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1. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D.若△PCD的周长为30，则PA的长为()
A.12
B.15
C.20
D.30
A.12
B.15
C.20
D.30
答案
B
解析
由题意，$PA$和$PB$是圆$O$的切线，且切于点$A$和$B$。
根据切线长定理，$PA = PB$。
同样，$CD$是圆$O$的切线，且切于点$E$。
根据切线长定理，$CA = CE$，$DB = DE$。
因此，三角形$PCD$的周长可以表示为：
$PC + CD + PD = PC + CE + DE + PD = PC + AC + BD + PD = PA + PB = 2PA$，
题目给出三角形$PCD$的周长为$30$，因此：
$2PA = 30$，
$PA = 15$。
根据切线长定理，$PA = PB$。
同样，$CD$是圆$O$的切线，且切于点$E$。
根据切线长定理，$CA = CE$，$DB = DE$。
因此，三角形$PCD$的周长可以表示为：
$PC + CD + PD = PC + CE + DE + PD = PC + AC + BD + PD = PA + PB = 2PA$，
题目给出三角形$PCD$的周长为$30$，因此：
$2PA = 30$，
$PA = 15$。
2. (2024·泸州)如图，EA、ED是⊙O的切线，切点为A、D，点B、C在⊙O上.若∠BAE+∠BCD=236°，则∠E的度数为()
A.56°
B.60°
C.68°
D.70°
A.56°
B.60°
C.68°
D.70°
答案
C
解析
连接OA、OD，∵EA、ED是⊙O切线，∴OA⊥EA，OD⊥ED，∠OAE=∠ODE=90°，故四边形OAED中∠E+∠AOD=180°，即∠AOD=180°-∠E。
∠BAE为弦切角，所夹优弧AB，故∠BAE=1/2优弧AB度数=180°-1/2劣弧AB度数。
∠BCD为圆周角，所对优弧BD，故∠BCD=1/2优弧BD度数=180°-1/2劣弧BD度数。
∵∠BAE+∠BCD=236°，∴(180°-1/2劣弧AB)+(180°-1/2劣弧BD)=236°，化简得1/2(劣弧AB+劣弧BD)=124°，即劣弧AB+劣弧BD=248°。
优弧AD度数=劣弧AB+劣弧BD=248°，则劣弧AD度数=360°-248°=112°，故∠AOD=112°。
∴∠E=180°-∠AOD=180°-112°=68°。
∠BAE为弦切角，所夹优弧AB，故∠BAE=1/2优弧AB度数=180°-1/2劣弧AB度数。
∠BCD为圆周角，所对优弧BD，故∠BCD=1/2优弧BD度数=180°-1/2劣弧BD度数。
∵∠BAE+∠BCD=236°，∴(180°-1/2劣弧AB)+(180°-1/2劣弧BD)=236°，化简得1/2(劣弧AB+劣弧BD)=124°，即劣弧AB+劣弧BD=248°。
优弧AD度数=劣弧AB+劣弧BD=248°，则劣弧AD度数=360°-248°=112°，故∠AOD=112°。
∴∠E=180°-∠AOD=180°-112°=68°。
3. (2023·湘西改编)如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC、PD与⊙O相切，切点分别为C、D，连接AC、AD.若AB=6，PB=2，则切线PD的长为.
答案
4
解析
1. 根据题意，$AB$为圆的直径，$AB=6$，所以圆的半径$r=3$。
2. 点$P$在$AB$的延长线上，$PB=2$，所以$OP=r+PB=3+2=5$（$O$为圆心）。
3. $PC$和$PD$是圆的切线，切点分别为$C$和$D$。根据切线长定理，从一点到圆的切线长度相等，即$PC=PD$。
4. 在直角三角形$OCP$中，$OC$为半径，$OC=3$，$OP=5$，所以利用勾股定理计算$PC$：
$PC=\sqrt{OP^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
5. 因为$PC=PD$，所以$PD=4$。
2. 点$P$在$AB$的延长线上，$PB=2$，所以$OP=r+PB=3+2=5$（$O$为圆心）。
3. $PC$和$PD$是圆的切线，切点分别为$C$和$D$。根据切线长定理，从一点到圆的切线长度相等，即$PC=PD$。
4. 在直角三角形$OCP$中，$OC$为半径，$OC=3$，$OP=5$，所以利用勾股定理计算$PC$：
$PC=\sqrt{OP^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
5. 因为$PC=PD$，所以$PD=4$。
4. (教材P74习题2.5第13题变式)如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长为.
答案
$11$
解析
设$AD = x$，$\odot O$内切于四边形$ABCD$，根据圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等，即$AB + CD=AD + BC$。
已知$AB = 10$，$BC = 7$，$CD = 8$，代入可得$10 + 8=x + 7$，
移项可得$x=10 + 8-7$，解得$x = 11$，所以$AD$的长为$11$。
已知$AB = 10$，$BC = 7$，$CD = 8$，代入可得$10 + 8=x + 7$，
移项可得$x=10 + 8-7$，解得$x = 11$，所以$AD$的长为$11$。
5. 如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，连接OE、OF、OG，且AB//CD，OB=6，OC=8.
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求⊙O的半径OF.
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求⊙O的半径OF.
答案
（1）△OBC是直角三角形。
证明：∵AB、BC与⊙O相切于E、F，∴OB平分∠ABC，即∠OBC=1/2∠ABC。同理，OC平分∠BCD，即∠OCB=1/2∠BCD。∵AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠BCD)=90°，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°，故△OBC是直角三角形。
（2）∵△OBC是直角三角形，OB=6，OC=8，∴BC=√(OB²+OC²)=√(6²+8²)=10。∵BC与⊙O相切于F，∴OF⊥BC。又∵S△OBC=1/2×OB×OC=1/2×BC×OF，即1/2×6×8=1/2×10×OF，解得OF=24/5。
证明：∵AB、BC与⊙O相切于E、F，∴OB平分∠ABC，即∠OBC=1/2∠ABC。同理，OC平分∠BCD，即∠OCB=1/2∠BCD。∵AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠BCD)=90°，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°，故△OBC是直角三角形。
（2）∵△OBC是直角三角形，OB=6，OC=8，∴BC=√(OB²+OC²)=√(6²+8²)=10。∵BC与⊙O相切于F，∴OF⊥BC。又∵S△OBC=1/2×OB×OC=1/2×BC×OF，即1/2×6×8=1/2×10×OF，解得OF=24/5。
6. (整体思想)(2023·广州)如图，△ABC的内切圆⊙I与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F.若⊙I的半径为r，∠A=α，则BF+CE-BC的值和∠FDE的度数分别为()
A.2r、90°-α
B.0、90°-α
C.2r、90°-$\frac{1}{2}$α
D.0、90°-$\frac{1}{2}$α
A.2r、90°-α
B.0、90°-α
C.2r、90°-$\frac{1}{2}$α
D.0、90°-$\frac{1}{2}$α
答案
D
解析
①由切线长定理得：BF=BD，CE=CD。
∵BC=BD+CD，∴BF+CE=BD+CD=BC，
∴BF+CE-BC=BC-BC=0。
②连接IF、IE、ID，∵IF⊥AB，IE⊥AC，∴∠AFI=∠AEI=90°。
在四边形AFIE中，∠FIE=360°-∠A-∠AFI-∠AEI=360°-α-90°-90°=180°-α。
∵∠FDE是圆周角，对应弧EF，圆心角∠FIE对应弧EF，
∴∠FDE=1/2∠FIE=1/2(180°-α)=90°-1/2α。
