7. (2023·仙桃)如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC分别相切于点D、E，连接DE，延长AO，交DE于点F，则∠AFD=°.

35

连接OD、OE，∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E为切点，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE，∠OAD=∠OAC。设∠CAB=α，∠CBA=β，∵∠ACB=70°，∴α+β=110°。
在四边形ODBE中，∠ODB=∠OEB=90°，∴∠DOE=180°-β。∵OD=OE，∴△ODE为等腰三角形，∠ODE=∠OED=(180°-∠DOE)/2=β/2。
在Rt△AOD中，∠OAD=α/2，∴∠AOD=90°-α/2。∵F在AO延长线上，∴∠DOF=180°-∠AOD=90°+α/2。
在△ODF中，∠ODF=∠ODE=β/2，∠DOF=90°+α/2，∴∠AFD=180°-∠DOF-∠ODF=180°-(90°+α/2)-(β/2)=90°-(α+β)/2=90°-55°=35°。

8. (2024·绵阳改编)如图，在△ADE中，∠DAE=90°，△ADE的内切圆与DE相切于点G，当EG=$\sqrt{5}$-1，DG=$\sqrt{5}$+1时，$\frac{AE}{AD}$的值为.

1/2

设△ADE内切圆与AD、AE分别相切于点F、H，圆心为O，由切线长定理得：DF=DG=√5+1，EH=EG=√5-1，AF=AH=x。设AD=a，AE=b，∠DAE=90°，则DE=DG+EG=2√5，由勾股定理得a²+b²=(2√5)²=20。又AD=AF+DF=x+√5+1=a，AE=AH+EH=x+√5-1=b，故a-b=2，即a=b+2。代入a²+b²=20得(b+2)²+b²=20，解得b=2（负值舍去），则a=4，故AE/AD=b/a=2/4=1/2。

9. （2024·通辽）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD.
（1）求证：∠ABC=2∠ACD；
（2）若AC=8，BC=6，求⊙O的半径.

（1）见证明过程；（2）3。

（1）证明：连接OD，
∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ODA=90°，
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，
在Rt△AOD中，∠A+∠AOD=90°，∴∠AOD=∠B，
∵∠AOD是△OCD的外角，∴∠AOD=∠OCD+∠ODC=2∠OCD，
∵∠OCD=∠ACD，∴∠B=2∠ACD，即∠ABC=2∠ACD。
（2）解：在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴AB=√(AC²+BC²)=√(8²+6²)=10，
设⊙O半径为r，则OC=OD=r，AO=AC-OC=8-r，
∵∠A=∠A，∠ADO=∠ACB=90°，∴△AOD∽△ABC，
∴AO/AB=OD/BC，即(8-r)/10=r/6，
解得r=3，即⊙O的半径为3。

10. 如图①，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，BA为半径作$\overset{\frown}{AC}$，F为$\overset{\frown}{AC}$上一动点，过点F作$\overset{\frown}{AC}$所在圆的切线，交AD于点P，交CD于点Q.
（1）求证：△DPQ的周长是正方形ABCD的周长的一半；
（2）如图②，分别延长PQ、BC相交于点M，设AP的长为x，BM的长为y，试求出y与x之间的函数表达式.

（1）∵四边形ABCD为正方形，∴BA=BC=4，∠A=∠C=90°，AD=CD=4。
∵AD⊥BA，CD⊥BC，∴AD、CD是⊙B的切线。
∵PQ是⊙B的切线，F为切点，由切线长定理得：PA=PF，CQ=QF。
设AP=x，CQ=y，则PD=4-x，DQ=4-y，PQ=PF+FQ=x+y。
△DPQ周长=PD+DQ+PQ=(4-x)+(4-y)+(x+y)=8。
正方形ABCD周长=16，其一半为8，∴△DPQ周长是正方形ABCD周长的一半。
（2）由（1）知AP=PF=x，设CQ=QF=z，则DQ=4-z，PD=4-x，PQ=x+z。
∵AD//BC，∴△PDQ∽△MCQ，∴PD/MC=DQ/CQ。
∵MC=BM-BC=y-4，∴(4-x)/(y-4)=(4-z)/z，解得z=4(y-4)/(y-x)。
在Rt△PDQ中，(4-x)²+(4-z)²=(x+z)²，化简得(x+4)(z+4)=32。
将z=4(y-4)/(y-x)代入(x+4)(z+4)=32，化简得y=(x²+16)/(2x)。
（1）得证；（2）y=(x²+16)/(2x)