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7. 如图，A 是直线 $ l $ 外一点，过点 A 作 $ AB ⊥ $ 直线 $ l $ 于点 B. 在直线 $ l $ 上取一点 C，连接 AC，使 $ AC = \frac{5}{3}AB $. 点 P 在线段 BC 上，连接 AP. 若 $ AB = 3 $，则线段 AP 的长不可能是 （
A.3.5
B.4
C.5
D.5.5
D
）A.3.5
B.4
C.5
D.5.5
答案
7.D
解析
【分析】
解题思路：首先根据已知的AB长度和AC与AB的数量关系算出AC的长度，再结合AB垂直直线l的条件，利用“垂线段最短”的性质，确定点A到线段BC上各点的连线AP的取值范围，最后对比各选项，找出不在取值范围内的数值即为答案。
【解析】
解：已知$AB=3$，且$AC=\frac{5}{3}AB$，代入计算得：
$AC=\frac{5}{3}×3=5$
∵$AB⊥$直线$l$，根据垂线段最短的性质，点A到直线$l$上的点的连线中，最短长度为$AB=3$；
又
∵点P在线段BC上，
∴AP的最大长度为$AC=5$，
因此AP的取值范围是$3≤AP≤5$。
对比选项：3.5、4、5均在取值范围内，5.5＞5，不在取值范围内，故AP的长不可能是5.5。
【答案】
D
【知识点】
垂线段最短，线段长度计算，取值范围判断
【点评】
本题考查垂线段性质的应用，解题的核心是结合点P的位置准确确定AP的取值范围，属于基础题型，熟练掌握垂线段最短的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先根据已知的AB长度和AC与AB的数量关系算出AC的长度，再结合AB垂直直线l的条件，利用“垂线段最短”的性质，确定点A到线段BC上各点的连线AP的取值范围，最后对比各选项，找出不在取值范围内的数值即为答案。
【解析】
解：已知$AB=3$，且$AC=\frac{5}{3}AB$，代入计算得：
$AC=\frac{5}{3}×3=5$
∵$AB⊥$直线$l$，根据垂线段最短的性质，点A到直线$l$上的点的连线中，最短长度为$AB=3$；
又
∵点P在线段BC上，
∴AP的最大长度为$AC=5$，
因此AP的取值范围是$3≤AP≤5$。
对比选项：3.5、4、5均在取值范围内，5.5＞5，不在取值范围内，故AP的长不可能是5.5。
【答案】
D
【知识点】
垂线段最短，线段长度计算，取值范围判断
【点评】
本题考查垂线段性质的应用，解题的核心是结合点P的位置准确确定AP的取值范围，属于基础题型，熟练掌握垂线段最短的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图,某单位要在河岸$l$上建一个水泵房引水到$C$处.他们的做法是:过点$C$作$CD⊥ l$于点$D$,将水泵房建在$D$处,这样做最节省水管,其数学道理是________.
答案
8.垂线段最短
解析
【分析】
解题时首先明确核心需求：在河岸直线$l$上选一点，使该点到$C$处的距离最短，才能最节省水管。回忆点与直线的相关性质：直线外一点和直线上所有点的连线中，垂线段的长度是最短的。本题中过$C$作$l$的垂线，垂足为$D$，$CD$就是点$C$到$l$的垂线段，顺着这个思路就能得出对应的数学道理。
【解析】
要最节省水管，本质是在直线$l$上选取到点$C$距离最短的点。根据几何性质：直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短。本题中$CD$是过点$C$作的直线$l$的垂线段，它的长度是点$C$到直线$l$的最短距离，因此将水泵房建在$D$处最节省水管。
【答案】
垂线段最短
【知识点】
垂线段的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是几何基础性质在生活中的实际应用题型，解题关键是将“节省水管”的实际需求转化为“求点到直线的最短距离”的数学问题，结合垂线段的相关性质即可快速得出结论，是考查基础概念应用的典型题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确核心需求：在河岸直线$l$上选一点，使该点到$C$处的距离最短，才能最节省水管。回忆点与直线的相关性质：直线外一点和直线上所有点的连线中，垂线段的长度是最短的。本题中过$C$作$l$的垂线，垂足为$D$，$CD$就是点$C$到$l$的垂线段，顺着这个思路就能得出对应的数学道理。
【解析】
要最节省水管，本质是在直线$l$上选取到点$C$距离最短的点。根据几何性质：直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短。本题中$CD$是过点$C$作的直线$l$的垂线段，它的长度是点$C$到直线$l$的最短距离，因此将水泵房建在$D$处最节省水管。
【答案】
垂线段最短
【知识点】
垂线段的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是几何基础性质在生活中的实际应用题型，解题关键是将“节省水管”的实际需求转化为“求点到直线的最短距离”的数学问题，结合垂线段的相关性质即可快速得出结论，是考查基础概念应用的典型题。
【难度系数】
0.9
9. 如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=6 cm,AC=8 cm,BC=10 cm,则点A到边BC 的距离为 ______ cm.
答案
9.4.8
解析
【分析】
要求点A到边BC的距离，根据点到直线的距离的定义，该距离是点A向BC作垂线段的长度，也就是△ABC中BC边上的高。我们可以利用“同一个三角形用不同方法计算的面积相等”的思路求解：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算，联立两个面积表达式就能求出高的长度，也就是点A到BC的距离。
【解析】
设点A到边BC的距离为$ h $ cm。
∵ △ABC是直角三角形，$ ∠ BAC=90° $
∴ △ABC的面积可表示为：$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × AC $
代入$ AB=6\mathrm{cm} $，$ AC=8\mathrm{cm} $，得：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 \, \mathrm{cm}^2 $
同时，△ABC的面积也可以用BC为底、$ h $为高计算：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × h $
代入$ BC=10\mathrm{cm} $和面积$ 24\mathrm{cm}^2 $，得：
$ \frac{1}{2} × 10 × h = 24 $
解得：$ h=4.8 $
【答案】
4.8
【知识点】
点到直线的距离，三角形面积计算，等积法求值
【点评】
本题是基础的几何计算题，解题核心是利用等积法建立等式，通过两种不同的三角形面积计算方式求出未知的高，只要掌握点到直线距离的定义和三角形面积公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要求点A到边BC的距离，根据点到直线的距离的定义，该距离是点A向BC作垂线段的长度，也就是△ABC中BC边上的高。我们可以利用“同一个三角形用不同方法计算的面积相等”的思路求解：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算，联立两个面积表达式就能求出高的长度，也就是点A到BC的距离。
【解析】
设点A到边BC的距离为$ h $ cm。
∵ △ABC是直角三角形，$ ∠ BAC=90° $
∴ △ABC的面积可表示为：$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × AC $
代入$ AB=6\mathrm{cm} $，$ AC=8\mathrm{cm} $，得：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 \, \mathrm{cm}^2 $
同时，△ABC的面积也可以用BC为底、$ h $为高计算：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × h $
代入$ BC=10\mathrm{cm} $和面积$ 24\mathrm{cm}^2 $，得：
$ \frac{1}{2} × 10 × h = 24 $
解得：$ h=4.8 $
【答案】
4.8
【知识点】
点到直线的距离，三角形面积计算，等积法求值
【点评】
本题是基础的几何计算题，解题核心是利用等积法建立等式，通过两种不同的三角形面积计算方式求出未知的高，只要掌握点到直线距离的定义和三角形面积公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
10. 如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
(2)政府计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？并说明根据.
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
(2)政府计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？并说明根据.
答案
10.解:(1)因为两点之间,线段最短,
所以连接 AD,BC 交于点 H,如答图,它到四个村庄距离之和最小.
第10题答图
(2)过点 H 作$HG⊥ EF$,垂足为 G,如答图,沿 HG 开渠最短.
根据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
解析
【分析】
(1)要找到到四个村庄距离之和最小的点，可利用“两点之间线段最短”的性质推导：若点同时在A与D的连线、B与C的连线上，那么该点到A、D的距离和等于线段AD的长度，到B、C的距离和等于线段BC的长度，此时总距离和是最小的，因此只需作出AD和BC的交点即可。
(2)要使开渠长度最短，本质是求直线EF外一点H到直线EF的最短路径，根据点到直线的距离性质，直线外一点到直线的所有连线中垂线段最短，因此只需过H作EF的垂线段即可。
【解析】
(1)根据两点之间线段最短的性质，连接AD、BC，两条线段交于点H，此时H到四个村庄的距离之和为AD+BC，是所有可能位置中的最小值，因此H就是蓄水池的位置。
(2)过点H作$HG ⊥ EF$，垂足为G，沿HG开渠最短。依据为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
【答案】
(1)连接AD，BC交于点H，点H即为所求，如答图：
第10题答图
(2)过点H作$HG⊥ EF$，垂足为G，沿HG开渠最短，根据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
【知识点】
两点之间线段最短；垂线段的性质；最短路径问题
【点评】
本题是几何性质的实际应用类题目，将生活中的选址、修渠问题转化为几何模型求解，考查了对基础几何性质的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.8
(1)要找到到四个村庄距离之和最小的点，可利用“两点之间线段最短”的性质推导：若点同时在A与D的连线、B与C的连线上，那么该点到A、D的距离和等于线段AD的长度，到B、C的距离和等于线段BC的长度，此时总距离和是最小的，因此只需作出AD和BC的交点即可。
(2)要使开渠长度最短，本质是求直线EF外一点H到直线EF的最短路径，根据点到直线的距离性质，直线外一点到直线的所有连线中垂线段最短，因此只需过H作EF的垂线段即可。
【解析】
(1)根据两点之间线段最短的性质，连接AD、BC，两条线段交于点H，此时H到四个村庄的距离之和为AD+BC，是所有可能位置中的最小值，因此H就是蓄水池的位置。
(2)过点H作$HG ⊥ EF$，垂足为G，沿HG开渠最短。依据为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
【答案】
(1)连接AD，BC交于点H，点H即为所求，如答图：
第10题答图
(2)过点H作$HG⊥ EF$，垂足为G，沿HG开渠最短，根据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
【知识点】
两点之间线段最短；垂线段的性质；最短路径问题
【点评】
本题是几何性质的实际应用类题目，将生活中的选址、修渠问题转化为几何模型求解，考查了对基础几何性质的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.8
11.如图，O是直线AB，CD的交点，OE⊥AB，OF⊥CD，OM是∠BOF的平分线.
(1)填空：
①由OM是∠BOF的平分线，可得∠FOM=∠______；
②若∠AOC=34°，则∠BOD=______；
③根据________，可得∠EOF=∠AOC.
(2)若∠AOC=α，求∠COM的度数.(用含α的代数式表示)
(1)填空：
①由OM是∠BOF的平分线，可得∠FOM=∠______；
②若∠AOC=34°，则∠BOD=______；
③根据________，可得∠EOF=∠AOC.
(2)若∠AOC=α，求∠COM的度数.(用含α的代数式表示)
答案
11.(1)①BOM ②34° ③同角的余角相等
(2)解:因为$∠ AOC=α$,所以$∠ BOD=∠ AOC=α$.
因为$OF⊥ CD$,所以$∠ DOF=90°$,
所以$∠ BOF=∠ DOF-∠ BOD=90°-α$.
因为 OM 是$∠ BOF$的平分线,
所以$∠ MOF=\frac{1}{2}∠ BOF=\frac{1}{2}(90°-α)=45°-\frac{1}{2}α$.
因为$OF⊥ CD$,所以$∠ COF=90°$,
所以$∠ COM=∠ COF+∠ MOF=90°+45°-\frac{1}{2}α=135°-\frac{1}{2}α$.
(2)解:因为$∠ AOC=α$,所以$∠ BOD=∠ AOC=α$.
因为$OF⊥ CD$,所以$∠ DOF=90°$,
所以$∠ BOF=∠ DOF-∠ BOD=90°-α$.
因为 OM 是$∠ BOF$的平分线,
所以$∠ MOF=\frac{1}{2}∠ BOF=\frac{1}{2}(90°-α)=45°-\frac{1}{2}α$.
因为$OF⊥ CD$,所以$∠ COF=90°$,
所以$∠ COM=∠ COF+∠ MOF=90°+45°-\frac{1}{2}α=135°-\frac{1}{2}α$.
解析
【分析】
解决本题需结合相交线的基础性质逐步推导：(1)①依据角平分线的定义，角平分线分原角为两个相等的角，可直接确定对应相等的角；②∠AOC和∠BOD是对顶角，利用对顶角相等即可求出结果；③先判断出∠EOF和∠AOC都与∠COE互余，根据同角的余角相等可得到二者相等。(2)计算∠COM时，先通过对顶角相等得到∠BOD的度数，结合OF⊥CD求出∠BOF的度数，再利用角平分线的性质求出∠MOF，最后结合∠COF是直角，通过角的和差关系即可求出∠COM的度数。
【解析】
(1)①根据角平分线的定义，OM平分∠BOF，因此∠FOM=∠BOM；
②∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等，可得∠BOD=∠AOC=34°；
③已知OE⊥AB，则∠AOC+∠COE=90°，OF⊥CD，则∠EOF+∠COE=90°，∠AOC和∠EOF都是∠COE的余角，根据同角的余角相等，可得∠EOF=∠AOC。
(2)解：因为$∠ AOC=α$，$∠ BOD$与$∠ AOC$是对顶角，所以$∠ BOD=∠ AOC=α$。
因为$OF⊥ CD$，所以$∠ DOF=90°$，
所以$∠ BOF=∠ DOF-∠ BOD=90°-α$。
因为$OM$是$∠ BOF$的平分线，
所以$∠ MOF=\frac{1}{2}∠ BOF=\frac{1}{2}(90°-α)=45°-\frac{1}{2}α$。
因为$OF⊥ CD$，所以$∠ COF=90°$，
所以$∠ COM=∠ COF+∠ MOF=90°+45°-\frac{1}{2}α=135°-\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1)①$\mathrm{BOM}$；②$34°$；③同角的余角相等
(2)$∠ COM=135°-\frac{1}{2}α$
【知识点】
对顶角相等，角平分线的定义，同角的余角相等
【点评】
本题是角度计算的基础题型，结合垂直、角平分线、对顶角、余角的性质考查角的和差运算，解题的核心是理清图中各角的位置和数量关系，准确运用相关性质推导计算。
【难度系数】
0.8
解决本题需结合相交线的基础性质逐步推导：(1)①依据角平分线的定义，角平分线分原角为两个相等的角，可直接确定对应相等的角；②∠AOC和∠BOD是对顶角，利用对顶角相等即可求出结果；③先判断出∠EOF和∠AOC都与∠COE互余，根据同角的余角相等可得到二者相等。(2)计算∠COM时，先通过对顶角相等得到∠BOD的度数，结合OF⊥CD求出∠BOF的度数，再利用角平分线的性质求出∠MOF，最后结合∠COF是直角，通过角的和差关系即可求出∠COM的度数。
【解析】
(1)①根据角平分线的定义，OM平分∠BOF，因此∠FOM=∠BOM；
②∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等，可得∠BOD=∠AOC=34°；
③已知OE⊥AB，则∠AOC+∠COE=90°，OF⊥CD，则∠EOF+∠COE=90°，∠AOC和∠EOF都是∠COE的余角，根据同角的余角相等，可得∠EOF=∠AOC。
(2)解：因为$∠ AOC=α$，$∠ BOD$与$∠ AOC$是对顶角，所以$∠ BOD=∠ AOC=α$。
因为$OF⊥ CD$，所以$∠ DOF=90°$，
所以$∠ BOF=∠ DOF-∠ BOD=90°-α$。
因为$OM$是$∠ BOF$的平分线，
所以$∠ MOF=\frac{1}{2}∠ BOF=\frac{1}{2}(90°-α)=45°-\frac{1}{2}α$。
因为$OF⊥ CD$，所以$∠ COF=90°$，
所以$∠ COM=∠ COF+∠ MOF=90°+45°-\frac{1}{2}α=135°-\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1)①$\mathrm{BOM}$；②$34°$；③同角的余角相等
(2)$∠ COM=135°-\frac{1}{2}α$
【知识点】
对顶角相等，角平分线的定义，同角的余角相等
【点评】
本题是角度计算的基础题型，结合垂直、角平分线、对顶角、余角的性质考查角的和差运算，解题的核心是理清图中各角的位置和数量关系，准确运用相关性质推导计算。
【难度系数】
0.8
