{AC-AB}{AM}$=2.

6. 已知 $\mathrm{Rt}△ BEF$ 和等腰 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 有一个公共的顶点 $B$, 斜边在同一条直线上, 且 $∠ BFE=\dfrac{1}{2}∠ ACB$.
(1)如图①,若顶点 $C$ 与顶点 $F$ 也重合,试探究线段 $BE$ 和 $DF$ 的数量关系,并证明;
(2)如图②,若顶点 $C$ 与顶点 $F$ 不重合,(1)中的结论还成立吗? 证明你的结论.

(1)DF=2BE.
证明:如答图①,延长BE交CA的延长线于点K,则∠BEF=∠KEF=90°.
∵∠BFE=$\dfrac{1}{2}$∠ACB,
∴∠FBE=∠FKE,
∴CB=CK,
∴BE=KE.
∵∠BAK=∠CAD=∠CEK=90°,
∴∠ABK+∠K=90°,∠ACE+∠K=90°,
∴∠ABK=∠ACD.
又AB=AC,
∴△BAK≌△CAD(ASA),
∴CD=BK.
∵BK=2BE,
∴CD=2BE,即DF=2BE.
(2)(1)中的结论还成立.
证明:如答图②,作FK//CA交BE的延长线于点K,交AB于点J.
∵FK//AC,
∴∠FJB=∠A=90°,∠BFK=∠BCA.
∵∠JBF=45°,
∴△BJF是等腰直角三角形.
∵∠BFE=$\dfrac{1}{2}$∠ACB,
∴∠BFE=$\dfrac{1}{2}$∠BFJ,
同理(1)可知DF=2BE.

【模型】“三线合一”
①若$AB=AC,AD ⊥ BC$,则$BD=CD,∠ 1=∠ 2$
②若$AB=AC,BD=CD$,则$∠ 1=∠ 2,AD ⊥ BC$
③若$AB=AC,∠ 1=∠ 2$,则$AD ⊥ BC,BD=CD$

证明：
① 已知$AB=AC$，$AD ⊥ BC$，
$\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ ACD\ (\mathrm{HL})$，
$\therefore BD=CD$，$∠ 1=∠ 2$。
② 已知$AB=AC$，$BD=CD$，
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC \\BD=CD \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD\ (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$，$∠ ADB=∠ ADC$，
又$\because ∠ ADB+∠ ADC=180°$，
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
$\therefore AD⊥ BC$。
③ 已知$AB=AC$，$∠ 1=∠ 2$，
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC \\∠ 1=∠ 2 \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD\ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=CD$，$∠ ADB=∠ ADC$，
又$\because ∠ ADB+∠ ADC=180°$，
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
$\therefore AD⊥ BC$。