1. 如图,小明在纸上画了一个三角形,不料被墨水污染了一部分,请你画一个与他画的一样的(全等的)三角形,你能做到吗?

解：能，作法如图:
　　　　　
(1) 作$∠DA'E = ∠A$；
(2) 在射线$A'D$上截取线段$A'B' = AB$；
(3) 以$B'$为顶点，以$B'A'$为一边作$∠A'B'F = ∠B$，$B'F$与$A'E$交于点$C'$，则$△A'B'C'$就是所求作的三角形。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠B = ∠C$,$D为边BC$上一点,$CD = AB$,连接$AD$。
(1)作$∠ADE = ∠B$,射线$DE交线段AC于点E$(不写作法,保留作图痕迹)；
(2)求证：$BD = CE$。

解：(1) 如图所示，$∠ADE$即为所求作的角；
　　　　
(2) $\because ∠B = ∠C$，$∠ADE = ∠B$，
$\therefore ∠ADE = ∠C$。
$\because ∠ADB = 180^{\circ} - ∠ADE - ∠CDE$，
$∠CED = 180^{\circ} - ∠CDE - ∠C$，
$\therefore ∠ADB = ∠CED$。
$\because ∠B = ∠C$，$CD = AB$，
$\therefore △ABD ≌ △DCE(AAS)$，
$\therefore BD = CE$。

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC = ∠ACB$,$BD是\triangle ABC$的角平分线。
(1)作$∠ACB$的角平分线,交$AB于点E$(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)；

(2)求证：$AD = AE$。

解：(1) 如图所示，$CE$即为所求。
　　　　　　　
(2) $\because BD$平分$∠ABC$，$CE$平分$∠ACB$，
$\therefore ∠CBD = ∠ABD = \frac{1}{2}∠ABC$，
$∠BCE = ∠ACE = \frac{1}{2}∠ACB$。
$\because ∠ABC = ∠ACB$，
$\therefore ∠ABD = ∠CBD = ∠ACE = ∠BCE$。
$\because BC = CB$，
$\therefore △BCE ≌ △CBD(ASA)$，
$\therefore CE = BD$。
$\because ∠A = ∠A$，
$\therefore △ACE ≌ △ABD(AAS)$，
$\therefore AD = AE$。

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC = ∠C$,$D是BA$延长线上一点。
(1)用直尺和圆规按要求作图,并在图中标出相应的字母(保留作图痕迹,不写作法)：在射线$BD$的右侧,过点$A作射线AM// BC$,在射线$AM上截取AF = BC$,连接$BF交AC于点E$；
(2)在(1)条件下,求证：$E为AC$的中点。

解：(1) 如图所示；
　　　　
(2) $\because AM // BC$，
$\therefore ∠CAM = ∠C$。
又$\because ∠AEF = ∠CEB$，$AF = BC$，
$\therefore △AEF ≌ △CEB(AAS)$，
$\therefore AE = CE$，
即$E$为$AC$的中点。