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8. 已知一次函数 $ y = (2a + 4)x - (3 - b) $.
(1) 当 $ a $，$ b $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(2) 当 $ a $，$ b $ 为何值时，图像经过第二、三、四象限？
(3) 当 $ a $，$ b $ 为何值时，图像与 $ y $ 轴的交点在 $ x $ 轴上方？
(1) 当 $ a $，$ b $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(2) 当 $ a $，$ b $ 为何值时，图像经过第二、三、四象限？
(3) 当 $ a $，$ b $ 为何值时，图像与 $ y $ 轴的交点在 $ x $ 轴上方？
答案
【解析】：
本题可根据一次函数的性质来分别求解$a$、$b$的取值范围。
- **（1）求$y$随$x$的增大而增大时$a$，$b$的取值**
对于一次函数$y = kx + m$（$k$，$m$为常数，$k\neq0$），当$k\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大。
在一次函数$y = (2a + 4)x - (3 - b)$中，$k = 2a + 4$，要使$y$随$x$的增大而增大，则$k\gt0$，即$2a + 4\gt0$，解不等式：
$2a + 4\gt0$
移项可得$2a\gt - 4$，
两边同时除以$2$，解得$a\gt - 2$，$b$可以取任意实数。
- **（2）求图像经过第二、三、四象限时$a$，$b$的取值**
对于一次函数$y = kx + m$（$k$，$m$为常数，$k\neq0$），当$k\lt0$且$m\lt0$时，函数图像经过第二、三、四象限。
在一次函数$y = (2a + 4)x - (3 - b)$中，$k = 2a + 4$，$m = - (3 - b)$，则可得不等式组$\begin{cases}2a + 4\lt0\\-(3 - b)\lt0\end{cases}$，分别解这两个不等式：
解不等式$2a + 4\lt0$：
移项可得$2a\lt - 4$，
两边同时除以$2$，解得$a\lt - 2$。
解不等式$-(3 - b)\lt0$：
不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，可得$3 - b\gt0$，
移项可得$b\lt 3$。
所以，当$a\lt - 2$且$b\lt 3$时，函数图像经过第二、三、四象限。
- **（3）求图像与$y$轴的交点在$x$轴上方时$a$，$b$的取值**
在一次函数$y = kx + m$（$k$，$m$为常数，$k\neq0$）中，令$x = 0$，可得$y = m$，即函数与$y$轴的交点坐标为$(0,m)$。
在一次函数$y = (2a + 4)x - (3 - b)$中，与$y$轴的交点坐标为$(0,-(3 - b))$，要使交点在$x$轴上方，则$-(3 - b)\gt0$，同时要保证函数为一次函数，即$2a + 4\neq0$，分别解这两个不等式：
解不等式$-(3 - b)\gt0$：
不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，可得$3 - b\lt0$，
移项可得$b\gt 3$。
解不等式$2a + 4\neq0$：
移项可得$2a\neq - 4$，
两边同时除以$2$，解得$a\neq - 2$。
所以，当$a\neq - 2$且$b\gt 3$时，图像与$y$轴的交点在$x$轴上方。
【答案】：
(1)$a\gt - 2$，$b$为任意实数；
(2)$a\lt - 2$且$b\lt 3$；
(3)$a\neq - 2$且$b\gt 3$。
本题可根据一次函数的性质来分别求解$a$、$b$的取值范围。
- **（1）求$y$随$x$的增大而增大时$a$，$b$的取值**
对于一次函数$y = kx + m$（$k$，$m$为常数，$k\neq0$），当$k\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大。
在一次函数$y = (2a + 4)x - (3 - b)$中，$k = 2a + 4$，要使$y$随$x$的增大而增大，则$k\gt0$，即$2a + 4\gt0$，解不等式：
$2a + 4\gt0$
移项可得$2a\gt - 4$，
两边同时除以$2$，解得$a\gt - 2$，$b$可以取任意实数。
- **（2）求图像经过第二、三、四象限时$a$，$b$的取值**
对于一次函数$y = kx + m$（$k$，$m$为常数，$k\neq0$），当$k\lt0$且$m\lt0$时，函数图像经过第二、三、四象限。
在一次函数$y = (2a + 4)x - (3 - b)$中，$k = 2a + 4$，$m = - (3 - b)$，则可得不等式组$\begin{cases}2a + 4\lt0\\-(3 - b)\lt0\end{cases}$，分别解这两个不等式：
解不等式$2a + 4\lt0$：
移项可得$2a\lt - 4$，
两边同时除以$2$，解得$a\lt - 2$。
解不等式$-(3 - b)\lt0$：
不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，可得$3 - b\gt0$，
移项可得$b\lt 3$。
所以，当$a\lt - 2$且$b\lt 3$时，函数图像经过第二、三、四象限。
- **（3）求图像与$y$轴的交点在$x$轴上方时$a$，$b$的取值**
在一次函数$y = kx + m$（$k$，$m$为常数，$k\neq0$）中，令$x = 0$，可得$y = m$，即函数与$y$轴的交点坐标为$(0,m)$。
在一次函数$y = (2a + 4)x - (3 - b)$中，与$y$轴的交点坐标为$(0,-(3 - b))$，要使交点在$x$轴上方，则$-(3 - b)\gt0$，同时要保证函数为一次函数，即$2a + 4\neq0$，分别解这两个不等式：
解不等式$-(3 - b)\gt0$：
不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，可得$3 - b\lt0$，
移项可得$b\gt 3$。
解不等式$2a + 4\neq0$：
移项可得$2a\neq - 4$，
两边同时除以$2$，解得$a\neq - 2$。
所以，当$a\neq - 2$且$b\gt 3$时，图像与$y$轴的交点在$x$轴上方。
【答案】：
(1)$a\gt - 2$，$b$为任意实数；
(2)$a\lt - 2$且$b\lt 3$；
(3)$a\neq - 2$且$b\gt 3$。
9. 已知某一次函数的图像经过 $ (3, 5) $，$ (-4, -9) $ 两点.
(1) 求该一次函数的解析式.
(2) 求该函数图像和坐标轴围成的三角形的面积.
(1) 求该一次函数的解析式.
(2) 求该函数图像和坐标轴围成的三角形的面积.
答案
【解析】：
(1)设该一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
因为函数图像经过$(3,5)$，$( - 4, - 9)$两点，将这两点代入解析式可得方程组$\begin{cases}3k + b = 5 \\-4k + b = - 9 \\\end{cases}$。
用第一个方程$3k + b = 5$减去第二个方程$-4k + b = - 9$，可得：
$(3k + b)-(-4k + b)=5-(-9)$
$3k + b + 4k - b = 5 + 9$
$7k = 14$，解得$k = 2$。
把$k = 2$代入$3k + b = 5$，得$3×2 + b = 5$，即$6 + b = 5$，解得$b = - 1$。
所以该一次函数的解析式为$y = 2x - 1$。
(2)要求该函数图像与坐标轴围成的三角形的面积，需要先求出函数与$x$轴、$y$轴的交点坐标。
当$y = 0$时，$2x - 1 = 0$，$2x = 1$，解得$x=\frac{1}{2}$，所以函数与$x$轴的交点坐标为$(\frac{1}{2},0)$。
当$x = 0$时，$y = 2×0 - 1=-1$，所以函数与$y$轴的交点坐标为$(0,-1)$。
那么该函数图像与坐标轴围成的三角形以$\vert\frac{1}{2}\vert=\frac{1}{2}$为底，以$\vert - 1\vert = 1$为高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得其面积$S=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$。
【答案】：(1)$y = 2x - 1$；(2)$\frac{1}{4}$
(1)设该一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
因为函数图像经过$(3,5)$，$( - 4, - 9)$两点，将这两点代入解析式可得方程组$\begin{cases}3k + b = 5 \\-4k + b = - 9 \\\end{cases}$。
用第一个方程$3k + b = 5$减去第二个方程$-4k + b = - 9$，可得：
$(3k + b)-(-4k + b)=5-(-9)$
$3k + b + 4k - b = 5 + 9$
$7k = 14$，解得$k = 2$。
把$k = 2$代入$3k + b = 5$，得$3×2 + b = 5$，即$6 + b = 5$，解得$b = - 1$。
所以该一次函数的解析式为$y = 2x - 1$。
(2)要求该函数图像与坐标轴围成的三角形的面积，需要先求出函数与$x$轴、$y$轴的交点坐标。
当$y = 0$时，$2x - 1 = 0$，$2x = 1$，解得$x=\frac{1}{2}$，所以函数与$x$轴的交点坐标为$(\frac{1}{2},0)$。
当$x = 0$时，$y = 2×0 - 1=-1$，所以函数与$y$轴的交点坐标为$(0,-1)$。
那么该函数图像与坐标轴围成的三角形以$\vert\frac{1}{2}\vert=\frac{1}{2}$为底，以$\vert - 1\vert = 1$为高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得其面积$S=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$。
【答案】：(1)$y = 2x - 1$；(2)$\frac{1}{4}$
10. (1) 已知 $ y = y_1 + y_2 $，而 $ y_1 $ 与 $ x + 1 $ 成反比例，$ y_2 $ 与 $ x^2 $ 成正比例，并且当 $ x = 1 $ 时，$ y = 2 $，当 $ x = 0 $ 时，$ y = 2 $，求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为
(2) 直线 $ l: y = kx + b $ 与 $ y = 2x $ 平行且过点 $ (3, 4) $，直线 $ l $ 的解析式为
$y=\frac{2}{x + 1}+x^2$
。(2) 直线 $ l: y = kx + b $ 与 $ y = 2x $ 平行且过点 $ (3, 4) $，直线 $ l $ 的解析式为
$y = 2x - 2$
。答案
【解析】：
(1)
因为$y_1$与$x + 1$成反比例，设$y_1=\frac{m}{x + 1}$（$m\neq0$）；$y_2$与$x^2$成正比例，设$y_2=nx^2$（$n\neq0$）。
又因为$y = y_1 + y_2$，所以$y=\frac{m}{x + 1}+nx^2$。
当$x = 1$时，$y = 2$，代入$y=\frac{m}{x + 1}+nx^2$可得：$2=\frac{m}{1 + 1}+n×1^2$，即$\frac{m}{2}+n = 2$ ①；
当$x = 0$时，$y = 2$，代入$y=\frac{m}{x + 1}+nx^2$可得：$2=\frac{m}{0 + 1}+n×0^2$，即$m = 2$。
把$m = 2$代入①式得：$\frac{2}{2}+n = 2$，$1 + n = 2$，解得$n = 1$。
所以$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{2}{x + 1}+x^2$。
(2)
因为直线$l:y = kx + b$与$y = 2x$平行，根据两直线平行，斜率相等，所以$k = 2$。
则直线$l$的解析式为$y = 2x + b$。
又因为直线$l$过点$(3,4)$，把$x = 3$，$y = 4$代入$y = 2x + b$得：$4=2×3 + b$，$4 = 6 + b$，解得$b=-2$。
所以直线$l$的解析式为$y = 2x-2$。
【答案】：(1)$y=\frac{2}{x + 1}+x^2$；(2)$y = 2x-2$
(1)
因为$y_1$与$x + 1$成反比例，设$y_1=\frac{m}{x + 1}$（$m\neq0$）；$y_2$与$x^2$成正比例，设$y_2=nx^2$（$n\neq0$）。
又因为$y = y_1 + y_2$，所以$y=\frac{m}{x + 1}+nx^2$。
当$x = 1$时，$y = 2$，代入$y=\frac{m}{x + 1}+nx^2$可得：$2=\frac{m}{1 + 1}+n×1^2$，即$\frac{m}{2}+n = 2$ ①；
当$x = 0$时，$y = 2$，代入$y=\frac{m}{x + 1}+nx^2$可得：$2=\frac{m}{0 + 1}+n×0^2$，即$m = 2$。
把$m = 2$代入①式得：$\frac{2}{2}+n = 2$，$1 + n = 2$，解得$n = 1$。
所以$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{2}{x + 1}+x^2$。
(2)
因为直线$l:y = kx + b$与$y = 2x$平行，根据两直线平行，斜率相等，所以$k = 2$。
则直线$l$的解析式为$y = 2x + b$。
又因为直线$l$过点$(3,4)$，把$x = 3$，$y = 4$代入$y = 2x + b$得：$4=2×3 + b$，$4 = 6 + b$，解得$b=-2$。
所以直线$l$的解析式为$y = 2x-2$。
【答案】：(1)$y=\frac{2}{x + 1}+x^2$；(2)$y = 2x-2$
