1. 如果两个相似三角形的相似比是1:2,那么它们的面积比是()
A.1:2
B.1:4
C.$1:\sqrt{2}$
D.2:1

解：因为相似三角形面积的比等于相似比的平方，已知相似比是1:2，所以面积比是$1^2:2^2 = 1:4$。
答案：B

2. 如图1,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等,则$\frac{DE}{BC}$等于()
A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

解：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2$。
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，
∴$\frac{1}{2}=(\frac{DE}{BC})^2$，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
答案：D

3. 如图2,在□ABCD中,E为CD上一点,连接AE,BD,且AE,BD交于点F,$S_{\triangle DEF}:S_{\triangle BAF}= 4:25$,则DE:EC= ()
A.2:5
B.2:3
C.3:5
D.3:2

解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠DEF=∠BAF，∠EDF=∠ABF，
∴△DEF∽△BAF（两角对应相等的两个三角形相似）。
∵S△DEF:S△BAF=4:25，
∴(DE/BA)²=4/25（相似三角形面积比等于相似比的平方），
∴DE/BA=2/5，
∵AB=CD，
∴DE/CD=2/5，
设DE=2k，CD=5k（k＞0），则EC=CD-DE=5k-2k=3k，
∴DE:EC=2k:3k=2:3。
答案：B

4. 如图3,在□ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,CD= 2DE. 若△DEF的面积为a,则□ABCD的面积为()
A.9a
B.10a
C.12a
D.13a

解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB//CD，AD//BC。
∵E是CD延长线上一点，
∴AB//CE，
∴△ABF∽△DEF（两直线平行，内错角相等，对应角相等）。
∵CD=2DE，设DE=x，则CD=2x，AB=CD=2x，CE=CD+DE=3x。
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$，即相似比为$\frac{1}{2}$。
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
∵$S_{\triangle DEF}=a$，
∴$S_{\triangle ABF}=4a$。
∵AB//CE，
∴△ADF∽△ECF（AD//BC，∠AFD=∠EFC，对顶角相等）。
$\frac{AD}{EC}=\frac{AD}{3x}$，又AD=BC，且由△ABF∽△DEF得$\frac{AF}{FD}=\frac{AB}{DE}=2$，设FD=y，则AF=2y，AD=AF+FD=3y，
∴$\frac{AD}{EC}=\frac{3y}{3x}=\frac{y}{x}$，又$\frac{FD}{AF}=\frac{1}{2}$，$\frac{FD}{AD}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ADF}}=\frac{DE}{AD}×\frac{FD}{AD}$（等高三角形面积比等于底之比），
∵△DEF与△ADF等高（以F为顶点，DE和AD为底），
∴$\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ADF}}=\frac{DE}{AD}=\frac{x}{3y}×3y/x= \frac{1}{3}$，
∴$S_{\triangle ADF}=3a$。
同理，$S_{\triangle BCF}=S_{\triangle ADF}=3a$（平行四边形对角线平分面积，△ABD≌△CDB，面积相等，$S_{\triangle ABF}+S_{\triangle ADF}=S_{\triangle CDE}+S_{\triangle BCF}$）。
∴平行四边形ABCD面积= $S_{\triangle ABF}+S_{\triangle ADF}+S_{\triangle BCF}+S_{\triangle CDE}$（此处修正：应为$S_{\triangle ABF}+S_{\triangle ADF}+S_{\triangle BCF}$，因$S_{\triangle CDE}$包含于外部，实际平行四边形面积= $S_{\triangle ABF}+S_{\triangle ADF}+S_{\triangle BCF}$）
= $4a + 3a + 3a = 10a$？（修正：重新计算：
连接BD，$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABF}+S_{\triangle ADF}=4a+3a=7a$，
$S_{\triangle BCD}=S_{\triangle ABD}=7a$，
但$S_{\triangle BCD}=S_{\triangle BCF}+S_{\triangle CDF}$，$S_{\triangle CDF}=S_{\triangle ADF}=3a$（△ADF≌△BCF），
∴$S_{\triangle BCF}=7a - 3a=4a$？矛盾，正确方法：
△ABF与△DEF高之比为2:1（相似比2:1），设△DEF高为h，则△ABF高为2h，平行四边形高为3h，
DE=x，AB=2x，CD=2x，
$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}xh=a$，
平行四边形面积=AB×3h=2x×3h=6xh=12a（
∵xh=2a）。
综上，□ABCD的面积为12a。
C

1. 两个相似三角形对应高的比是3:2,则这两个三角形对应中线比为,周长比为,面积比为.

解：因为两个相似三角形对应高的比是3:2，所以这两个三角形的相似比为3:2。
根据相似三角形的性质：
对应中线的比等于相似比，故对应中线比为3:2；
周长比等于相似比，故周长比为3:2；
面积比等于相似比的平方，故面积比为$3^2:2^2 = 9:4$。
3:2；3:2；9:4

2. 在△ABC中,AB= 6,BC= 9,CA= 12,另一个与它相似的△A'B'C'的周长为81,那么△A'B'C'的最短边长为______.

解：在△ABC中，AB=6，BC=9，CA=12，
△ABC的周长为6+9+12=27。
设△A'B'C'与△ABC的相似比为k，
因为△A'B'C'与△ABC相似，
所以△A'B'C'的周长=k×△ABC的周长，
即81=27k，解得k=3。
△ABC的最短边长为AB=6，
所以△A'B'C'的最短边长为6×3=18。
18

3. 方格纸上有两个三角形,分别是△ADE,△ABC,点D,E分别在AB,AC上,位置如图4,则△ADE和△ABC的周长比为.

解：设每个小方格边长为1。
在图4中，由方格特点可得：DE平行于BC。
∴△ADE∽△ABC。
通过数方格得：AD占2格，DB占2格，AB=AD+DB=4格，
∴AD/AB=2/4=1/2。
∵相似三角形周长比等于相似比，
∴△ADE和△ABC的周长比为1/2。
1:2

4. 如图5,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD= ∠B,AD= 1,AC= 2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为______.

解：
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$
∵AD=1，AC=2
∴$\frac{1}{2}=\frac{2}{AB}$，解得AB=4
∴BD=AB-AD=4-1=3
∵△ACD∽△ABC
∴$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{AD}{AC})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
∵$S_{\triangle ACD}=1$
∴$S_{\triangle ABC}=4$
∴$S_{\triangle BCD}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ACD}=4-1=3$
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