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抛物线形问题
解决抛物线形问题的一般步骤：
（1）建立适当的平面直角坐标系；
（2）根据已知条件求出这条抛物线对应的函数解析式；
（3）运用已求出的函数解析式去解决问题。
解决抛物线形问题的一般步骤：
（1）建立适当的平面直角坐标系；
（2）根据已知条件求出这条抛物线对应的函数解析式；
（3）运用已求出的函数解析式去解决问题。
答案
1. 建立适当的平面直角坐标系
2. 根据已知条件求出这条抛物线对应的函数解析式
3. 运用已求出的函数解析式去解决问题
2. 根据已知条件求出这条抛物线对应的函数解析式
3. 运用已求出的函数解析式去解决问题
典例 如图(示意图),某隧道的截面由抛物线和长方形构成.已知隧道宽$AA_1=10$ m,隧道壁高$AB=5$ m,隧道最高点$C$位于$AA_1$的中央且距地面6 m.为了防止碰撞,保障行车安全,隧道内路面两侧各预留1 m的立道牙,该隧道为单向双车道.
(1)以线段$AA_1$所在直线为$x$轴,$AA_1$的垂直平分线为$y$轴建立平面直角坐标系,请在图中画出该坐标系,并求抛物线对应的函数解析式.
(2)交通部门要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5 m,求通过该隧道的车辆应限制高度为多少米.(结果保留小数点后一位)
举一反三 甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线可近似看成抛物线的一部分.如图,甲在点$O$正上方的$A$处发出一球,羽毛球飞行的高度$y$(单位:m)与飞行的水平距离$x$(单位:m)之间满足函数关系式$y=a(x-4)^2+h$.已知点$O$与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.55 m.当$a=-\dfrac{1}{5},h=\dfrac{21}{5}$时,
(1)通过计算判断此球能否过网;
(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到离地面的高度为$\dfrac{12}{5}$ m的$B$处时,乙扣球成功,请求出羽毛球在$B$处时与点$O$的水平距离.
典例解析
典例
解(1)由题可知,建立如图所示的平面直角坐标系.
设所求抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+c$.
根据题意可得点$B$的坐标为$(-5,5)$,点$C$的坐标为$(0,6)$.
由抛物线经过$B,C$两点,
得$\begin{cases}5=(-5)^2a + c, \\6=c,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{25}, \\c=6.\end{cases}$
$\therefore$该抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{25}x^2 +6(-5≤ x≤5)$.
(2)如图,分别过隧道内路面两侧立道牙的边缘$E,F$作$x$轴的垂线$EH,GF$,垂足分别为$E,F$,交抛物线于点$H,G$.
由题可知,$OE=OF=5-1=4$(m),
$\therefore$点$G,H$的横坐标分别为$4,-4$.
$\therefore$当$x=4$时,$y=-\dfrac{1}{25}×4^2 +6=\dfrac{134}{25}$.
$\therefore$点$G,H$的坐标分别为$(4,\dfrac{134}{25}),(-4,\dfrac{134}{25})$.
由条件可知$\dfrac{134}{25}-0.5=4.86＞4.8$.
因此,通过隧道的车辆应限制高度为$4.8$ m.
(1)以线段$AA_1$所在直线为$x$轴,$AA_1$的垂直平分线为$y$轴建立平面直角坐标系,请在图中画出该坐标系,并求抛物线对应的函数解析式.
(2)交通部门要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5 m,求通过该隧道的车辆应限制高度为多少米.(结果保留小数点后一位)
举一反三 甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线可近似看成抛物线的一部分.如图,甲在点$O$正上方的$A$处发出一球,羽毛球飞行的高度$y$(单位:m)与飞行的水平距离$x$(单位:m)之间满足函数关系式$y=a(x-4)^2+h$.已知点$O$与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.55 m.当$a=-\dfrac{1}{5},h=\dfrac{21}{5}$时,
(1)通过计算判断此球能否过网;
(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到离地面的高度为$\dfrac{12}{5}$ m的$B$处时,乙扣球成功,请求出羽毛球在$B$处时与点$O$的水平距离.
典例解析
典例
解(1)由题可知,建立如图所示的平面直角坐标系.
设所求抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+c$.
根据题意可得点$B$的坐标为$(-5,5)$,点$C$的坐标为$(0,6)$.
由抛物线经过$B,C$两点,
得$\begin{cases}5=(-5)^2a + c, \\6=c,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{25}, \\c=6.\end{cases}$
$\therefore$该抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{25}x^2 +6(-5≤ x≤5)$.
(2)如图,分别过隧道内路面两侧立道牙的边缘$E,F$作$x$轴的垂线$EH,GF$,垂足分别为$E,F$,交抛物线于点$H,G$.
由题可知,$OE=OF=5-1=4$(m),
$\therefore$点$G,H$的横坐标分别为$4,-4$.
$\therefore$当$x=4$时,$y=-\dfrac{1}{25}×4^2 +6=\dfrac{134}{25}$.
$\therefore$点$G,H$的坐标分别为$(4,\dfrac{134}{25}),(-4,\dfrac{134}{25})$.
由条件可知$\dfrac{134}{25}-0.5=4.86＞4.8$.
因此,通过隧道的车辆应限制高度为$4.8$ m.
答案
1. 典例(1) 由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系.
设所求抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+c$.
根据题意可得点$B$的坐标为$(-5,5)$,点$C$的坐标为$(0,6)$.
由抛物线经过$B,C$两点,
得$\begin{cases}5=(-5)^2a + c, \\6=c,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{25}, \\c=6.\end{cases}$
$\therefore$该抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{25}x^2 +6(-5≤ x≤5)$.
2. 典例(2) 如图,分别过隧道内路面两侧立道牙的边缘$E,F$作$x$轴的垂线$EH,GF$,垂足分别为$E,F$,交抛物线于点$H,G$.
由题可知,$OE=OF=5-1=4$(m),
$\therefore$点$G,H$的横坐标分别为$4,-4$.
$\therefore$当$x=4$时,$y=-\dfrac{1}{25}×4^2 +6=\dfrac{134}{25}$.
$\therefore$点$G,H$的坐标分别为$(4,\dfrac{134}{25}),(-4,\dfrac{134}{25})$.
由条件可知$\dfrac{134}{25}-0.5=4.86＞4.8$.
因此,通过隧道的车辆应限制高度为$4.8$ m.
3. 举一反三(1) 此球能过网.理由如下：
当$a=-\dfrac{1}{5},h=\dfrac{21}{5}$时,得$y=-\dfrac{1}{5}(x-4)^2+\dfrac{21}{5}$.
已知点$O$与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.55 m,把$x=5$代入$y=-\dfrac{1}{5}(x-4)^2+\dfrac{21}{5}$,得$y=4$.
$\because4＞1.55,\therefore$此球能过网.
4. 举一反三(2) 设$B(b,\dfrac{12}{5})$,代入$y=-\dfrac{1}{5}(x-4)^2+\dfrac{21}{5}$,得$\dfrac{12}{5}=-\dfrac{1}{5}(b-4)^2+\dfrac{21}{5}$,
解得$b_1=7,b_2=1$(不合题意,舍去).
$\therefore$羽毛球在$B$处时与点$O$的水平距离为7 m.
