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2.如图,长方形的长为$a$,宽为$2b$.
(1)用含$a$,$b$的代数式表示图中阴影部分的面积$S$.
(2)当$a=5\ \mathrm{cm}$,$b=2\ \mathrm{cm}$时,求阴影部分的面积.(其中$π$取$3.14$)
(1)用含$a$,$b$的代数式表示图中阴影部分的面积$S$.
(2)当$a=5\ \mathrm{cm}$,$b=2\ \mathrm{cm}$时,求阴影部分的面积.(其中$π$取$3.14$)
答案
(1) 因为长方形的长为a，宽为2b，所以$S_{阴影}=2ab-π b^2$.
(2) $7.44\ \mathrm{cm}^2$.
(2) $7.44\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
求解不规则阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：首先观察图形，整体为长$a$、宽$2b$的长方形，空白部分是两个直径等于长方形宽的半圆，两个半圆可拼接为一个完整的圆。因此先分别计算长方形面积和圆的面积，二者作差即可得到阴影面积；第二问只需将已知数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 先计算长方形的面积：
长方形面积 = 长×宽 = $a × 2b = 2ab$
空白部分两个半圆的直径均为$2b$，因此圆的半径$r = 2b ÷ 2 = b$，两个半圆的面积和等于1个整圆的面积：
圆的面积 = $π r^2 = π b^2$
因此阴影部分面积 $S = 长方形面积 - 圆的面积 = 2ab - π b^2$
(2) 将$a=5\ \mathrm{cm}$，$b=2\ \mathrm{cm}$，$π=3.14$代入$S=2ab-π b^2$得：
$S = 2 × 5 × 2 - 3.14 × 2^2$
$= 20 - 3.14 × 4$
$= 20 - 12.56$
$= 7.44\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) $S=2ab-π b^2$
(2) $7.44\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
割补法求面积，长方形面积计算，圆的面积计算
【点评】
本题核心是将不规则图形面积转化为规则图形面积的差，解题关键是识别出两个半圆可拼接为一个完整的圆，代入求值时注意运算顺序，先算乘方再算乘法最后算减法即可。
【难度系数】
0.7
求解不规则阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：首先观察图形，整体为长$a$、宽$2b$的长方形，空白部分是两个直径等于长方形宽的半圆，两个半圆可拼接为一个完整的圆。因此先分别计算长方形面积和圆的面积，二者作差即可得到阴影面积；第二问只需将已知数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 先计算长方形的面积：
长方形面积 = 长×宽 = $a × 2b = 2ab$
空白部分两个半圆的直径均为$2b$，因此圆的半径$r = 2b ÷ 2 = b$，两个半圆的面积和等于1个整圆的面积：
圆的面积 = $π r^2 = π b^2$
因此阴影部分面积 $S = 长方形面积 - 圆的面积 = 2ab - π b^2$
(2) 将$a=5\ \mathrm{cm}$，$b=2\ \mathrm{cm}$，$π=3.14$代入$S=2ab-π b^2$得：
$S = 2 × 5 × 2 - 3.14 × 2^2$
$= 20 - 3.14 × 4$
$= 20 - 12.56$
$= 7.44\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) $S=2ab-π b^2$
(2) $7.44\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
割补法求面积，长方形面积计算，圆的面积计算
【点评】
本题核心是将不规则图形面积转化为规则图形面积的差，解题关键是识别出两个半圆可拼接为一个完整的圆，代入求值时注意运算顺序，先算乘方再算乘法最后算减法即可。
【难度系数】
0.7
【例3】甲、乙两人分别从相距$s$ km的A,B两地同时出发，驾车沿相同路线相向而行，它们的平均速度分别是$a$ km/h与$b$ km/h.
(1)用代数式表示甲、乙两人从出发到相遇的时长；
(2)当$s=260$，$a=70$，$b=60$时，求甲、乙两人从出发到相遇的时长.
解:
(1)用代数式表示甲、乙两人从出发到相遇的时长；
(2)当$s=260$，$a=70$，$b=60$时，求甲、乙两人从出发到相遇的时长.
解:
答案
(1) $\dfrac{s}{a+b}$ h.
(2) 2 h.
(2) 2 h.
解析
【分析】
(1) 本题属于行程中的相向相遇问题，解题核心等量关系为：相遇时甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程s。我们可以先设相遇时长为t，结合“路程=速度×时间”分别表示出甲、乙的行驶路程，再根据等量关系列方程整理，即可得到表示相遇时长的代数式。
(2) 第二问为代数式求值问题，只需将给定的s、a、b的数值直接代入第一问得到的代数式中，按照运算规则计算出结果即可。
【解析】
(1) 设甲、乙两人从出发到相遇的时长为$t$ h。
根据“路程=速度×时间”，相遇时甲行驶的路程为$at$ km，乙行驶的路程为$bt$ km。
由相向而行相遇时两人路程和等于总路程，可得：
$at+bt=s$
提取公因式得：$t(a+b)=s$
两边同时除以$(a+b)$，得：$t=\dfrac{s}{a+b}$
即相遇时长为$\dfrac{s}{a+b}$ h。
(2) 把$s=260$，$a=70$，$b=60$代入$\dfrac{s}{a+b}$中：
$\dfrac{s}{a+b}=\dfrac{260}{70+60}=\dfrac{260}{130}=2$（h）
【答案】
(1) $\dfrac{s}{a+b}$ h；
(2) 2 h。
【知识点】
相遇问题，代数式求值
【点评】
本题是行程类基础应用题，核心考查路程、速度、时间三者的数量关系，以及相向相遇问题的特征，计算难度较低，只要掌握相遇问题的等量关系就能顺利求解，是巩固代数式应用的典型题目。
【难度系数】
0.8
(1) 本题属于行程中的相向相遇问题，解题核心等量关系为：相遇时甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程s。我们可以先设相遇时长为t，结合“路程=速度×时间”分别表示出甲、乙的行驶路程，再根据等量关系列方程整理，即可得到表示相遇时长的代数式。
(2) 第二问为代数式求值问题，只需将给定的s、a、b的数值直接代入第一问得到的代数式中，按照运算规则计算出结果即可。
【解析】
(1) 设甲、乙两人从出发到相遇的时长为$t$ h。
根据“路程=速度×时间”，相遇时甲行驶的路程为$at$ km，乙行驶的路程为$bt$ km。
由相向而行相遇时两人路程和等于总路程，可得：
$at+bt=s$
提取公因式得：$t(a+b)=s$
两边同时除以$(a+b)$，得：$t=\dfrac{s}{a+b}$
即相遇时长为$\dfrac{s}{a+b}$ h。
(2) 把$s=260$，$a=70$，$b=60$代入$\dfrac{s}{a+b}$中：
$\dfrac{s}{a+b}=\dfrac{260}{70+60}=\dfrac{260}{130}=2$（h）
【答案】
(1) $\dfrac{s}{a+b}$ h；
(2) 2 h。
【知识点】
相遇问题，代数式求值
【点评】
本题是行程类基础应用题，核心考查路程、速度、时间三者的数量关系，以及相向相遇问题的特征，计算难度较低，只要掌握相遇问题的等量关系就能顺利求解，是巩固代数式应用的典型题目。
【难度系数】
0.8
3.某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本，现购进m本甲种书和n本乙种书.
(1)用含m，n的代数式表示总费用；
(2)若共购进1 000本甲种书及2 000本乙种书，求总费用.
(1)用含m，n的代数式表示总费用；
(2)若共购进1 000本甲种书及2 000本乙种书，求总费用.
答案
3. (1) 总费用为(4m+10n)元.
(2) 24 000元.
(2) 24 000元.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 要求总费用，依据“总价=单价×数量”的关系，分别计算甲、乙两种书的进货总价，再将两者相加即可得到总费用的代数式；
(2) 第二问是代数式求值问题，只需将题目给出的m、n的具体数值代入第一问得到的代数式中，按照有理数的运算规则计算出结果即可。
【解析】
(1) 已知甲种书进价4元/本，购进m本，因此甲种书总费用为$4m$元；乙种书进价10元/本，购进n本，因此乙种书总费用为$10n$元。
总费用为两种书费用之和，即总费用为$(4m + 10n)$元。
(2) 由题意得$m=1000$，$n=2000$，将其代入$4m + 10n$中计算：
$4m + 10n = 4×1000 + 10×2000 = 4000 + 20000 = 24000$（元）
因此总费用为24000元。
【答案】
(1) 总费用为$(4m+10n)$元；
(2) 24000元
【知识点】
列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题核心是掌握总价、单价、数量三者的关系，代入数值计算时注意运算准确性即可得分。
【难度系数】
0.9
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 要求总费用，依据“总价=单价×数量”的关系，分别计算甲、乙两种书的进货总价，再将两者相加即可得到总费用的代数式；
(2) 第二问是代数式求值问题，只需将题目给出的m、n的具体数值代入第一问得到的代数式中，按照有理数的运算规则计算出结果即可。
【解析】
(1) 已知甲种书进价4元/本，购进m本，因此甲种书总费用为$4m$元；乙种书进价10元/本，购进n本，因此乙种书总费用为$10n$元。
总费用为两种书费用之和，即总费用为$(4m + 10n)$元。
(2) 由题意得$m=1000$，$n=2000$，将其代入$4m + 10n$中计算：
$4m + 10n = 4×1000 + 10×2000 = 4000 + 20000 = 24000$（元）
因此总费用为24000元。
【答案】
(1) 总费用为$(4m+10n)$元；
(2) 24000元
【知识点】
列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题核心是掌握总价、单价、数量三者的关系，代入数值计算时注意运算准确性即可得分。
【难度系数】
0.9
【物品打包】
包装物品用到的箱子的长、宽、高分别为a cm,b cm,c cm,如图所示,小明和小华在打包时,分别采用了甲、乙两种打包方式(单位:cm,打包带不计接头处的长).
(1)用含a,b,c的式子分别表示甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度:甲需要
(2)当a=50,b=40,c=30时,写出甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度:甲需要
包装物品用到的箱子的长、宽、高分别为a cm,b cm,c cm,如图所示,小明和小华在打包时,分别采用了甲、乙两种打包方式(单位:cm,打包带不计接头处的长).
(1)用含a,b,c的式子分别表示甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度:甲需要
4a+2b+6c
cm,乙需要2a+4b+6c
cm.(2)当a=50,b=40,c=30时,写出甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度:甲需要
460
cm,乙需要440
cm.答案
(1) 甲打包带长度为(4a+2b+6c)cm，乙打包带长度为(2a+4b+6c)cm
(2) 甲打包带长度为460cm，乙打包带长度为440cm
(2) 甲打包带长度为460cm，乙打包带长度为440cm
解析
【分析】
解决本题第一问时，先分别观察甲、乙两种打包方式中，打包带对应长方体长a、宽b、高c的段数，将各方向段数对应乘边长后求和，即可得到打包带总长的代数式；第二问将已知的a、b、c的数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 观察甲打包方式：
对应长a的打包带共4段，对应宽b的打包带共2段，对应高c的打包带共6段，因此总长度为：$4× a + 2× b + 6× c = 4a+2b+6c$ (cm)。
观察乙打包方式：
对应长a的打包带共2段，对应宽b的打包带共4段，对应高c的打包带共6段，因此总长度为：$2× a + 4× b + 6× c = 2a+4b+6c$ (cm)。
(2) 把$a=50$，$b=40$，$c=30$分别代入上述两个代数式计算：
甲打包带长度：$4×50 + 2×40 + 6×30 = 200 + 80 + 180 = 460$ (cm)
乙打包带长度：$2×50 + 4×40 + 6×30 = 100 + 160 + 180 = 440$ (cm)
【答案】
(1) $\boldsymbol{4a+2b+6c}$；$\boldsymbol{2a+4b+6c}$
(2) $\boldsymbol{460}$；$\boldsymbol{440}$
【知识点】
列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景命题，解题关键是准确梳理不同打包方式下各方向打包带的数量，代入求值时注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解决本题第一问时，先分别观察甲、乙两种打包方式中，打包带对应长方体长a、宽b、高c的段数，将各方向段数对应乘边长后求和，即可得到打包带总长的代数式；第二问将已知的a、b、c的数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 观察甲打包方式：
对应长a的打包带共4段，对应宽b的打包带共2段，对应高c的打包带共6段，因此总长度为：$4× a + 2× b + 6× c = 4a+2b+6c$ (cm)。
观察乙打包方式：
对应长a的打包带共2段，对应宽b的打包带共4段，对应高c的打包带共6段，因此总长度为：$2× a + 4× b + 6× c = 2a+4b+6c$ (cm)。
(2) 把$a=50$，$b=40$，$c=30$分别代入上述两个代数式计算：
甲打包带长度：$4×50 + 2×40 + 6×30 = 200 + 80 + 180 = 460$ (cm)
乙打包带长度：$2×50 + 4×40 + 6×30 = 100 + 160 + 180 = 440$ (cm)
【答案】
(1) $\boldsymbol{4a+2b+6c}$；$\boldsymbol{2a+4b+6c}$
(2) $\boldsymbol{460}$；$\boldsymbol{440}$
【知识点】
列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景命题，解题关键是准确梳理不同打包方式下各方向打包带的数量，代入求值时注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
