7. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,$PB,PC$分别与$\odot O$相切于点$B,C$,过点$C$作$AB$的垂线,垂足为$E$,交$\odot O$于点$D$.若$CD=PB=2\sqrt{3}$,则$BE$的长为 （）

A.1
B.2
C.3
D.4

7.C

8.(2025·连云港一模)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°,AC=5,BC=12$，则$△ ABC$的内切圆半径为。

8.2

9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=58^{ \circ }$,$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$AB$,$AC$分别相切于点$D$,$E$,连接$DE$,$BO$的延长线交$DE$于点$F$,则$∠ BFD=$.

9.$29°$

10. 如图,正方形$ABCD$的边长为6,$\odot O$的半径为1.若$\odot O$在正方形$ABCD$内平移($\odot O$可以与该正方形的边相切),则点$A$到$\odot O$上的点的距离的最大值为.

10.$5\sqrt{2}+1$

11. 如图, $P$ 为 $\odot O$ 外一点, $PA, PB$ 是 $\odot O$ 的切线, $A, B$ 为切点, 点 $C$ 在 $\odot O$ 上, 连接 $OA$, $OC, AC$.
(1)求证: $∠ AOC = 2∠ PAC$;
(2) 连接 $OB$, 若 $AC // OB$, $\odot O$ 的半径为 $5, AC=6$, 求 $AP$ 的长.

11.(1)证明:如答图,过点$O$作$OH⊥AC$于点$H$,
∴$∠OHA=90°,∴∠AOH+∠OAC=90°$.
∵$PA$是$\odot O$的切线,$∴∠OAP=90°$,
∴$∠OAC+∠PAC=90°,∴∠AOH=∠PAC$.
∵$OA=OC,∴∠AOC=2∠AOH,∴∠AOC=2∠PAC$.
(2)解:如答图,连接$OB$,延长$AC$交$PB$于点$E$.
∵$PA,PB$是$\odot O$的切线，
∴$OB⊥PB,PA=PB$.
∵$AC// OB,∴AC⊥PB,∴$四边形$OBEH$是矩形，
∴$OH=BE,HE=OB=5$.
∵$OH⊥AC,OA=OC,∴AH=CH=\frac{1}{2}AC=3$,
∴$OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∴$BE=OH=4,AE=AH+HE=3+5=8$.
∵$AP^2=AE^2+PE^2,∴AP^2=8^2+(AP-4)^2$,
解得$AP=10$.

12. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, 以 $BC$ 为直径的 $\odot O$ 交 $AB$ 于点 $D$, 切线 $DE$ 交 $AC$ 于点 $E$.
(1)求证: $∠ A=∠ ADE$;
(2)若 $AD=8, DE=5$, 求 $BC$ 的长.

12.(1)证明:如答图,连接$OD$.
∵$DE$是$\odot O$的切线,$∴∠ODE=90°$,
∴$∠ADE+∠BDO=90°$.
∵$∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°$.
∵$OD=OB,∴∠B=∠BDO,∴∠A=∠ADE$.

(2)解:如答图,连接$CD$.
∵$∠ADE=∠A,∴AE=DE$.
∵$BC$是$\odot O$的直径,$∠ACB=90°$,
∴$EC$是$\odot O$的切线，
∴$ED=EC,∴AE=EC$.
∵$DE=5,∴AC=2DE=10$.
∵$BC$是$\odot O$的直径，
∴$∠BDC=90°=∠ADC$.
在$\mathrm{Rt}△ADC$中,$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$.
设$BD=x$,则$AB=8+x$,
在$\mathrm{Rt}△BDC$中,$BC^2=x^2+6^2$,
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$BC^2=(x+8)^2-10^2$,
∴$x^2+6^2=(x+8)^2-10^2$,解得$x=\frac{9}{2}$,
∴$BC=\sqrt{6^2+(\frac{9}{2})^2}=\frac{15}{2}$.