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1. (2024·聊城)如图,AB、BC、CD是正n边形的三条边,在同一平面内,以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若$∠ABN=120^{\circ }$,则n的值为 ()
A.12
B.10
C.8
D.6
A.12
B.10
C.8
D.6
答案
A
解析
在正n边形中，AB、BC为相邻两边，故∠ABC为正n边形内角，其度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}$。以BC为边在正n边形外部作正方形BCMN，则∠CBN=90°（正方形内角）。由于∠ABN=120°，且∠ABN=∠ABC - ∠CBN（外角与内角关系），即$120°=\frac{(n-2)×180°}{n}-90°$。解方程：$\frac{(n-2)×180°}{n}=210°$（错误，应为$\frac{(n-2)×180°}{n}=150°$，修正如下）：
正n边形内角∠ABC=α，因正方形在外部，∠ABN=α - (180° - 90°)=α - 90°（或α + 90°=360° - 120°），正确推导：∠ABN=360° - α - 90°=270° - α=120°，故α=150°。由$\frac{(n-2)×180°}{n}=150°$，解得n=12。
正n边形内角∠ABC=α，因正方形在外部，∠ABN=α - (180° - 90°)=α - 90°（或α + 90°=360° - 120°），正确推导：∠ABN=360° - α - 90°=270° - α=120°，故α=150°。由$\frac{(n-2)×180°}{n}=150°$，解得n=12。
2. (2023·内江)如图,正六边形ABCDEF内接于$\odot O$,点P在$\overset{\frown }{AB}$上,Q是$\overset{\frown }{DE}$的中点,则$∠CPQ$的度数为 ()
A.$30^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$36^{\circ }$
D.$60^{\circ }$
A.$30^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$36^{\circ }$
D.$60^{\circ }$
答案
B
解析
正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，每条边所对的弧为$60°$（中心角$360°÷6=60°$）。Q是$\overset{\frown}{DE}$中点，故$\overset{\frown}{DQ}=\overset{\frown}{QE}=30°$。劣弧CQ的度数为$\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DQ}=60°+30°=90°$。$\angle CPQ$为圆周角，其度数等于所对劣弧CQ度数的一半，即$\frac{1}{2}×90°=45°$。
3. (新情境·现实生活)(2024·遂宁)佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术,得到一个内角和为1080°的正多边形图案,这个正多边形的每个外角的度数为.
答案
45°
解析
设这个正多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180° = 1080°$，解得$n = 8$。因为多边形外角和为$360°$，所以每个外角的度数为$360°÷8 = 45°$。
4. 如图,五边形ABCDE是正五边形.若$l_{1}// l_{2}$,则$∠1-∠2=$°.
答案
36
解析
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角为$540°÷5=108°$，每个外角为$360°÷5=72°$。过正五边形顶点作辅助线，利用平行线性质及正五边形内角、外角关系，可得$\angle1$与$\angle2$的差等于正五边形内角分割后的角度差。正五边形内角可被对角线分为$36°$和$72°$，结合平行线内错角、同位角性质，$\angle1-\angle2=36°$。
5. (2023·陕西)如图,正八边形的边长为2,对角线AB、CD相交于点E,则BE的长为.
答案
$2\sqrt{2}$
解析
设正八边形外接圆半径为$R$，中心角为$45°$。由边长$a = 2$，根据弦长公式$a = 2R\sin\frac{\alpha}{2}$（$\alpha = 45°$），得$2 = 2R\sin22.5°$，解得$R^2=\frac{4}{2 - \sqrt{2}}$。
设$AB$、$CD$为正八边形两条相交长对角线（中心角$135°$），交点为$E$。通过坐标法求得$E$点坐标，结合距离公式及$R^2(2 - \sqrt{2}) = 4$，计算得$BE^2 = 8$，故$BE = 2\sqrt{2}$。
设$AB$、$CD$为正八边形两条相交长对角线（中心角$135°$），交点为$E$。通过坐标法求得$E$点坐标，结合距离公式及$R^2(2 - \sqrt{2}) = 4$，计算得$BE^2 = 8$，故$BE = 2\sqrt{2}$。
6. 如图,M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点,且BM=CN,AM交BN于点P.
(1) 求证:$\triangle ABM\cong \triangle BCN$;
(2) 求$∠APN$的度数.
(1) 求证:$\triangle ABM\cong \triangle BCN$;
(2) 求$∠APN$的度数.
答案
(1)
在正五边形$ABCDE$中，
$AB = BC$，$\angle ABM=\angle BCN$，
在$\triangle ABM$和$\triangle BCN$中，
$\begin{cases}AB = BC\\\angle ABM=\angle BCN\\BM = CN\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ABM\cong\triangle BCN$。
(2)
由$\triangle ABM\cong\triangle BCN$，可得$\angle BAM=\angle CBN$，
因为$\angle APN=\angle BAM+\angle ABP$，
将$\angle BAM=\angle CBN$代入上式得$\angle APN=\angle CBN+\angle ABP$，
而$\angle CBN+\angle ABP=\angle ABC$，
在正五边形$ABCDE$中，$\angle ABC = 108^{\circ}$，
所以$\angle APN = 108^{\circ}$。
综上，答案为：(1)证明过程如上述；(2)$\angle APN$的度数为$108^{\circ}$。
在正五边形$ABCDE$中，
$AB = BC$，$\angle ABM=\angle BCN$，
在$\triangle ABM$和$\triangle BCN$中，
$\begin{cases}AB = BC\\\angle ABM=\angle BCN\\BM = CN\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ABM\cong\triangle BCN$。
(2)
由$\triangle ABM\cong\triangle BCN$，可得$\angle BAM=\angle CBN$，
因为$\angle APN=\angle BAM+\angle ABP$，
将$\angle BAM=\angle CBN$代入上式得$\angle APN=\angle CBN+\angle ABP$，
而$\angle CBN+\angle ABP=\angle ABC$，
在正五边形$ABCDE$中，$\angle ABC = 108^{\circ}$，
所以$\angle APN = 108^{\circ}$。
综上，答案为：(1)证明过程如上述；(2)$\angle APN$的度数为$108^{\circ}$。
7. 如图,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R,则下列结论不正确的是 ()
A.$h=R+r$
B.$R=2r$
C.$r=\frac {\sqrt {3}}{4}a$
D.$R=\frac {\sqrt {3}}{3}a$
A.$h=R+r$
B.$R=2r$
C.$r=\frac {\sqrt {3}}{4}a$
D.$R=\frac {\sqrt {3}}{3}a$
答案
C
解析
因为等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为等边三角形的中心。
设等边三角形的边长为$ a $，则其高$ h $可由勾股定理求得：
$h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}a}{2}$。
外接圆半径$ R $为：
$R = \frac{a}{2\sin(180°/3)} = \frac{a}{2\sin 60°} = \frac{a}{2 × \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}a}{3}$。
内切圆半径$ r $为：
$r = \frac{h}{3} = \frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{3} = \frac{\sqrt{3}a}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$。
验证选项：
A. $ h = R + r $：
$\frac{\sqrt{3}a}{2} = \frac{\sqrt{3}a}{3} + \frac{\sqrt{3}a}{6} = \frac{2\sqrt{3}a}{6} + \frac{\sqrt{3}a}{6} = \frac{3\sqrt{3}a}{6} = \frac{\sqrt{3}a}{2}$，成立。
B. $ R = 2r $：
$\frac{\sqrt{3}a}{3} = 2 × \frac{\sqrt{3}a}{6} = \frac{\sqrt{3}a}{3}$，成立。
C. $ r = \frac{\sqrt{3}}{4}a $：
$\frac{\sqrt{3}a}{6} \neq \frac{\sqrt{3}a}{4}$，不成立。
D. $ R = \frac{\sqrt{3}}{3}a $：
$\frac{\sqrt{3}a}{3} = \frac{\sqrt{3}a}{3}$，成立。
设等边三角形的边长为$ a $，则其高$ h $可由勾股定理求得：
$h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}a}{2}$。
外接圆半径$ R $为：
$R = \frac{a}{2\sin(180°/3)} = \frac{a}{2\sin 60°} = \frac{a}{2 × \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}a}{3}$。
内切圆半径$ r $为：
$r = \frac{h}{3} = \frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{3} = \frac{\sqrt{3}a}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$。
验证选项：
A. $ h = R + r $：
$\frac{\sqrt{3}a}{2} = \frac{\sqrt{3}a}{3} + \frac{\sqrt{3}a}{6} = \frac{2\sqrt{3}a}{6} + \frac{\sqrt{3}a}{6} = \frac{3\sqrt{3}a}{6} = \frac{\sqrt{3}a}{2}$，成立。
B. $ R = 2r $：
$\frac{\sqrt{3}a}{3} = 2 × \frac{\sqrt{3}a}{6} = \frac{\sqrt{3}a}{3}$，成立。
C. $ r = \frac{\sqrt{3}}{4}a $：
$\frac{\sqrt{3}a}{6} \neq \frac{\sqrt{3}a}{4}$，不成立。
D. $ R = \frac{\sqrt{3}}{3}a $：
$\frac{\sqrt{3}a}{3} = \frac{\sqrt{3}a}{3}$，成立。
