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1 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,EO⊥CD.下列说法不一定成立的是 (
A.$∠AOD=∠BOC$
B.$∠AOE+∠BOD=90°$
C.$∠AOC=∠AOE$
D.$∠AOD+∠BOD=180°$
C
)A.$∠AOD=∠BOC$
B.$∠AOE+∠BOD=90°$
C.$∠AOC=∠AOE$
D.$∠AOD+∠BOD=180°$
答案
1.C
解析
【分析】
本题为相交线与垂直相关的角的关系判断题，解题时可先回忆对顶角、邻补角的性质以及垂直的定义，再逐一分析每个选项的结论是否一定成立：首先判断对顶角、邻补角相关的选项是否成立，再结合垂直的90°角分析剩余选项，找出没有已知条件支撑、不一定成立的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A.
∵直线AB、CD相交于点O，∠AOD与∠BOC是对顶角，根据对顶角相等，可得∠AOD=∠BOC，该说法一定成立；
B.
∵EO⊥CD，
∴∠EOD=90°，又
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°（平角的定义），代入得∠AOE+∠BOD=180°-90°=90°，该说法一定成立；
C.
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD，结合B的结论可知∠AOE+∠AOC=90°，只有当∠AOC=45°时才有∠AOC=∠AOE，题干未给出该条件，因此该说法不一定成立；
D.
∵∠AOD与∠BOD是邻补角，根据邻补角的和为180°，可得∠AOD+∠BOD=180°，该说法一定成立。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查相交线中各类角的性质，解题时要注意题干要求选择“不一定成立”的选项，避免因审题粗心选错答案，熟练掌握对顶角、邻补角、垂直的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题为相交线与垂直相关的角的关系判断题，解题时可先回忆对顶角、邻补角的性质以及垂直的定义，再逐一分析每个选项的结论是否一定成立：首先判断对顶角、邻补角相关的选项是否成立，再结合垂直的90°角分析剩余选项，找出没有已知条件支撑、不一定成立的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A.
∵直线AB、CD相交于点O，∠AOD与∠BOC是对顶角，根据对顶角相等，可得∠AOD=∠BOC，该说法一定成立；
B.
∵EO⊥CD，
∴∠EOD=90°，又
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°（平角的定义），代入得∠AOE+∠BOD=180°-90°=90°，该说法一定成立；
C.
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD，结合B的结论可知∠AOE+∠AOC=90°，只有当∠AOC=45°时才有∠AOC=∠AOE，题干未给出该条件，因此该说法不一定成立；
D.
∵∠AOD与∠BOD是邻补角，根据邻补角的和为180°，可得∠AOD+∠BOD=180°，该说法一定成立。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查相交线中各类角的性质，解题时要注意题干要求选择“不一定成立”的选项，避免因审题粗心选错答案，熟练掌握对顶角、邻补角、垂直的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2 [2024 雅安]如图,直线 AB,CD 相交于点 O,OE⊥AB 于点 O.若∠1=35°,则∠2 的度数是 (
A.55°
B.45°
C.35°
D.30°
A
)A.55°
B.45°
C.35°
D.30°
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先看到OE⊥AB，根据垂直的定义可知∠BOE为90°；再观察图形，CD是过O点的直线，因此∠1、∠BOE、∠2三个角组成一个平角，和为180°，已知∠1的度数，代入角度和的关系就能求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ OE⊥AB，
∴ ∠BOE = 90°（垂直的定义）。
∵ 直线CD经过点O，∠COD为平角，
∴ ∠1 + ∠BOE + ∠2 = 180°。
将∠1=35°代入得：
35° + 90° + ∠2 = 180°，
∴ ∠2 = 180° - 90° - 35° = 55°。
【答案】
A
【知识点】
垂直的定义，平角的性质，角度和差计算
【点评】
本题属于几何角度计算的基础题，解题关键是结合图形理清各角之间的数量关系，熟练掌握垂直、平角的相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件入手，首先看到OE⊥AB，根据垂直的定义可知∠BOE为90°；再观察图形，CD是过O点的直线，因此∠1、∠BOE、∠2三个角组成一个平角，和为180°，已知∠1的度数，代入角度和的关系就能求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ OE⊥AB，
∴ ∠BOE = 90°（垂直的定义）。
∵ 直线CD经过点O，∠COD为平角，
∴ ∠1 + ∠BOE + ∠2 = 180°。
将∠1=35°代入得：
35° + 90° + ∠2 = 180°，
∴ ∠2 = 180° - 90° - 35° = 55°。
【答案】
A
【知识点】
垂直的定义，平角的性质，角度和差计算
【点评】
本题属于几何角度计算的基础题，解题关键是结合图形理清各角之间的数量关系，熟练掌握垂直、平角的相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.85
3 下列时刻,时针与分针互相垂直的是 （
A.2时30分
B.12时15分
C.6时15分
D.3时整
D
）A.2时30分
B.12时15分
C.6时15分
D.3时整
答案
3.D
解析
【分析】
要判断时针与分针是否垂直，即判断二者夹角是否为90°。首先明确钟面的基本特征：钟面一周为360°，平均分成12个大格，因此每个大格对应的角度是360°÷12=30°，90°的夹角刚好对应3个大格的整格差。解题时先分析整时时刻，再分析非整时时刻，非整时时刻时针不会刚好指向整数字，会向后续数字偏移，因此夹角不会刚好等于3个大格的90°，据此逐个排除错误选项即可。
【解析】
钟面一周为360°，共分12个大格，每大格的角度为：$ 360° ÷ 12 = 30° $。
我们逐个分析选项：
A.2时30分：分针指向6，时针位于2和3的中间，二者相差3.5个大格，夹角为$ 3.5 × 30° = 105° ≠ 90° $，不垂直；
B.12时15分：分针指向3，时针因15分钟的走时，从12向1偏移了一小段，二者相差不足3个大格，夹角小于90°，不垂直；
C.6时15分：分针指向3，时针因15分钟的走时，从6向7偏移了一小段，二者相差超过3个大格，夹角大于90°，不垂直；
D.3时整：分针指向12，时针指向3，二者刚好相差3个大格，夹角为$ 3 × 30° = 90° $，互相垂直。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
钟面角度计算；垂直的定义
【点评】
本题考查钟表时针与分针夹角的判断，解题的关键是牢记钟面每大格对应30°，同时注意非整时时刻时针会随时间产生偏移，避免误算夹角。
【难度系数】
0.8
要判断时针与分针是否垂直，即判断二者夹角是否为90°。首先明确钟面的基本特征：钟面一周为360°，平均分成12个大格，因此每个大格对应的角度是360°÷12=30°，90°的夹角刚好对应3个大格的整格差。解题时先分析整时时刻，再分析非整时时刻，非整时时刻时针不会刚好指向整数字，会向后续数字偏移，因此夹角不会刚好等于3个大格的90°，据此逐个排除错误选项即可。
【解析】
钟面一周为360°，共分12个大格，每大格的角度为：$ 360° ÷ 12 = 30° $。
我们逐个分析选项：
A.2时30分：分针指向6，时针位于2和3的中间，二者相差3.5个大格，夹角为$ 3.5 × 30° = 105° ≠ 90° $，不垂直；
B.12时15分：分针指向3，时针因15分钟的走时，从12向1偏移了一小段，二者相差不足3个大格，夹角小于90°，不垂直；
C.6时15分：分针指向3，时针因15分钟的走时，从6向7偏移了一小段，二者相差超过3个大格，夹角大于90°，不垂直；
D.3时整：分针指向12，时针指向3，二者刚好相差3个大格，夹角为$ 3 × 30° = 90° $，互相垂直。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
钟面角度计算；垂直的定义
【点评】
本题考查钟表时针与分针夹角的判断，解题的关键是牢记钟面每大格对应30°，同时注意非整时时刻时针会随时间产生偏移，避免误算夹角。
【难度系数】
0.8
4 如图①②③④，分别过点 P 画 AB 的垂线。
答案
4. 如图①②③④，直线 PM 即为所求
解析
【分析】
要过点P画AB的垂线，可借助三角尺的直角完成作图，核心是保证所作直线与AB的夹角为90°，遵循“一落、二移、三画”的原则操作：一落是把三角尺的一条直角边对齐AB；二移是平移三角尺，让它的另一条直角边经过点P；三画是沿着过点P的直角边画直线。若垂足落在线段AB外，可先延长AB再作图；在网格中作图时，可借助网格格点的特征找到与AB垂直的直线走向。
【解析】
作图步骤如下：
1. 图①：将三角尺的一条直角边与直线AB重合，沿AB平移三角尺，使另一条直角边经过点P，沿该直角边画直线，与AB交于点M，标注直角符号，直线PM即为所求。
2. 图②：将三角尺的一条直角边与AB重合，平移三角尺使另一条直角边过在AB上的点P，沿该直角边画直线，标注直角符号，直线PM即为所求。
3. 图③：先延长线段AB，将三角尺的一条直角边与AB的延长线重合，平移三角尺使另一条直角边过点P，沿该直角边画直线，与AB延长线交于点M，标注直角符号，直线PM即为所求。
4. 图④：根据网格中AB的走向，找到与AB垂直的格点连线方向，过点P画直线，与AB交于点M，标注直角符号，直线PM即为所求。
【答案】
4. 如图①②③④，直线 PM 即为所求
【知识点】
垂线的画法，垂直的定义
【点评】
本题是基础作图类题目，考查过定点作已知直线垂线的操作技能，需要注意区分点在直线上、点在直线外，以及线段需延长、网格作图等不同场景的处理，作图时要标注直角符号，保证作图规范。
【难度系数】
0.85
要过点P画AB的垂线，可借助三角尺的直角完成作图，核心是保证所作直线与AB的夹角为90°，遵循“一落、二移、三画”的原则操作：一落是把三角尺的一条直角边对齐AB；二移是平移三角尺，让它的另一条直角边经过点P；三画是沿着过点P的直角边画直线。若垂足落在线段AB外，可先延长AB再作图；在网格中作图时，可借助网格格点的特征找到与AB垂直的直线走向。
【解析】
作图步骤如下：
1. 图①：将三角尺的一条直角边与直线AB重合，沿AB平移三角尺，使另一条直角边经过点P，沿该直角边画直线，与AB交于点M，标注直角符号，直线PM即为所求。
2. 图②：将三角尺的一条直角边与AB重合，平移三角尺使另一条直角边过在AB上的点P，沿该直角边画直线，标注直角符号，直线PM即为所求。
3. 图③：先延长线段AB，将三角尺的一条直角边与AB的延长线重合，平移三角尺使另一条直角边过点P，沿该直角边画直线，与AB延长线交于点M，标注直角符号，直线PM即为所求。
4. 图④：根据网格中AB的走向，找到与AB垂直的格点连线方向，过点P画直线，与AB交于点M，标注直角符号，直线PM即为所求。
【答案】
4. 如图①②③④，直线 PM 即为所求
【知识点】
垂线的画法，垂直的定义
【点评】
本题是基础作图类题目，考查过定点作已知直线垂线的操作技能，需要注意区分点在直线上、点在直线外，以及线段需延长、网格作图等不同场景的处理，作图时要标注直角符号，保证作图规范。
【难度系数】
0.85
5 教材 P175 例2变式 如图，O 是直线 AB 上一点，$∠ AOC=40°$，OD 平分$∠ AOC$，$∠ COE=70°$.
（1）试说明 $DO⊥ OE$.
（2）OE 平分$∠ BOC$吗？请说明理由.
（1）试说明 $DO⊥ OE$.
（2）OE 平分$∠ BOC$吗？请说明理由.
答案
5.（1）因为 OD 平分∠AOC，∠AOC=40°，所以∠DOC=1/2∠AOC=20°. 因为∠COE=70°，所以∠DOE=∠DOC+∠COE=20°+70°=90°. 所以DO⊥OE
（2）OE平分∠BOC
理由: 因为∠AOC+∠COE+∠BOE=180°,∠AOC=40°,∠COE=70°,所以∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=180°-40°-70°=70°. 所以∠BOE=∠COE. 所以OE平分∠BOC.
（2）OE平分∠BOC
理由: 因为∠AOC+∠COE+∠BOE=180°,∠AOC=40°,∠COE=70°,所以∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=180°-40°-70°=70°. 所以∠BOE=∠COE. 所以OE平分∠BOC.
解析
【分析】
（1）要证明$DO⊥OE$，根据垂直的定义，只需证明$∠DOE=90°$即可。已知OD平分$∠AOC$，可先利用角平分线的性质求出$∠DOC$的度数，再结合已知的$∠COE$的度数求和，即可得到$∠DOE$的度数，判断是否为$90°$即可完成证明。
（2）要判断OE是否平分$∠BOC$，根据角平分线的定义，只需验证$∠BOE$和$∠COE$是否相等即可。因为O在直线AB上，$∠AOB$是平角为$180°$，用$180°$减去已知的$∠AOC$和$∠COE$的度数，即可求出$∠BOE$的度数，和$∠COE$对比即可得出结论。
【解析】
（1）证明：
∵ OD平分$∠AOC$，$∠AOC=40°$，
∴ $∠DOC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
又
∵ $∠COE=70°$，
∴ $∠DOE=∠DOC+∠COE=20°+70°=90°$，
∴ $DO⊥OE$。
（2）OE平分$∠BOC$，理由如下：
∵ O是直线AB上一点，
∴ $∠AOB=180°$，即$∠AOC+∠COE+∠BOE=180°$，
∵ $∠AOC=40°$，$∠COE=70°$，
∴ $∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=180°-40°-70°=70°$，
∴ $∠BOE=∠COE$，
∴ OE平分$∠BOC$。
【答案】
（1）$DO⊥OE$；
（2）OE平分$∠BOC$。
【知识点】
角平分线的定义；垂直的判定；平角的性质
【点评】
本题是角的计算类基础题，解题核心是熟练掌握角平分线、垂直、平角的相关定义，通过角度的和差运算即可完成证明与判断。
【难度系数】
0.8
（1）要证明$DO⊥OE$，根据垂直的定义，只需证明$∠DOE=90°$即可。已知OD平分$∠AOC$，可先利用角平分线的性质求出$∠DOC$的度数，再结合已知的$∠COE$的度数求和，即可得到$∠DOE$的度数，判断是否为$90°$即可完成证明。
（2）要判断OE是否平分$∠BOC$，根据角平分线的定义，只需验证$∠BOE$和$∠COE$是否相等即可。因为O在直线AB上，$∠AOB$是平角为$180°$，用$180°$减去已知的$∠AOC$和$∠COE$的度数，即可求出$∠BOE$的度数，和$∠COE$对比即可得出结论。
【解析】
（1）证明：
∵ OD平分$∠AOC$，$∠AOC=40°$，
∴ $∠DOC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
又
∵ $∠COE=70°$，
∴ $∠DOE=∠DOC+∠COE=20°+70°=90°$，
∴ $DO⊥OE$。
（2）OE平分$∠BOC$，理由如下：
∵ O是直线AB上一点，
∴ $∠AOB=180°$，即$∠AOC+∠COE+∠BOE=180°$，
∵ $∠AOC=40°$，$∠COE=70°$，
∴ $∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=180°-40°-70°=70°$，
∴ $∠BOE=∠COE$，
∴ OE平分$∠BOC$。
【答案】
（1）$DO⊥OE$；
（2）OE平分$∠BOC$。
【知识点】
角平分线的定义；垂直的判定；平角的性质
【点评】
本题是角的计算类基础题，解题核心是熟练掌握角平分线、垂直、平角的相关定义，通过角度的和差运算即可完成证明与判断。
【难度系数】
0.8
6 有下列说法:① 两条直线相交,交点叫作垂足;② 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;③ 在同一平面内,一条直线有且只有一条垂线;④ 在同一平面内,一条线段有无数条垂线;⑤ 过一点不可能向一条射线或线段所在的直线作垂线;⑥ 若 $a ⊥ b$ ,则 a 是 b 的垂线,b 不是 a 的垂线.其中,正确的有 （
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
6.A
解析
【分析】
本题考查垂直相关的概念与性质，解题时需结合垂线、垂足的定义，以及垂线的基本性质，对6个说法逐一判断正误，最终统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析各说法：
① 只有两条互相垂直的直线相交时，交点才叫作垂足，普通相交的交点不属于垂足，故①错误；
② 根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确；
③ 在同一平面内，过任意一点都可以作已知直线的垂线，因此一条直线有无数条垂线，故③错误；
④ 线段的垂线是指与线段所在直线垂直的直线，同一平面内与某条直线垂直的直线有无数条，因此一条线段有无数条垂线，故④正确；
⑤ 过一点可以向射线或线段所在的直线作垂线，必要时可延长线段或反向延长射线，故⑤错误；
⑥ 垂直是相互关系，若$a ⊥ b$，则a是b的垂线，b同样是a的垂线，故⑥错误。
综上，正确的说法有②、④，共2个。
【答案】
A
【知识点】
垂线的定义、垂线的性质
【点评】
本题属于概念辨析题，解题的关键是准确理解相关定义，注意区分普通相交与垂直相交的差异，明确线段、射线的垂线实际是对其所在直线作垂线，不要混淆概念导致判断错误。
【难度系数】
0.6
本题考查垂直相关的概念与性质，解题时需结合垂线、垂足的定义，以及垂线的基本性质，对6个说法逐一判断正误，最终统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析各说法：
① 只有两条互相垂直的直线相交时，交点才叫作垂足，普通相交的交点不属于垂足，故①错误；
② 根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确；
③ 在同一平面内，过任意一点都可以作已知直线的垂线，因此一条直线有无数条垂线，故③错误；
④ 线段的垂线是指与线段所在直线垂直的直线，同一平面内与某条直线垂直的直线有无数条，因此一条线段有无数条垂线，故④正确；
⑤ 过一点可以向射线或线段所在的直线作垂线，必要时可延长线段或反向延长射线，故⑤错误；
⑥ 垂直是相互关系，若$a ⊥ b$，则a是b的垂线，b同样是a的垂线，故⑥错误。
综上，正确的说法有②、④，共2个。
【答案】
A
【知识点】
垂线的定义、垂线的性质
【点评】
本题属于概念辨析题，解题的关键是准确理解相关定义，注意区分普通相交与垂直相交的差异，明确线段、射线的垂线实际是对其所在直线作垂线，不要混淆概念导致判断错误。
【难度系数】
0.6
