1. 如图6,在□ABCD中,AE:EB= 1:2.
(1)求△AEF与△CDF的周长比；
(2)如果$S_{\triangle AEF}= 6\ \text{cm}^2$,求$S_{\triangle CDF}$.

【解析】：
本题主要考查相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比值相等，周长比也等于相似比，面积比等于相似比的平方。
（1）求$\triangle AEF$与$\triangle CDF$的周长比
步骤一：证明$\triangle AEF$与$\triangle CDF$相似
在平行四边形$ABCD$中，$AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle EAF = \angle DCF$，$\angle AEF = \angle CDF$。
又因为$\angle AFE = \angle CFD$（对顶角相等），所以$\triangle AEF\sim\triangle CDF$（三个角分别相等的两个三角形相似）。
步骤二：求相似比
已知$AE:EB = 1:2$，设$AE = x$，则$EB = 2x$，那么$AB = AE + EB = x + 2x = 3x$。
因为$AB = CD$（平行四边形对边相等），所以$AE:CD = x:3x = 1:3$，即$\triangle AEF$与$\triangle CDF$的相似比为$1:3$。
步骤三：求周长比
根据相似三角形的性质，相似三角形周长比等于相似比，所以$\triangle AEF$与$\triangle CDF$的周长比为$1:3$。
（2）求$S_{\triangle CDF}$
根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方。
由（1）可知$\triangle AEF$与$\triangle CDF$的相似比为$1:3$，那么它们面积比为$(1:3)^2 = 1:9$。
设$S_{\triangle CDF}=y$，已知$S_{\triangle AEF} = 6\ cm^2$，则可得$\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle CDF}}=\frac{6}{y}=\frac{1}{9}$，
通过交叉相乘可得$y = 6×9 = 54\ cm^2$。
【答案】：
(1)$1:3$；
(2)$54\ cm^2$。

2. 如图7,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC= 120 mm,高AD= 80 mm,要把它加工成一个正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上. 这个正方形零件的边长是多少?

解：设正方形PQMN的边长为x mm，AD与PN交于点E。
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN//BC，PQ=PN=x mm，ED=PQ=x mm，
∴AE=AD - ED=80 - x。
∵PN//BC，
∴△APN∽△ABC。
∵AD是△ABC的高，
∴$\frac{AE}{AD} = \frac{PN}{BC}$，即$\frac{80 - x}{80} = \frac{x}{120}$。
解得x=48。
答：这个正方形零件的边长是48 mm。