7 将一副直角三角尺$ABC$，$ADE$按如图所示的方式放置，其中点$B$，$E$重合，$∠ BAC = 45°$，$∠ BAD = 30°$. 将三角尺$ADE$从图中位置开始绕点$A$逆时针旋转一周，当$AD ⊥ AC$时，$∠ BAE$的度数为 （）

A.$75°$
B.$45°$
C.$45°$或$135°$
D.$75°$或$105°$

7.D

【分析】
本题属于旋转背景下的角度计算问题，解题时要注意旋转一周会出现2次AD⊥AC的情况，需分类讨论避免漏解。首先明确固定角度：三角尺ADE的∠DAE=30°始终不变，△ABC的∠BAC=45°始终不变，再分别对AD在AC上方、AD在AC下方两种垂直的情况，利用角的和差计算∠BAE的度数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当AD旋转至AC上方，且AD⊥AC时：
由垂直的定义得∠DAC=90°，
∵ ∠BAC=45°，
∴ ∠BAD=∠DAC - ∠BAC=90°-45°=45°，
又
∵ 三角尺ADE中∠DAE=30°固定不变，
∴ ∠BAE=∠BAD + ∠DAE=45°+30°=75°；
2. 当AD旋转至AC下方，且AD⊥AC时：
由垂直的定义得∠DAC=90°，
此时∠BAD=∠BAC + ∠DAC=45°+90°=135°，
又
∵ ∠DAE=30°，
∴ ∠BAE=∠BAD - ∠DAE=135°-30°=105°。
综上，∠BAE的度数为75°或105°。
【答案】
D
【知识点】
垂直的定义，角的和差计算，旋转的性质
【点评】
本题是角度计算与旋转结合的常考题型，解题的关键是掌握旋转过程中三角尺的角度保持不变，同时注意分类讨论所有满足AD⊥AC的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6

8 如图，$CA ⊥ BE$ 于点 $A$，$AD ⊥ BF$ 于点 $D$，则下列说法正确的是 （）

A.$∠ α$ 的余角只有 $∠ B$
B.$∠ DAC$ 是 $∠ α$ 的补角
C.$∠ ACF$ 是 $∠ α$ 的余角
D.$∠ α$ 与 $∠ ACF$ 互补

8.D 【解析】题图中∠α的余角有∠B，∠DAC. 故A,B错误. 易知∠α=∠ACB，所以∠ACF是∠α的补角. 故C错误，D正确.

【分析】
解题时先明确余角（和为90°的两个角）、补角（和为180°的两个角）的定义，结合题目给出的两个垂直条件，先找出和∠α相加等于90°的角，再通过同角的余角相等推导∠α和其他角的等量关系，最后逐一判断选项即可。
【解析】
已知$CA ⊥ BE$，$AD ⊥ BF$，因此$∠ BAC = ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$：
1. 分析选项A：由$∠ α + ∠ B = 90°$，$∠ α + ∠ DAC = 90°$，可知$∠ α$的余角有$∠ B$和$∠ DAC$共2个，A错误；
2. 分析选项B：$∠ α + ∠ DAC = 90°$，二者互余而非互补，B错误；
3. 分析选项C：$∠ B + ∠ α = 90°$，$∠ B + ∠ ACB = 90°$，根据同角的余角相等可得$∠ α = ∠ ACB$；又因为$∠ ACB + ∠ ACF = 180°$，因此$∠ ACF$是$∠ α$的补角，不是余角，C错误；
4. 分析选项D：由上述推导可知$∠ α = ∠ ACB$，$∠ ACB + ∠ ACF = 180°$，因此$∠ α + ∠ ACF = 180°$，二者互补，D正确。
【答案】
D
【知识点】
余角与补角；垂直的性质；同角的余角相等
【点评】
本题核心是结合几何图形判断角的互余、互补关系，解题时要先从垂直条件入手得到直角，再通过角的和差关系、等量代换梳理不同角之间的数量关系，避免漏看互余的角、混淆互余和互补的概念。
【难度系数】
0.7

9（易错题）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD。当∠AOC=30°时，∠BOD的度数为。

9. 60°或120°
易错分析
本题的射线OC,OD需要分“在直线AB同侧”或“在直线AB异侧”两种情况讨论.

【分析】
首先明确已知条件：AB是直线，因此∠AOB为180°的平角；OC⊥OD，因此∠COD=90°；已知∠AOC=30°。由于题目未说明射线OC、OD与直线AB的位置关系，存在两种位置情况，需分类讨论求解：第一种是OC、OD在直线AB的同侧，第二种是OC、OD在直线AB的异侧，结合平角、垂直的性质分别计算即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当射线OC、OD在直线AB的同侧时：
∵ OC⊥OD，根据垂直的定义，
∴ ∠COD=90°
∵ 点O在直线AB上，根据平角的定义，
∴ ∠AOC + ∠COD + ∠BOD = 180°
将∠AOC=30°，∠COD=90°代入得：
30° + 90° + ∠BOD = 180°
解得：∠BOD = 180° - 30° - 90° = 60°
2. 当射线OC、OD在直线AB的异侧时：
∵ OC⊥OD，根据垂直的定义，
∴ ∠COD=90°
已知∠AOC=30°，
∴ ∠AOD = ∠COD - ∠AOC = 90° - 30° = 60°
∵ 点O在直线AB上，根据平角的定义，
∴ ∠AOD + ∠BOD = 180°
解得：∠BOD = 180° - 60° = 120°
综上，∠BOD的度数为60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
垂直的定义，平角的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题时常因忽略射线OC、OD位置的不确定性，只考虑其中一种情况导致漏解，解题时要先梳理所有可能的图形位置，再分类计算避免出错。
【难度系数】
0.6

10 已知一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的3倍小$20°$，则这两个角的度数分别为$\underline{\hspace{8cm}}$.

10. 50°,130°或10°,10°

【分析】
解题时首先要明确核心性质：若两个角的两边分别互相垂直，则这两个角要么相等，要么互补。接下来我们可以设其中一个角的度数为$x$，根据“一个角比另一个角的3倍小$20°$”的数量关系表示出另一个角的度数，再分“两角相等”“两角互补”两种情况列方程求解，最后验证解的合理性即可。
【解析】
设其中一个角的度数为$x°$，则另一个角的度数为$(3x - 20)°$。
根据两个角的两边分别垂直的性质，分两种情况讨论：
1. 当两个角相等时：
$x = 3x - 20$
移项得：$3x - x = 20$
合并同类项得：$2x = 20$
解得：$x = 10$
此时两个角均为$10°$，符合题意。
2. 当两个角互补（和为$180°$）时：
$x + (3x - 20) = 180$
化简得：$4x - 20 = 180$
移项得：$4x = 200$
解得：$x = 50$
则另一个角为$3×50 - 20 = 130°$，符合题意。
【答案】
10°,10°或50°,130°
【知识点】
1. 两边垂直的两角关系
2. 一元一次方程应用
3. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易遗漏两角相等的情况，仅考虑两角互补的关系导致漏解。解题时要结合几何性质全面分析所有可能的位置关系，分类讨论后还要验证结果是否符合题设要求。
【难度系数】
0.6

11 如图①②所示的网格图均由相同的小正方形组成,网格线的交点称为格点.
（1）在图①的网格图中,A,B,C均为格点,过点C画AB的垂线;
（2）在图②的网格图中,A,B均为格点,画一个以AB为边的正方形ABCD.

11.（1）如图①，直线AC即为所求 （2）如图②，正方形ABCD即为所求

【分析】
（1）要过点C画AB的垂线，需依据垂线的定义（夹角为90°的两条直线互相垂直）作图。观察网格中AB的走向：AB为右下倾斜的正方形对角线，我们只需找到过点C的格点线段，使其与AB夹角为直角即可。观察格点位置，连接AC后可验证其与AB垂直，因此直线AC为所求垂线。
（2）要画以AB为边的正方形，需结合正方形“四条边相等、相邻边互相垂直”的特征作图。首先确定AB的长度，再分别过A、B作AB的垂线，在垂线上截取与AB等长的线段得到另外两个顶点，最后顺次连接四个顶点即可得到符合要求的正方形。
【解析】
（1）①观察图①的AB：从A到B横向右移2格、纵向下移2格，是2×2网格的对角线；
②连接AC，AC从A到C横向右移1格、纵向上移1格，是1×1网格的对角线；
③正方形对角线方向互相垂直，因此AB⊥AC，直线AC即为过点C的AB的垂线。
（2）①观察AB的长度对应特征：图②中AB从B到A横向右移4格、纵向上移2格，根据网格特征，只要另一条线段的横向、纵向移动格数为2、4，长度就和AB相等，且两条线段互相垂直；
②过A作AB的垂线：沿横向右移2格、纵向下移4格找到格点D，可得AD和AB长度相等，且AD⊥AB；
③过B作AB的垂线：沿横向右移2格、纵向下移4格找到格点C，可得BC和AB长度相等，且BC⊥AB；
④顺次连接B、C、D、A，所得四边形ABCD四条边相等、相邻边垂直，为所求正方形。
【答案】
11.（1）如图①，直线AC即为所求 （2）如图②，正方形ABCD即为所求

【知识点】
垂线的画法；正方形的性质；格点作图
【点评】
本题属于基础的网格几何作图题，考查对垂线、正方形相关性质的应用能力，解题时可结合网格的结构特征快速定位符合要求的格点，作图后注意验证图形是否满足条件，能有效锻炼学生的观察能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.8

12 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,CD⊥OF,OE 平分∠BOD.
(1) 若∠AOC=72°,则∠EOF 的度数为 ;
(2) 若∠DOE 比∠BOF 大 24°,求∠AOF 的度数;
(3) 在(2)的基础上,过点 O 作 OG⊥OE,则∠FOG 的度数为 .

(第 12 题)

12. (1) $54°$ 【解析】因为 $CD ⊥ OF$,所以$∠ DOF = 90°$. 因为$∠ BOD=∠ AOC,∠ AOC=72°$,所以$∠ BOD=72°$. 因为OE平分$∠ BOD$,所以$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD=36°$. 所以$∠ EOF=∠ DOF-∠ DOE=90°-36°=54°$.
(2) 设$∠ BOF=x$,则$∠ DOE=x+24°$. 因为OE平分$∠ BOD$,所以$∠ BOD=2∠ DOE=2x+48°$. 因为$CD ⊥ OF$,所以$∠ DOF=∠ BOD+∠ BOF=90°$. 所以$2x+48°+x=90°$,解得$x=14°$,即$∠ BOF=14°$. 因为$∠ AOB=180°$,所以$∠ AOF=∠ AOB-∠ BOF=180°-14°=166°$
(3) $142°$或$38°$

【分析】
(1) 先利用对顶角相等得到∠BOD的度数，再根据角平分线的定义求出∠DOE的度数，结合CD⊥OF得到∠DOF=90°，用∠DOF减去∠DOE即可求出∠EOF。
(2) 采用方程思想求解，设∠BOF为x，根据题意表示出∠DOE，再由角平分线定义得到∠BOD的表达式，结合∠BOD+∠BOF=90°列方程求出x的值，最后利用平角为180°计算∠AOF的度数。
(3) 因为未明确OG的位置，需分两种情况讨论：OG在CD上方、OG在CD下方，结合垂直的定义和已知角的度数分别计算∠FOG，避免漏解。
【解析】
(1)
∵CD⊥OF，
∴∠DOF=90°。
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=72°。
∵OE平分∠BOD，
∴$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×72°=36°$。
∴$∠ EOF=∠ DOF-∠ DOE=90°-36°=54°$。
(2) 设$∠ BOF=x$，则$∠ DOE=x+24°$。
∵OE平分∠BOD，
∴$∠ BOD=2∠ DOE=2(x+24°)=2x+48°$。
∵CD⊥OF，
∴$∠ DOF=90°$，即$∠ BOD+∠ BOF=90°$。
代入得：$2x+48°+x=90°$，解得$x=14°$，即$∠ BOF=14°$。
∵∠AOB是平角，$∠ AOB=180°$，
∴$∠ AOF=∠ AOB-∠ BOF=180°-14°=166°$。
(3) 由(2)得$∠ DOE=14°+24°=38°$，
∴$∠ EOF=∠ DOF-∠ DOE=90°-38°=52°$。
分两种情况：
①当OG在∠AOC一侧时，
∵OG⊥OE，
∴$∠ EOG=90°$，$∠ FOG=∠ EOG+∠ EOF=90°+52°=142°$；
②当OG在∠DOE一侧时，$∠ FOG=∠ EOG-∠ EOF=90°-52°=38°$。
综上，∠FOG的度数为$142°$或$38°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{54°}$；(2) $\boldsymbol{166°}$；(3) $\boldsymbol{142°}$或$\boldsymbol{38°}$
【知识点】
对顶角相等，角平分线定义，垂直的定义
【点评】
本题是相交线中角的计算综合题，考查了对顶角、角平分线、垂直的基础性质，同时融入了方程思想和分类讨论思想，解题时要注意未明确位置的垂线需考虑所有可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6