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【教材变式 1】在$△ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,过点$C作直线l$,$BE ⊥ l于点E$,$AD ⊥ l于点D$。若$BE = 2$,$AD = 6$,则$DE$的长为______。
答案
4或8
解:当点A,B在直线l的两侧时,如图1.
∵BE⊥l,AD⊥l,
∴∠BEC=∠ADC=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCE+∠ACD=90°,
∠BCE+∠CBE=90°,
∴∠CBE=∠ACD.
∵AC=BC,
∴△CBE≌△ACD,
∴CD=BE=2,CE=AD=6,
∴DE=CE - CD=6 - 2=4;
当点A,B在直线l的同侧时,如图2.同理△CBE≌△ACD,
∴CD=BE=2,CE=AD=6,
∴DE=CE+CD=6+2=8.综上所述,DE的长为4或8.
【教材变式 2】如图,在$△ABC$中,$∠ABC = 90^{\circ}$,过点$C作CD ⊥ AC$,且$CD = AC$,连接$BD$。若
$S_{△BCD} = \frac{9}{2}$,求$BC$的长。
$S_{△BCD} = \frac{9}{2}$,求$BC$的长。
答案
解:过点D作DM⊥BC交BC延长线于点M,
则∠DMC=90°=∠ABC.
∵CD⊥AC,
∴∠ACB+∠MCD=90°.
又∵∠ACB+∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠MCD.
∵CD=AC,
∴△ABC≌△CMD(AAS),
∴BC=DM,
∴$S_{△BCD}= \frac {1}{2}BC\cdot DM= \frac {1}{2}BC^{2}= \frac {9}{2},$∴BC=3.
则∠DMC=90°=∠ABC.
∵CD⊥AC,
∴∠ACB+∠MCD=90°.
又∵∠ACB+∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠MCD.
∵CD=AC,
∴△ABC≌△CMD(AAS),
∴BC=DM,
∴$S_{△BCD}= \frac {1}{2}BC\cdot DM= \frac {1}{2}BC^{2}= \frac {9}{2},$∴BC=3.
【教材变式 3】如图,在$△ABC$中,$∠B = ∠C$,$D为BC$边上一点,过点$D作∠EDF = ∠B$,分别与$AB$,$AC相交于点E和点F$。
(1)求证：$∠BED = ∠FDC$；
(2)若$DE = DF$,求证：$BE = CD$。
(1)求证：$∠BED = ∠FDC$；
(2)若$DE = DF$,求证：$BE = CD$。
答案
证明:(1)∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED,∠EDF=∠B,
∴∠BED=∠FDC;
(2)在△BDE与△CFD中,
{
∠B=∠C,
∠BED=∠CDF,
DE=DF
}
∴△DBE≌△FCD(AAS),
∴BE=CD.
∴∠BED=∠FDC;
(2)在△BDE与△CFD中,
{
∠B=∠C,
∠BED=∠CDF,
DE=DF
}
∴△DBE≌△FCD(AAS),
∴BE=CD.
【教材变式 4】如图,$AB = AC$,$A$,$E$,$D三点都在直线AF$上,且$∠BDF = ∠DEC = ∠BAC = β$,其中$β$为任意锐角。求证：$DE = CE - BD$。
答案
证明:∵∠DEC=∠EAC+∠C,
∠BAC=∠BAD+∠EAC,
∠DEC=∠BAC,
∴∠BAD=∠C.
∵∠BDF=∠DEC,
∴∠BDA=∠AEC.
在△ADB和△CEA中，
{
∠BAD=∠C,
∠BDA=∠AEC,
AB=AC
}
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AD=CE,AE=BD,
∴CE=AD=AE+DE=BD+DE,
∴DE=CE - BD.
∠BAC=∠BAD+∠EAC,
∠DEC=∠BAC,
∴∠BAD=∠C.
∵∠BDF=∠DEC,
∴∠BDA=∠AEC.
在△ADB和△CEA中，
{
∠BAD=∠C,
∠BDA=∠AEC,
AB=AC
}
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AD=CE,AE=BD,
∴CE=AD=AE+DE=BD+DE,
∴DE=CE - BD.
