1. 如图,$D B= D C, F$ 为 $B C$ 上一点,$\angle D F C= 60^{\circ}, B F= 2, B C= 7$, 求 $D F$ 的长.

解: 过点 D 作 DG⊥BC 于点 G.
∵DB=DC,∠DFG=60°,
∴BG=$\frac{1}{2}BC=\frac{7}{2}$,∠FDG=30°,
∴DF=2FG=2(BG−BF)=2×$\frac{3}{2}$=3.

2. (教材变式) 如图,$\triangle A B C$ 是等边三角形,$D$ 是 $A C$ 上一点, 延长 $B C$ 至点 $E$, 使 $C E= A D$, 连接 $D E, D B$. 求证: $D B= D E$.

证明: 方法一:
过点 D 作 DF//BC 交 AB 于点 F.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC,
∴∠AFD=∠ABC=60°,
∠ADF=∠ACB=60°,
∴△AFD 为等边三角形,
∴AF=DF=AD=CE,
∴AB−AF=AC−AD,
∴BF=DC.
∵∠AFD=∠ACB=60°,
∴∠BFD=∠DCE=120°,
∴△BDF≌△DEC(SAS),
∴DB=DE;
方法二:
过点 D 作 DG//AB 交 BC 于点 G,
证△DBG≌△DEC 即可.

3. 如图,$F$ 为等边 $\triangle A B C$ 的边上一点,$D$ 为 $B A$ 的延长线上一点,$A D= B F$. 求证: $D F= D C$.

证明: 过点 D 作 DE//BC 交 CA 的延长线于点 E.
∵△ABC 为等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°,AB=AC.
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B=∠E=∠ACB=60°,
∴△ADE 为等边三角形,
∴AE=DE=AD=BF.
∴AE+AC=AD+AB.
即 EC=DB,
∴△DBF≌△CED(SAS),
∴DF=DC.