11. 某市出租车计费方法如图所示，$ x(km) $ 表示行驶里程，$ y(元) $ 表示车费，根据图像回答下列问题.
(1) 该市出租车的起步价是元。当 $ x ＞ 3 $ 时，$ y $ 关于 $ x $ 的函数关系式是。
(2) 若一乘客某次乘出租车的车费为 32 元，这位乘客乘车的里程是。

【解析】：
(1) 由图像可知，该市出租车的起步价是$8$元。
当$x\gt3$时，设$y$关于$x$的函数关系式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
把$(3,8)$和$(5,12)$代入$y = kx + b$中，可得方程组$\begin{cases}3k + b = 8\\5k + b = 12\end{cases}$。
用$5k + b = 12$减去$3k + b = 8$，得：
$\begin{aligned}5k + b -(3k + b)&=12 - 8\\5k + b - 3k - b&=4\\2k&=4\\k&=2\end{aligned}$
把$k = 2$代入$3k + b = 8$，得：
$\begin{aligned}3×2 + b&=8\\6 + b&=8\\b&=8 - 6\\b&=2\end{aligned}$
所以当$x\gt3$时，$y$关于$x$的函数关系式是$y = 2x + 2$。
(2) 因为$32\gt8$，所以把$y = 32$代入$y = 2x + 2$中，得：
$\begin{aligned}32&=2x + 2\\2x&=32 - 2\\2x&=30\\x&=15\end{aligned}$
【答案】：
(1) 起步价$\boldsymbol{8}$元，当$x\gt3$时，$y = \boldsymbol{2x + 2}$；
(2) 这位乘客乘车的里程是$\boldsymbol{15km}$。

12. 如图，$ Rt\triangle ABC $ 的锐角顶点 $ A $ 是斜边所在直线 $ y = x + m $ 与反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 在第一象限的交点，且 $ S_{\triangle AOB} = 3 $。
(1) 求 $ m $ 的值。（）
(2) 求 $ S_{\triangle ABC} $ 的值。（）

【解析】：
### $(1)$求$m$的值
设$A$点坐标为$(x,y)$（$x\gt0$，$y\gt0$），因为点$A(x,y)$在反比例函数$y = \frac{m}{x}$上，所以$m = xy$。
又因为$\triangle AOB$是直角三角形，且$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OB\cdot AB$，$OB = x$，$AB = y$，已知$S_{\triangle AOB}=3$，即$\frac{1}{2}xy = 3$，那么$xy = 6$。
由于$m = xy$，所以$m = 6$。
### $(2)$求$S_{\triangle ABC}$的值
**步骤一：求直线$y = x + m$的解析式及$C$点坐标**
已知$m = 6$，则直线解析式为$y = x + 6$。
令$y = 0$，则$0 = x + 6$，解得$x=-6$，所以$C$点坐标为$(-6,0)$，即$OC = 6$。
**步骤二：求$OB$的长度**
因为$A$点在$y=\frac{6}{x}$上，设$A(a,\frac{6}{a})$（$a\gt0$），又因为$S_{\triangle AOB} = 3$，$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× OB× AB$，$OB=a$，$AB = \frac{6}{a}$，$\frac{1}{2}× a×\frac{6}{a}=3$（此式用于验证前面结论）。
由$y = x + 6$，$A(a,\frac{6}{a})$代入可得$\frac{6}{a}=a + 6$，即$a^{2}+6a - 6=0$，解得$a=-3+\sqrt{15}$（$a=-3 - \sqrt{15}$舍去，因为$a\gt0$），则$OB=-3+\sqrt{15}$，$BC=OC + OB=6-3+\sqrt{15}=3+\sqrt{15}$，$AB=\frac{6}{-3+\sqrt{15}}=\frac{6(\sqrt{15}+3)}{(\sqrt{15}-3)(\sqrt{15}+3)}=\sqrt{15}+3$。
**步骤三：计算$S_{\triangle ABC}$**
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AB$，$BC = 3+\sqrt{15}$，$AB=\sqrt{15}+3$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(3 + \sqrt{15})(\sqrt{15}+3)=\frac{1}{2}(15 + 6\sqrt{15}+9)=12 + 6\sqrt{15}$。
另一种方法：
因为直线$y=x + 6$与$x$轴夹角为$45^{\circ}$，$\triangle ABC$是等腰直角三角形（$\angle C = 45^{\circ}$，$\angle ABC = 90^{\circ}$）。
先求$A$点坐标，联立$\begin{cases}y = x + 6\\y=\frac{6}{x}\end{cases}$，得$x + 6=\frac{6}{x}$，$x^{2}+6x - 6=0$，由求根公式$x=\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{2}=-3\pm\sqrt{15}$，因为$x\gt0$，所以$x=-3+\sqrt{15}$，$y = 3+\sqrt{15}$，即$AB = 3+\sqrt{15}$，$BC=AB = 3+\sqrt{15}$。
根据$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(3 + \sqrt{15})^{2}=\frac{1}{2}(9 + 6\sqrt{15}+15)=12 + 6\sqrt{15}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{m = 6}$；
$(2)$$\boldsymbol{S_{\triangle ABC}=12 + 6\sqrt{15}}$。